Olympiade Math Débutant Sujet 01 Avec Solution

Olympiade Math Débutant Sujet 01

Exercice ① ( 4 points )
Soit $a$ un réel non nul tel que: $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18$
Que vaut : $a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$

Exercice ② ( 4 points )
Trouver tous les entiers $n$ :

Tel que

2^{n} + 1

soit le cube d’un entier.

Exercice ③ ( 4 points )
Soient $a, b$ des réels tel que: $a, b > 1$
Montrer que $\frac{a^{2}}{b - 1} + \frac{b^{2}}{a - 1} \geq 8$

Exercice ④ ( 4 points )
Soient $x, y, z$ trois réels tels que :
$x + y + z = 3$ et $x ² + y ² + z ² = 4$
Quelle est la plus grande valeur possible de z?

et également la plus petite valeur possible de

z

Lorsque

z

est égal à l’une de ces valeurs,

combien valent alors

x

y

Exercice ⑤ ( 4 points )

Soit ABC un triangle équilatéral, P une point à l’intérieur du triangle ABC,
E,F et G sont les projetés orthogonaux respectifs du point P
sur les droites (CB), (CA) et (AB)
et H est le pied de la hauteur issue de A.
Montrer que: PE+PF+PG = AH

Solution:

Exercice ①
Soit

a

un réel non nul tel que:

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18

Que vaut :

a^{4} + \frac{1}{a^{4}}

Soit a∊IR*

On pose

x = a + \frac{1}{a}

*On calcule x
On a

x ³ = (a + \frac{1}{a})^{3}

⇔

x ³ = a ³ + \frac{1}{a ³} + 3 \frac{1}{a ²} a + 3 \frac{1}{a} a ²

⇔

x ³ = a ³ + \frac{1}{a ³} + 3 (\frac{1}{a} + a)

⇔x³=18 + 3x
(car

a ³ + \frac{1}{a ³} = 18

)
Ainsi, On obtenons l’équation

x³-3x-18 = 0⇔ (x-3)(x²+3x+6=0)
la seule solution réelle est x=3
Le polynôme restant est x²+3x+6 n’a pas de racine réelle.
*On calcule

a ² + \frac{1}{a ²}

Ainsi on a:

x ² = (a + \frac{1}{a}) ²

⇔

9 = a^{2} + \frac{1}{a ²} + 2

D’où

a ² + \frac{1}{a ²} = 7

ⓐ
*On calcule

a ⁴ + \frac{1}{a ⁴}

ⓐ² ⇔

(a ² + \frac{1}{a ²}) ² = 7 ²

⇔

a ⁴ + 2 + \frac{1}{a ⁴} = 49

⇔

a ⁴ + \frac{1}{a ⁴} = 49 - 2

Donc

a ⁴ + \frac{1}{a ⁴} = 47

Exercice ②

Trouver tous les entiers

n

Tel que

2^{n} + 1

soit le cube d’un entier.

pour n=0: $2^{0} + 1$ =2 (0 n’est pas une solution)
Soit n∊IN* :
on a :
$2^{n} + 1$ est le cube d’un entier
⇔ s’il existe m∊IN tel que $2^{n} + 1 = m^{3} - 1$
⇔ $2^{n} = m^{3} - 1$ ⇔ $2^{n} = (m - 1) (m ² + m + 1)$ ⓐ
*Si m est pair m=2p:
$2^{n} = m^{3} - 1 = 8 p^{3} - 1 = i m p a i r e$
(contradiction $2^{n}$ est paire n>0)
*Si m est impair m=2p+1:
On a (m-1) et (m²+m+1) sont des puissances de 2 d’après ⓐ
(m²+m+1)=((2p+1)²+(2p+1)+1)=4p²+6p+3 est paire
(contradiction )
On en conclut donc qu’il n’existe pas de solutions.

Exercice ③
Soient $a, b$ des réels tel que: $a, b > 1$
Montrer que $\frac{a^{2}}{b - 1} + \frac{b^{2}}{a - 1} \geq 8$

soit x∊IR On a :
(x-2)² ≥ 0 ⇔ x²-4x+4 ≥ 0⇔x² ≥ 4(x-1)
pour x=a
a² ≥ 4(a-1) ⇔

\frac{a ²}{b - 1} \geq 4 \frac{a - 1}{b - 1}

ⓐ (car b-1 > 0)
pour x=b
b² ≥ 4(b-1) ⇔

\frac{b ²}{a - 1} \geq 4 \frac{b - 1}{a - 1}

ⓑ (car a-1 > 0)
ⓐ+ⓑ ⇔

\frac{a ²}{b - 1} + \frac{b ²}{a - 1} \geq 4 (\frac{a - 1}{b - 1} + \frac{b - 1}{a - 1})

ⓒ
d’autre part on a:
soit y > 0
(y-1)² ≥0⇔y²-2y+1 ≥ 0 ⇔ y²+1 ≥ 2y⇔y+

\frac{1}{y} \geq 2

on prend y=

\frac{a - 1}{b - 1}

⇒

\frac{1}{y} = \frac{b - 1}{a - 1}

Alors

\frac{a - 1}{b - 1} + \frac{b - 1}{a - 1} \geq 2

\frac{a ²}{b - 1} + \frac{b ²}{a - 1} \geq \frac{a - 1}{b - 1} + \frac{b - 1}{a - 1}

⇔

\frac{a ²}{b - 1} + \frac{b ²}{a - 1} \geq 4 \times 2 = 8

Exercice ④

Soient

x, y, z

trois réels tels que :

x + y + z = 3

x ² + y ² + z ² = 4

Quelle est la plus grande valeur possible de z

et également la plus petite valeur possible de

z

Soit x,y,z ∊IR
On a:
x+y+z=3 ⇒ (x+y)=3-z
x²+y²+z²=4 ⇒ x²+y²=4-z²
On calcule (x-y)² en fonction de z
(x-y)²=x²+y²-2xy=2x²+2y²-x²-2xy-y²
(x-y)²=x²+y²-(x+y)²=2(4-z²)-(3-z)²
(x-y)²=-3z²+6z-1
Les racines de -3x²+6x-1=0:

x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} - 3}}{3} = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3}}

ce qui signifie que
x,y ∊IR ⇔ (x-y)²≥0 ⇔ -3z²+6z-1 ≥0
⇔

1 - \sqrt{\frac{2}{3}} \leq z \leq 1 + \sqrt{\frac{2}{3}}

*Lorsque

z

est égal à l’une de ces valeurs,

combien valent alors

x

y

Quand

z = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3}}

⇒ -3z²+6z-1=0
⇒ (x – y)²=0 ⇒ x=y
d’autre part on a: x+y+z=3

d’où: 2x + z = 3 ⇔ x=y=

\frac{3 - z}{2}

On trouve que les points atteignant les valeurs extrémales de z
sont atteintes Quand
(x, y) =

(1 + \frac{1}{\sqrt{6}}, 1 + \frac{1}{\sqrt{6}}), (1 - \frac{1}{\sqrt{6}}, 1 - \frac{1}{\sqrt{6}})

Exercice ⑤
Montrer que: PE+PF+PG = AH

$S_{A B C}$ : Surface de ABC
On a: $S_{A B C} = S_{A P B} + S_{B P C} + S_{C P A}$ ⓐ
d’ autre part
ABC un triangle équilatéral
on pose: AB=AC=BC=x
d’ où:
$S_{A B C} = \frac{A H \times B C}{2} = \frac{A H \times x}{2}$
$S_{A P B} = \frac{P G \times A B}{2} = \frac{P G \times x}{2}$
$S_{B P C} = \frac{P E \times B C}{2} = \frac{P E \times x}{2}$
$S_{C P A} = \frac{P F \times A C}{2} = \frac{P F \times x}{2}$
Alors:
ⓐ ⇔ $\frac{A H \times x}{2} = \frac{P G \times x}{2} + \frac{P E \times x}{2} + \frac{P F \times x}{2}$
⇔ $\frac{A H \times x}{2} = \frac{(P G + P E + P F) \times x}{2}$
⇔ AH=PG+PE+PF.

Olympiade Math Sujet 01
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