Exercice 1:
Thème: Structures algébriques
Partie: I
Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de l’intervalle \(J\), on pose :
\(a * b =\frac{a+b}{1+ ab }\)
1) Vérifier que \((∀(a,b)∈J ^{2}) ; \quad 1+a b > 0\),
en déduire que \(*\) est une loi de composition interne dans \(J\).
2) a) Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative dans \(J\).
b) Montrer que la loi \(*\) admet un élément neutre dans \(J\) qu’on déterminera.
c) Montrer que \(( J,*)\) est un groupe commutatif.
Partie: II
On considère l’application \(f\) définie sur IR par:
\(f (x)=\frac{ e ^{x}- 1 }{ e ^{x}+ 1 }\)
1) Montrer que:
la fonction \(f\) est une bijection de \(IR\) vers \(J\)
2) Soit \(g\) la bijection réciproque de l’application \(f\)
( la détermination de \(g\) n’est pas demandé) Quel que soient \(x\) et \(y\) de \(J\),
on pose : \(x \perp y = f ( g ( x )×g ( y ))\)
Montrer que:
\(f\) est un homomorphisme de \(( I R ^{*}, x )\) vers \(( J ^{*}, \perp)\)
tel que \(J ^{*}= J-\{0\}\).
3) On rappelle que \(( IR ^{*}, × )\) est un groupe commutatif
et on admet que la loi \(\perp\) est distributive par rapport à la loi \(*\) dans \(J\).
Montrer que \(( J,*, \perp)\) est un corps commutatif.
Exercice 2:
Thème : Nombres complexes
1) Résoudre dans l’ensemble \(C\), l’équation:
\(z ^{2}+i=0\)
(a est la solution de l’équation telle que \(Re(a)> 0\) )
2) a) Déterminer le module et l’argument du nombre complexe \(1+a\)
b) En déduire que:
\(\cos (\frac{π}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
c) Vérifier que \((1+a)(1-a)=1+i\),
en déduire la forme trigonométrique du nombre complexe \(1- a\).
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct
\(( O,\vec{ u },\vec{ v })\),
on considère les points \(A ,B,M\) et \(M’\)
d’affixes respectifs \(a,-a,z\) et \(z’\) tels que \(zz’+ i = 0\).
1) Soit \(N\) le point d’affixe \(\overline{ z }\), conjugué de \(z\).
Montrer que les droites (ON) et (OM’) sont perpendiculaires.
2) a) Montrer que : \(z-a=i\frac{z-a}{az}\).
b) Montrer que si \(z≠- a\), alors:
\(z’ ≠- a\) et \(\frac{ z’-a}{z’+a}=-\frac{z- a}{z+a}\).
3) On suppose que les points \(A,B,M\) sont non alignés.
Montrer que:
le point \(M’\) appartient au cercle circonscrit au triangle \(ABM\).
Exercice 3:
Thème : Arithmétiques
Soit \(n\) un nombre entier naturel non nul.
On pose:
\(b_{n}= 2.10^{n}+1\)
et \(c_{n}=2.10^{n}-1\)
1) Montrer que:
\(b_{n} \wedge c_{ n }= c_{n} \wedge 2\),
en déduire que:
\(b_{n}\) et \(c_{n}\) sont premiers entre eux.
\(( a \wedge b\) représente le plus grand diviseur commun de \(a\) et \(b\) )
2) Déterminer un couple \((x_{n}, y_{n})\) de \(Z ^{2}\)
vérifiant:
\(b_{n} x_{n}+ c_{n} y_{n}=1\)
Exercice 4:
Thème: Calcul des Probabilités
Une urne W contient 3 boules indiscernables au toucher :
1 Boule noire et 2 boules blanches.
chacune des urnes U et V contient 4 boules indiscernables au toucher :
2 Boule noires et 2 boules blanches.
On considère l’expérience suivante :
On tire au hasard une boule de l’urne W:
Si elle est blanche, on la met dans l’urne U,
puis on tire deux boules simultanément de l’urne U,
Si elle est noire, on la met dans l’urne V,
puis on tire deux boules
1) Quelle est la probabilité pour que le tirage des deux boules soit de l’urne U ?
2) Calculer la probabilité de tirer deux boules blanches à la fin de l’expérience?
3) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches à la fin de l’expérience.
Déterminer la loi de probabilité de la variable X.
Exercice 5:
Thème: Analyse
Partie: I
Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0 ,+∞[\) par:
\(f (x)=\frac{-lnx}{\sqrt{x}}\)
\(( C_{f})\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé
\(O; \vec{i} ; \vec{j})\) unité 1 cm.
1) Calculer \(\lim _{x➝ 0^{+}} f ( x )\)
et \(\lim _{x➝+∞} f ( x )\),
puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
2) Calculer \(f^{\prime}(x)\),
en déduire les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0,+∞[\).
3) Pour tout \(n∈ IN ^{*}\),
on considère la fonction \(g _{ n }\) définie sur \(]0,1[\) par:
\(g_{n}(x)= f (x)- x^{n}\)
a) Montrer que:
\(g _{ n }\) est strictement décroissante sur \(]0,1[\)
b) En déduire que:
pour tout entier \(n \geq 1\) il existe \(α_{ n }∈]0,1[\) unique,
tel que :
\(f _{ n }( α _{ n })=( α _{ n })^{ n }\).
c) Montrer que pour tout entier \(n \geq 1 \) :
\(g _{ n }( α _{ n +1})< 0 \),
d) Montrer que la suite \(( α _{ n })_{ n \geq 1}\) est strictement croissante,
en déduire qu’elle est convergente.
4) On pose que \(L=\lim_{n➝+∞} α_{n}\)
a) Vérifier que:
\(0 < α _{1}≤ L ≤ 1\)
b) Vérifier que:
\((∀n∈ IN ^{*}) ; h (α_{ n })= n\)
avec \(h ( x )=\frac{-1}{ 2 }+\frac{\ln (-\ln x )}{\ln x } \)
c) Montrer que \(L=1\)
d) En déduire que:
\(\lim _{n➝+∞}(α_{n})^{n}=0 \)
Partie: II
1) a) Etudier le signe de l’intégrale \(\int_{ x }^{1} f ( t ) dt\)
pour tout \(x\) de \(]0,+∞[\)
b) En utilisant une intégration par parties montrer que:
\((∀ x>0) ; \int_{x}^{1} f (t) d t =4-4 \sqrt{x}+2 \sqrt{x} \ln x\)
c) En déduire, en cm²,l’aire du domaine délimité par:
la courbe \(( C _{ f })\)
et les droites d’équations respectives \(x=1 , x=e ^{2}\) et \(y=0\)
2) Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose:
\(U_{ n }=\frac{1}{n} \sum_{ k=1}^{ k=n} f(\frac{ k }{ n })\)
a) Montrer que:
pour tout entiers naturels \(n\) et \(k\) tels que:
\(n \geq 2\) et \(1 ≤ k ≤ n – 1\),
on a:
\(\frac{1}{n} f(\frac{k+1}{n}) ≤ \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(x) dx ≤ \frac{1}{n} f(\frac{k}{n})\)
c) En déduire que :
\(\lim _{n➝+∞} U _{n}=4\)
Exercice 5:
Thème: Calcule Integrale
On considère la fonction \(g\) définie sur \([0,+∞[\) par
\(g ( x )=\int_{\sqrt{x}}^{1} e ^{-t^{2}} dt\).
1) Pour tout \(x\) de \(IR\),
on pose : \(k (x)=\int_{1}^{x} e ^{-t^{2}}\) dt.
a) Vérifier que pour tout \(x\) de \([0,+∞[\), ona:
\(g (x)=- k (\sqrt{x})\)
b) Montrer que la fonction \(g\) est continue sur \([0,+∞[\)
et dérivable sur \(] 0 ,+∞[\ldots,\), ppts
c) Calculer \(g ^{\prime}( x )\) pour tout \(x > 0\),
en déduire que:
\(g\) est strictement décroissante sur \([0,+∞[\)
2) a) Montrer que:
\((∀ x>0) ; \frac{ g (x)- g (0)}{ x }<-\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}\)
b) En déduire que:
la fonction \(g\) est non dérivable à droite au point 0
et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.
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