Examen Bac 2 SM PDF Math 2019 Normal Avec Correction

Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Arithmétique (3 points )
* Analyse (10 points )

* Structures Algébriques (3.5 points )

On rappelle que ( C ,+,×) est un corps commutatif

et que

(M_{2} (R), +, \times)

est un anneau unitaire

de zéro la matrice nulle

O = (\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

et d’unité la matrice

I = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

Soit * la loi de composition interne définie sur C par:

(∀(x, y)∈R²) (∀(a, b)∈R²):

(x + y i) * (a + b i) = x a + (x^{2} b + a ² y) i

1-a) Montrer que la loi * est commutative sur C

b) Montrer que la loi * est associative sur C

c) Montrer que:

la loi * admet un élément neutre e que l’on déterminera.

d) Soit(x, y)∊

R^{*} \times R .

Montrer que:

le nombre complexe x+y i admet le nombre complexe

\frac{1}{x} - \frac{y}{x^{4}} i

comme symétrique pour la loi *

2- On considère le sous-ensemble E de C défini par :

E = {x + y i / x ∊ R_{+}^{*}; y ∊ I R}

a) Montrer que E est stable pour la loi * dans C

b) Montrer que (E*) est un groupe commutatif.

3 -On considère le sous-ensemble G de E défini par:

G = {1 + y i / y ∊ R}

Montrer que G est un sous-groupe de (E,*)

4-On considère l’ensemble

F = {M (x, y) = (\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & x \end{array}) / x ∊ R_{+}^{*}; y ∊ R}

a) Montrer que F est stable pour la loi × dans

M_{2} (R)

b) Soit

φ

l’application de E vers F

qui à tout nombre complexe x+yi de E fait correspondre

la matrice M (x²,y)=(

\begin{array}{cc} x ² & y \\ 0 & x ² \end{array})

de F

Montrer que φ est un isomorphisme de (E, *) vers (F,×)

c) En déduire que (F,×) est un groupe commutatif.

* Nombres Complexes (3.5 points )

Soit m un nombre complexe non réel (m∈C-R )

I- On considère dans C, l’équation d’inconnue z définie par:

(E): z²-(1+i)(1+m)z+2im=0

1-a) Montrer que le discriminant de l’équation (E) est non nul.

b) Déterminer

z_{1}

z_{2},

les deux solutions de l’équation (E)

2- On suppose dans cette question que

m = e^{i θ}

avec 0<θ<π

a) Déterminer le module et un argument de

z_{1} + z_{2}

b) Montrer que si

z_{1} z_{2} \in R

alors

z_{1} + z_{2} = 2 i

II- Le plan complexe est rapporté à un repère

orthonormé direct

(O; \vec{u}, \vec{v})

On considère les points suivants:

A le point d’affixe a=1+i , B le point d’affixe b=(1+i)m,

C le point d’affixe c=1-i, D l’image du point B par la rotation de centre O

et d’angle

\frac{π}{2}

et Ω le milieu du segment [CD]

1- a) Montrer que:

l’affixe du point Ω est

Ω = \frac{(1 - i) (1 - m)}{2}

b) Calculer

\frac{b - a}{Ω}

c) En déduire que (OΩ)⊥(AB) et que AB=2 OΩ

2- La droite (OΩ) coupe la droite (AB) au point H d’affixe h

a) Montrer que:

\frac{h - a}{b - a}

est un réel et que

\frac{h}{b - a}

est un imaginaire pur.

b) En déduire h en fonction de m

* Arithmétique (3 points )

On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.

Soient n et m deux entiers naturels vérifiant :

n^{8} + m^{8} = 0 [2969]

1- On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n

a) En utilisant le théorème de BEZOUT, montrer que :

(\exists u ∊ Z); u \times n \equiv 1 [2969]

b) En déduire que :

(u \times m)^{8} \equiv - 1 [2969]

et que

(u \times m)^{2968} \equiv - 1 [2969]

(On remarque que :

2968 = 8 \times 371

)

c) Montrer que 2969 ne divise pas u×m

d) En déduire qu’on a aussi

(u \times m)^{2968} \equiv 1 [2969]

2-a) En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise n

b) Montrer que :

n^{8} + m^{8} \equiv 0 [2969] \Leftrightarrow n \equiv 0 [2969]

m \equiv 0 [2969]

* Analyse (10 points )

PARTIE I :

On considère la fonction

f

définie sur IR par:

f (x) = 4 x (e^{- x} + \frac{1}{2} x - 1)

et on note

(C)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1- Calculer

lim_{x ➝ - \infty} f (x)

lim_{x ➝ + \infty} f (x)

2- a) Montrer que f est dérivable sur IR et que :

∀x∊R:

f^{'} (x) = 4 (e^{- x} - 1) (1 - x)

b) Etudier les variations de

f

sur IR

puis donner son tableau de variations.

c) Montrer qu’il existe un unique réel α dans l’intervalle

] \frac{3}{2}, 2 [

tel que f(α)=0

(O n p r e n d r a e^{\frac{3}{2}} = 4, 5)

d) Vérifier que :

e^{- α} = 1 - \frac{α}{2}

3-a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction

f ‘

montrer qu’il existe un réel

x_{0}

de l’intervalle

] 0, 1 [t e l q u e : f « (x_{0}) = 0

b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction

f «

montrer que, pour tout réel x différent de

x_{0}

de l’intervalle [0,1]

on a:

\frac{f « (x)}{x - x_{0}} > 0

c) En déduire que:

I (x_{0}, f (x_{0}))

est un point d’inflexion de la courbe (C)

4-a) Etudier les branches infinies de la courbe (C)

b) Représenter graphiquement la courbe (

C

) dans le repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

(On prendra:

‖ \vec{i} ‖ = ‖ \vec{j} ‖ = 1 c m, f (1) = - 0.5

et il n’est pas demandé de représenter le point

I

)

5-a) Vérifier que ∀ x∊]-∞,α]: f(x)≤ 0

b) Montrer que:

\int_{0}^{α} f (x) d x = \frac{2}{3} α (α^{2} - 3)

en déduire que :

\frac{3}{2} < α \leq \sqrt{3}

c) Calculer en fonction de α en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe

(C)

) et les

droites d’équations respectives : y=0,x=0 et x=α

PARTIE II :

On considère la suite numérique

(u_{n})_{n ∊ I N}

définie par:

u_{0} < α

et ∀∊IN:

u_{n + 1} = f (u_{n}) + u_{n}

1-a) Montrer par récurrence que ∀∊IN:

u_{n} < α

(utiliser la question 5-a) de la PARTIE I )

b) Montrer que la suite

(u_{n})_{n ∊ I N}

est décroissante.

2- On suppose que

0 \leq u_{0}

et on pose ∀∊IR:

g (x) = e^{- x} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{4}

a) Montrer que ∀∊IR: g(x)>0 (On prendra ln 2=0.69)

b) En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que:

∀ n∊IN:

0 \leq u_{n}

(On remarque que: f(x)+x=x g(x)

c) Montrer que la suite

(u_{n})_{n ∊ I N}

est convergente.

d) Calculer

lim_{n ➝ + \infty} u_{n}

3 -

On suppose que

u_{0} < 0

a) Montrer que ∀ n∊IN:

u_{n + 1} - u_{n} \leq f (u_{0})

b) Montrer que ∀ n∊IN:

u_{n} \leq u_{0} + n f (u_{0})

c) En déduire

lim_{n ➝ + \infty} u_{n}

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