Examen Math Bac 2 Science Math 2014 Normale

Exercice 1: (3pts)

Thème : Arithmétiques

Pour tout $n$ de IN* on pose :
$a_n=\underset{n\text{ fois }}{\underbrace{333\dots \dots 3}}1$ n fois le chiffre 3)
1-Vérifier que les deux nombres $a_1$ et $a_2$ sont premiers.
2- Montrer que pour tout $n$ de IN*:
$3a_n+7={10}^{n+1}$
3 -Montrer que pour tout $k$ de IN:
${10}^{30k+2}\equiv 7[31]$
4 -Montrer que pour tout $k$ de IN:
$3a_{30k+1}\equiv 0[31],$
puis en déduire que : 31 divise $a_{30k+1}$
5- Montrer que pour tout $n$ de IN*:
si $n\equiv 1[30]$ alors l’équation $a_{n}x+31y=1$ n’admet
pas de solutions dans $Z^2$

Exercice 2: (3.5 pts)

Thème: Structures algébriques

On rappelle que $(\mathbb{C},+,\times )$ est un corps commutatif et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times )$ est un anneau unitaire de zéro la matrice $O=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et d’unité $I=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.
Pour tous $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$ on pose : $M(a;b)=\left(\begin{array}{cc}a& a-b\\ b& a+b\end{array}\right)$ et on considère l’ensemble :
$E=\{M(a;b)/(a;b)\in {\mathbb{R}}^2\}$
1. Montrer que $E$ est sous-groupe du groupe $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
2. Calculer $J^2=J\times J$ où $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ puis en déduire que $E$ est une partie non stable de $(M_2(\mathbb{R}),\times )$

3. On définit sur $M_2(\mathbb{R})$ à la loi de composition interne $\ast$ par: $A\ast B=A\times N\times B$ où $N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$
On considère l’application $\phi$ de ${\mathbb{C}}^{\ast }$ vers $M_2(\mathbb{R})$ qui associe à chaque nombre complexe non nul $a+ib(a$ et $b$ sont deux réels ) la matrice $M(a;b)$.
a) Montrer que: $\phi$ est un isomorphisme de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ vers $(M_2(\mathbb{R}),\ast )$
b) On pose $E^{\ast }=E-\{O\}$. Montrer que $\phi \left({\mathbb{C}}^{\ast }\right)=E^{\ast }$.
c) Montrer que $(E^{\ast },\ast )$ est groupe commutatif.
4. Montrer que : $(\mathrm{\forall }(A,B,C)\in E^3);A\ast (B+C)=A\ast B+A\ast C$
5. En déduire de ce qui précède que $(E,+,\ast )$ est un corps commutatif.

Exercice 3: (3.5 pts)

Thème : Nombres complexes

Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
1-On considère dans $C$ l’équation suivante :
(E) $z^2-\sqrt{2}{e}^{iq}z+e^{2iq}=0$
a) Vérifier que le discriminant de l’équation $(E)$ est:
$∆=(\sqrt{2}i{e}^{iq}{)}^2$
b) Ecrire sous forme trigonométrique les deux racines $z_1$ et $z_2$ de l’équation $(E)$ dans $C$

2- On considère les points $I,J,T_1,T_2$ et $A$ d’affixes respectives:
1,-1, $(e^{i(q+\frac{\pi }{4}})$,$(e^{i(q-\frac{\pi }{4}})$ et $\sqrt{2}{e}^{iq})$
a) Montrer que:
les deux droites $(OA)$ et $\left(T_1{T}_2\right)$ sont perpendiculaires.
b) Soit $K$ le milieu du segment $\left[T_1{T}_2\right]$.
Montrer que les points $O$, $K$ et $A$ sont alignés.
c) En déduire que:
la droite $(OA)$ est la médiatrice du segment $\left[T_1{T}_2\right]$.
3- Soit $r$ la rotation de centre $T_1$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$
a) Donner l’expression complexe de la rotation $r$
b) Vérifier que l’affixe du point $B$ image du point $I$ par la rotation $r$ est:
$b=\sqrt{2}{e}^{iq}+i$
c) Montrer que les deux droites $(AB)$ et $(IJ)$ sont perpendiculaires.
4-Déterminer l’affixe du point $C$ image du point $A$
par la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$
5-Montrer que $A$ est le milieu du segment $[BC]$

Exercice 4: (8 pts)

Thème: Analyse

Partie I:

On considère la fonction $f$ définie sur [0,+∞[ par:
f(0)=0 et pour tout x>0:
$f(x)=\frac{-x\ln x}{1+x^2}$
1-a)Montrer que $f$ est continue sur $[0,+\infty [$.
b) Etudier le signe de $f(x)$ sur $[0,+\infty [$
2-a)Montrer que :
$(\forall x\in I{R}_{+}^{\ast })f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$
b) Montrer que:
la fonction $f$ est dérivable sur ]0,+∞[
c) Montrer que:
$(\mathrm{\exists }\alpha \in ]0,1[f^{\prime }(\alpha )=0$
d)En déduire que :
$f^{\prime }\left(\frac{1}{\alpha }\right)=0$

Partie II:

On considère la fonction $F$ définie sur [0,+∞[ par :
$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$
et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
l-a)Vérifier que ∀ t∈[1,+∞[:
$\frac{1}{2}\le \frac{t^2}{1+t^2}\le 1.$
b) Montrer que :
$(\forall x\in [1,+\infty [)F(1)-\frac{1}{2}(\ln x{)}^2\le F(x)\le F(1)-\frac{1}{4}(\ln x{)}^2$
( On remarquera que:
$F(x)={\int }_0^{1}f(t)dt-{\int }_1^x\frac{t^2}{1+t^2}\cdot \frac{\ln t}{t}dt)$
c)Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}F(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{F(x)}{x}$
puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2 -a) Montrer que $F$ est dérivable sur [0,+∞[
puis calculer $F^{\prime }(x)$
b) Etudier les variations de $F$ sur $[0,+\infty [$

Partie III:

1-a) Montrer que:
$(\mathrm{\forall }t\in ]0,+\infty [)-t\ln t\le \frac{1}{e}$
b) En déduire que:
$\forall t\in [0,+\infty [)f(t)\le \frac{1}{e}$
c) Montrer que ∀ x∈]0,+∞[: F(x)<x
2-On considère la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par:
$u_0\in ]0,1[$
∀ n∈IN:$u_{n+1}=F(u_n)$
a) Montrer que ∀ n∈IN: $u_n\in ]0,1[$
b) Montrer que:
la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est strictement décroissante
et en déduire qu’elle est convergente.
c)Déterminer $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$

Exercice 5: (2 pts)

Thème: Calcule Integrale

On considère la fonction g définie sur [0,+∞[ par :
g(0)=0 et pour x>0:
$g(x)=\frac{1}{x²}{e}^{-\frac{1}{x}}$
Montrer que g est continue sur [0,+∞[.
2-Pour tout réel x de l’intervalle [0,+∞[ on pose :
$L(x)={\int }_0^{x}g(t)dt$
a) Montrer que $L$ est continue sur $[0,+\infty [$.
b) Calculer $L(x)$ pour $x>0$
c) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{lim}L(x)$ et en déduire la valeur de $L(0)$
-Pour tout entier naturel non nul $n,$ on pose : $s_n=\frac{1}{n}\sum _{p=0}^{p=n-1}g\left(\frac{p}{n}\right)$
Montrer que la suite ${\left(s_n\right)}_{n\ge 1}$ est convergente puis déterminer sa limite.

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