Examen Math Bac 2 Science Math 2020 Normale7 juillet 2020 – Session Normale – Avec Correction –

Duré de l’épreuve: 4 heures

les 4 exercices indépendants entre eux.
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l’exercice 1 ou exercice 2.Exercice 1 (au choix ) : Arithmétique – 3.5 pointsExercice 2 (au choix ) : Structure Algébrique – 3.5 points

Exercice 3 (obligataire) : Les Nombres Complexes – 3.5 points

Exercice 4 (obligataire) : Analyse – 13 points

PARTIE I :Le candidat a le choix de répondre exclusivement:Soit a l’exercice 1 Soit a l’exercice 2 * Exercice 1 (au choix ) : Arithmétique – 3.5 points *On considère dans (Z×Z) l’équation ((D)=7 x^{3}-13 y = 5)Soit (x, y) ∈ (Z×Z) une solution de l’équation (D)Montrer que: (x) et 13 sont premiers entre euxb En déduire que: (x^{12}≡ 1 [13])Montrer que: (x^{3}≡ 10 [13])a En déduire que: (x^{12}≡ 3 [13])2 Déduire des questions précédentes, que: l’équation (D) n’admet pas de solution dans (Z×Z) * Exercice 2 (au choix ) : Structure Algébrique – 3.5 points *On note par (M_{2}( IR )) I’ensemble des matrices carrées d’ordre deux. On rappelle que ((M_{2}(IR),+,×)) est un anneau non commutatif unitaire d’unité (I=left(begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right)) et que ((R^{*}, ×)) est un groupe commutatif. On considéré le sous-ensemble (E) de (M_{2}( R )) défini par: (E=left{left(begin{array}{ll}1 & x \ 0 & yend{array}right) /; x ∈IR;et; y ∈IR ^{*}right})1) a. Montrer que (E) est une partie stable de ((M_{2}(IR),× ))b. Montrer que la multiplication n’est pas commutative dans (E).c. Vérifier que:((∀ x ∈IR )left(∀ y ∈IR ^{*}right):)(left(begin{array}{cc}
1 & x \
0 & y
end{array}right) ×left(begin{array}{cc}
1 & -frac{x}{y} \
0 & frac{1}{y}
end{array}right)) (=left(begin{array}{cc}
1 & -frac{x}{y} \
0 & frac{1}{y}
end{array}right) ×left(begin{array}{cc}
1 & x \
0 & y
end{array}right)) (=left(begin{array}{cc}
1 & 0 \
0 & 1
end{array}right))

2. Montrer que: ((E, x)) cst un groupe non commutatif.3. On considére le sous-ensemble (F) de (E) défini par: (F=left{M(x)=left(begin{array}{cc}1 & x-1 \ 0 & xend{array}right) / x ∈R ^{*}right})a. Montrer que l’application définie par: (left(∀ x ∈R ^{*}right) ; varphi(x)=M(x)) est un homomorphisme de (left( R ^{*}, ×right)) vers ((bar{E}, ×))b. En déduire que: ((F, x)) est un groupe commutatif dont on précisera l’élément neutre, Partie II: Obligatoire: Exercice 3 et Exercice 4

* Exercice 3 (obligataire) : Les Nombres Complexes – 3.5 points *

Soit m un nombre complexe non nul. Partie I : On considéré dans ℂ l’équation d’inconnue (z): ((E): z^{3}-2 m z^{2}+2 m^{2} z-m^{3}=0)1. Résoudre dans ℂ l’équation ((E))On remarque que m est une solution de l’équation ((E))2. On note (z_{1}) et (z_{2}) les deux autres solutions de l’équation ((E)) autre que (m)2.a Vérifier que: (frac{1}{z_{1}}+frac{1}{z_{2}}=frac{1}{m})b Dans le cas où (m=1+e^{i frac{π}{3}}), écrire sous la forme algébrique (z_{1}) et (z_{2}) Partie II : Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct ((O;vec{u},vec{v}))On considère les points A et B d’affixes respectives:(a=m e^{frac{π}{3}}) et (b=m e^{-i frac{π}{3}})On note:* (P) le centre de la rotation d’angle ((frac{π}{2})) qui transforme (O) en (A) * (Q) le centre de la rotation d’angle ((frac{π}{2})) qui transforme (A) en (B) * (R) le centre de la rotation d’angle ((frac{π}{2})) qui transforme (B) en (O)1. Montrer que: les points O, A et B ne sont pas alignes.2. a. Montrer que l’affixe de P est (p=m frac{sqrt{2}}{2}e^{i frac{7π}{12}}) et que l’affixe de R est (r=m frac{sqrt{2}}{2}e^{-i frac{7π}{12}})b. Montrer que:l’affixe de Q est (q=m sqrt{2}sin(frac{7π}{12}))3. Montrer que:OQ=PR et que les deux droites (OQ) et (PR) sont perpendiculaires. * Exercice 4 (obligataire) : Analyse – 13 points * Partie I : On considère la fonction (f) définie sur l’intervalle I=[0;+∞[ par:(f(0)=0) et ∀ x∈] 0;+∞[: (f(x)=x^{3}ln(1+frac{1}{x}))et soit ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O;vec{i},vec{j})) (On prendra (|vec{i}|=|vec{j}|=1 cm))1. On appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction:t ⟶ ln(t) sur l’intervalle I=[x;x+1], Montrer que:(P):(∀ x∈] 0;+∞[) ; (frac{1}{x+1}<ln(1+frac{1}{x})<frac{1}{x})2. En utilisant la proposition ( (P) ), montrer que: la fonction (f) est dérivable a droite en 0b. En utilisant la proposition ((P)), montrer que: la courbe ((C)) admet une branche parabolique dont on précisera la direction.3.a. Montrer que:la fonction (f) est dérivable sur ] 0;+∞[ et que :(∀ x∈] 0,+∞[) ; (f ‘(x)=3 x^{2}(ln(1+frac{1}{x})-frac{1}{3(1+x)}))b.En déduire que:la fonction (f) est strictement croissante sur (I) (On pourra utiliser la proposition ((P)))c. Dresser le tableau de variations de (f).4. Pour tout x ∈] 0,+∞[, on pose: (g(x)=frac{f(x)}{x})a. Vérifier que: (∀ x∈] 0,+∞[) ; (g ‘(x)=2x(ln(1+frac{1}{x})-frac{1}{2(1+x)})), en déduire que:la fonction (g) est strictement croissante sur (IR_{+}^{*})b. Montrer que l’équation g(x)=1 admet sur (IR _{+}^{*}) une solution unique notée α puis vérifier que α ∈]1;2[(On prendra (ln2=0.7) et (ln(frac{3}{2})=1.5)En déduire que les seules solutions de l’équation (f(x)=x) sont 0 et (α)5.a. Représenter graphiquement la courbe ( (C) )(On précisera la demi-tangente à droite en O et la branche parabolique de ((C)))b. Montrer que: (f) est une bijection de (I) vers (I)(On note (f^{-1}) sa bijection réciproque). Partie II: On considère la suite ((u_{n})_{n≥ 0}) définie par: (0<u_{0}<α) et (∀ n ∈IN) ; (u_{n+1}=f^{-1}(u_{n}))1. Montrer par récurrence que: (∀ n ∈IN ); (0<u_{n}<α)2.a. Montrer que: g(]0;α[)=]0;1[b. En déduire que la suite ((u_{n})_{n≥ 0}) est strictement croissante.c. Montrer que la suite ((u_{n})_{n≥ 0}) est convergente.d. déterminer (lim_{n➝+∞} u_{n}) Partie III : On considère la fonction (F) définie sur l’intervalle (I) par:((∀ x ∈I) ; F(x)=int_{x}^{1} f(t) dt)1.a. Etudier suivant les valeurs de x, le signe de (F(x))b. Montrer que:la fonction (F) est dérivable sur (I) et déterminer sa dérivée première (F ‘)c. En déduire que:(F) est strictement décroissante sur (I)2.a. Montrer que ∀ x∈[1;+∞[: (F(x)≤(1-x)ln2)b. En déduire (lim _{x➝+∞} F(x))3.a. En utilisant la méthode d’intégration par parties, montrer que ∀ x ∈] 0,+∞[:(F(x)=frac{ln 2}{4}-frac{x^{4}}{4}ln(1+frac{1}{x})+frac{1}{4}int_{x}^{1}frac{t^{3}}{t+1}dt)b. Calculer:(int_{x}^{1} frac{t^{3}}{t+1} dt) pour tout } x ∈]0,+∞[On remarque que:(frac{t^{3}}{1+t}=t^{2}-t+1-frac{1}{1+t}))c. En déduire que ∀ x∈] 0,+∞[: (F(x)=frac{5}{24}-frac{x^{3}}{12}+frac{x^{2}}{8}frac{x}{4}+frac{1}{4} ln(1+x)-frac{x^{4}}{4}ln (1+frac{1}{x}))d. Calculer: (lim _{x➝0^{+}} F(x)), en déduire la valeur de (int_{0}^{1} f(t) d t)4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose: (v_{n}=sum_{k=0}^{k=n-1}(F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n})))a. Montrer que pour tout n ∈IN* et pour tout k ∈{0,1, …, n-1} (-frac{1}{2 n} f(frac{2 k+1}{2 n}) leq F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n}) leq-frac{1}{2 n} f(frac{k}{n}))b. En déduire que ∀ n ∈IN*: (-frac{1}{2 n} sum_{k=1}^{k=n}f(frac{k}{n}≤v_{n}≤-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{k=n-1} f(frac{k}{n}))(On remarque que: (frac{2 k+1}{2 n}<frac{k+1}{n})(6) Montrer que: la suite numérique ((v_{n})_{n ∈IN *}) est convergente et déterminer sa limite. ⇊⇊Télécharger Fichier PDF Gratuit:Examen Bac 2 SM 2020 Nor Correction Bac 2 SM 2020 Nor

Examen National Mathématiques Sciences Maths 2020 Normal – Corrigé –

Exercice 1:

1-a-

Considérons dans (Z times Z) l’équation (D):
(7 x^{3}-13 y=5).
1- Supposons que l’équation ((D)) admet une solution ((x, y)) dans (Z times Z).
a- Montrons que (x) et 13 sont premiers entre eux.
Pour cela, posons (d=x wedge 13)
et montrons que (d=1).
Comme (d=x wedge 13) alors (d / x) et (d / 13)
Donc (d / x times 7 x^{2}+13 times(-y))
D’où (d / 5left(operatorname{car} 5=7 x^{3}-13 yright))
Et par suite (d=5) ou (d=1) (puisque 5 est premier et (d geq 1) )
Et comme 5 ne divise pas 13
alors (d=1)
Et par suite (x) et 13 sont premiers entre eux.

Déduisons que (x^{12} equiv 1[13])
Comme 13 est premier
et comme (x wedge 13=1)
alors d’après le théorème de Fermat (x^{13-1} equiv 1[13])
c.à.d (x^{12} equiv 1[13]).

c-
Montrons que (x^{3} equiv 10[13]).On a : (7 x^{3}-13 y=5)
et comme (5 equiv 70[13]) et (13 y equiv 0[13])
alors (7 x^{3} equiv 70[13])
Donc (13 / 7left(x^{3}-10right))
et comme (13 wedge 7=1)
d’après le théorème de Gauss (13 / x^{3}-10)
et par suite (x^{3} equiv 10[13])
d-

Déduisons que (x^{12} equiv 3[13])
On a d’après la question précédente (x^{3} equiv 10[13])
et comme (10 equiv-3[13])
Alors (left(x^{3}right)^{4} equiv(-3)^{4}[13])
et comme ((-3)^{4} equiv 27 times 3[13]) et (27 equiv 1[13])
Alors (x^{12} equiv 3[13])

2-
D’après ce qui a précédé,
si on suppose que l’équation ((D)) admet une solution ((x, y)) dans (Z times Z)
alors (x^{12} equiv 1[13]) et (x^{12} equiv 3[13]) d’où (1 equiv 3[13])c.à.d (13 / 2) ce qui contredit le fait que 13 ne divise pas 2 .
On en déduit que l’équation ((D)) ne peut pas avoir de solution dans (Z times Z).
1-a-

Considérons dans (Z times Z) l’équation (D):
7 x^{3}-13 y=5).
1- Supposons que l’équation ((D)) admet une solution ((x, y)) dans (Z times Z).
a- Montrons que (x) et 13 sont premiers entre eux.
Pour cela, posons (d=x wedge 13)
et montrons que (d=1).
Comme (d=x wedge 13) alors (d / x) et (d / 13)
Donc (d / x times 7 x^{2}+13 times(-y))
D’où (d / 5left(operatorname{car} 5=7 x^{3}-13 yright))
Et par suite (d=5) ou (d=1) (puisque 5 est premier et (d geq 1) )
Et comme 5 ne divise pas 13
alors (d=1)
Et par suite (x) et 13 sont premiers entre eux.

Déduisons que (x^{12} equiv 1[13])
Comme 13 est premier
et comme (x wedge 13=1)
alors d’après le théorème de Fermat (x^{13-1} equiv 1[13])
c.à.d (x^{12} equiv 1[13]).

Exercice 2:

1-a-
Montrons que (E) est une partie stable dans (left(mathrm{M}_{2}(IR), mathrm{x}right))
Pour cela, considérons deux matrices M et (N) de (E) tels que (M=M(a,b)=left(begin{array}{ll}1 & a \ 0 & bend{array}right))
et (N=M(x, y)=left(begin{array}{ll}1 & x \ 0 & yend{array}right))
et montrons que (M times N in E .)(Sous-entendu, on a ((a,x) in IR) et ((b,y)∈ {IR^{*}}^{2})On a:
( M times Nleft(begin{array}{ll}1 & a \ 0 & bend{array}right) timesleft(begin{array}{ll}1 & x \ 0 & yend{array}right))(=left(begin{array}{ll}1 times 1+a times 0 & 1 times x+a times y \ 0 times 1+b times 0 & 0 times x+b times yend{array}right))
(=left(begin{array}{ll}1 & x+a y \ 0 & b yend{array}right))
(=M(x+a y, b y))
Et comme (x+ay) ∈ IR ( car (IR,+,×) est un anneau)et by∈IR* ( car (IR*,×) est un groupe ) alors (M×N ∈ E).Et par suite (E) est une partie stable dans (({M}_{2}(IR),×)).
b-

Montrons que la loi (times) n’est pas commutative dans (E).
Pour cela, considérons deux matrices M et (N) de (E) tels que:
(M=M(a,)=left(begin{array}{ll}1 & a \ 0 & bend{array}right)) et (N=M(x, y)=left(begin{array}{cc}1 & x \ 0 & yend{array}right)) et montrons que (M times N in E)
On a d’après la question précédente (M times N=left(begin{array}{ll}1 & x+a y \ 0 & b yend{array}right)=M(x+a y, b y))
et (N times M=left(begin{array}{ll}1 & a+x b \ 0 & y bend{array}right)=M(a+x b, y b) .)
On constate bien que (M times N neq N times M) en général, en effet si on prend par exemple (M=left(begin{array}{ll}1 & 1 \ 0 & 2end{array}right)) et (N=left(begin{array}{ll}1 & 3 \ 0 & 1end{array}right))
On a (M times N=left(begin{array}{ll}1 & 4 \ 0 & 2end{array}right))
et (N times M=left(begin{array}{ll}1 & 7 \ 0 & 2end{array}right))
Donc (M times N neq N times M)
et par suite la loi (times) n’est pas commutative dans (E).

On a:
(left(begin{array}{cc}1 & x \ 0 & yend{array}right) timesleft(begin{array}{cc}1 & frac{-x}{y} \ 0 & frac{1}{y}end{array}right))
=(left(begin{array}{ll}1 times 1+x times 0 & 1 times frac{-x}{y}+x times frac{1}{y} \ 0 times 1+y times 0 & 0 times frac{-x}{y}+y times frac{1}{y}end{array}right))
=(left(begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right))

De même, on a:
(left(begin{array}{cc}1 & frac{-x}{y} \ 0 & frac{1}{y}end{array}right) timesleft(begin{array}{cc}1 & x \ 0 & yend{array}right))
=(left(begin{array}{cc}1 times 1+frac{-x}{y} times 0 & 1 times x+frac{-x}{y} times y \ 0 times 1+frac{1}{y} times 0 & 0 times x+frac{1}{y} times yend{array}right))
=(left(begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right))

Montrons que ((E, x)) est un groupe:
On a: ( E subset M_{2}(IR)) et (E neq varnothing).
((car ,I in E, I=M(0,1)))
D’après 1) a-:
(E) est une partie stable dans (left( M _{2}(IR), timesright) .)
Comme (E) est stable dans (left( M _{2}(IR), timesright))
et comme (times) est associative dans (left( M _{2}(IR), x right))
alors elle l’est dans (E) et comme (I) est l’élément neutre dans (left( M _{2}(IR), timesright))
alors il l’est aussi dans ((E, times))
Et d’après la question précédente l’inverse de tout élément:
(left(begin{array}{cc}1 & x \ 0 & yend{array}right)) de (E) dans (left( M _{2}(IR), timesright)) est (left(begin{array}{cc}1 & frac{-x}{y} \ 0 & frac{1}{y}end{array}right))
et comme (frac{-x}{y} in R) et (frac{1}{y} in IR ^{*})
alors (left(begin{array}{cc}1 & frac{-x}{y} \ 0 & frac{1}{y}end{array}right) e s)
bien l’inverse de:
(left(begin{array}{ll}1 & x \ 0 & yend{array}right)) dans (E).
D’où ((E, times)) est un groupe,
et d’après la question 1) b-:
ce groupe est non commutatif.

3-a

Considérons la partie (F) de (E) définie par:
[
F=left{M(x)=left(begin{array}{cc}
1 & x-1 \
0 & x
end{array}right)=M(x-1, x) / x in IR ^{*}right}
]
a-Considérons l’application (varphi):
[
begin{aligned}
&R ^{*} rightarrow E\
&x rightarrow varphi(x)=M(x)
end{aligned}
]
Montrons que (varphi) est un homomorphisme de (left(IR^{*}, xright)) vers ((E, x) .)
On a d’une part :
(forall(x, y) inleft( IR ^{*}right)^{2}, varphi(x times y))
=(varphi(x y)=M(x y)=M(x y-1, x y))
Et d’autre part:
(varphi(x) times varphi(y))
=(M(x) times M(y))
=(M(x-1, x) times M(y-1, y))
=(M(y-1+(x-1) y, x y))
=(M(y-1+x y-y, x y))
=(M(x y-1, x y))
D’où (forall(x, y) inleft(IR^{*}right)^{2}):
(varphi(x times y)=varphi(x) times varphi(x))
Et par suite (varphi) est un homomorphisme de (left( R ^{*}, xright)) vers ((E, x))

3-b

Déduisons que:
((F, times)) est un groupe commutatif et précisons son élément neutre.
Par définition de (F), on en déduit que (F=varphileft( R ^{*}right)),
en effet (F=left{varphi(x) / x in R ^{*}right})
Et comme (varphi) est un homomorphisme de (left( R ^{*}, timesright)) vers ((E, times))
et comme (left( R ^{*}, timesright)) est un groupe commutatif
alors (left(varphileft( R ^{*}right), timesright))
c.à.d ((F, times)) est un groupe commutatif.

Exercice 3:
Première partie

1-a

Considérons dans ℂ l’équation ( E ):
(z^{3}-2 m z^{2}+2 m^{2} z-m^{3}=0,) avec (m in ℂ ^{*} .)
1- Résolvons dans ℂ l’équation (E), sachant que mest une solution de (E)
On a:
[
begin{aligned}
(forall z in C): z^{3}-2 m z^{2}+2 m^{2} z-m^{3}=0 & Leftrightarrow z^{3}-m^{3}-2 m z^{2}+2 m^{2} z=0 \
& Leftrightarrow(z-m)left(z^{2}+m z+m^{2}right)-2 m z(z-m)=0 \
& Leftrightarrow(z-m)left(z^{2}+m z-2 m z+m^{2}right)=0 \
& Leftrightarrow(z-m)left(z^{2}-m z+m^{2}right)=0 \
& Leftrightarrow z-m=0 text { ou } z^{2}-m z+m^{2}=0 \
& Leftrightarrow z=m text { ou } z^{2}-m z+m^{2}=0
end{aligned}
]
* Résolvons dans ℂ l’équation: (z^{2}-m z+m^{2}=0)
Le discriminant de cette équation est:
(Delta=-3 m^{2}=(i m sqrt{3})^{2})
Cette équation admet deux solutions dans ℂ qui sont:
* (z_{1}=frac{-(-m)-i m sqrt{3}}{2})
=(mleft(frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}right))
* (z_{2}=frac{-(-m)+i m sqrt{3}}{2})
=(mleft(frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right))

D’où l’ensemble des solutions de l’équation (E) est:
[
S =left{m, mleft(frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}right),mleft(frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right)right}
]

2-a

Vérifions que (frac{1}{z_{1}}+frac{1}{z_{2}}=frac{1}{m}).
Comme (z_{1}) et (z_{2}) sont des solutions de l’équation (E) autre que (m)
alors elles sont les deux solutions de l’équation:
(z^{2}-m z+m^{2}=0)
donc:
(z_{1}+z_{2}=frac{-(-m)}{1}=m)
(z_{1} cdot z_{2}=frac{m^{2}}{1}=m^{2})
et par suite :
(frac{1}{z_{1}}+frac{1}{z_{2}}=frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1} z_{2}})
=(frac{m}{m^{2}})
=(frac{1}{m}).

Donnons l’écriture algébrique de chacun des nombres (z_{1}) et (z_{2})
en prenant dans cette question (m=1+e^{i frac{pi}{3}}).
On a:
(m=1+e^{i frac{pi}{3}})
=(1+frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2})
=(frac{3}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}).
Donc:
* (z_{1}=mleft(frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}right))
=(left(frac{3}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right)left(frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}right))
=(frac{3}{4}-frac{3 sqrt{3}}{4} i+frac{sqrt{3}}{4} i+frac{3}{4})
=(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2} i )
* (z_{2}=mleft(frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right))
=(left(frac{3}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right)left(frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right))
=(frac{3}{4}+frac{3 sqrt{3}}{4} i+frac{sqrt{3}}{4} i-frac{3}{4})
=(sqrt{3} i)

Deuxième partie

Montrons que les points (O, A) et (B) ne sont pas alignés.
On a:
(frac{z_{B}-z_{O}}{z_{A}-z_{O}}=frac{z_{B}}{z_{A}})
=(frac{m e^{-i frac{pi}{3}}}{m e^{i frac{pi}{3}}})
=(e^{-i frac{2 pi}{3}} notin IR)
car:
( Im(e^{-i frac{2 pi}{3}}=-sin (frac{2 pi}{3})=-frac{sqrt{3}}{2} neq 0)

2-a

Montrons que:
(z_{P}=p=m frac{sqrt{2}}{2} e^{i frac{7 pi}{12}})
et que (z_{R}=r=m frac{sqrt{2}}{2} e^{-i frac{7 pi}{12}})
(A=R_{1}(O))
(Leftrightarrow z_{A}-z_{P}=e^{i frac{pi}{2}}left(z_{O}-z_{P}right))
(Leftrightarrow z_{A}-z_{P}=ileft(z_{O}-z_{P}right))
(Leftrightarrow z_{A}=(1-i) z_{P})
(Leftrightarrow Z_{P}=frac{1}{1-i} a)
(Z_{P}=p=frac{m e^{i frac{pi}{3}}}{sqrt{2} e^{-i frac{pi}{4}}})
=(m frac{sqrt{2}}{2} e^{ileft(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}right)})
=(m frac{sqrt{2}}{2} e^{ileft(frac{7 pi}{12}right)})

(O=R_{3}(B))
(Leftrightarrow z_{O}-z_{R}=e^{i frac{pi}{2}}left(z_{B}-z_{R}right))
(Leftrightarrow-z_{R}=i z_{B}-i z_{R})
(Leftrightarrow z_{B}=frac{(1-i)}{i} z_{R})
(Leftrightarrow z_{B}=-(1+i) z_{R})
(Leftrightarrow z_{R}=frac{-1}{1+i} b)
(z_{R}=r=frac{m e^{-i frac{pi}{3}}}{sqrt{2} e^{i frac{pi}{4}}})
(=m frac{sqrt{2}}{2} e^{-ileft(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}right)})
(=m frac{sqrt{2}}{2} e^{-ileft(frac{7 pi}{12}right)})

b-
Montrons que:
(z_{Q}=q=m frac{sqrt{2}}{2} sin left(frac{7 pi}{12}right))On a :
(B=R_{2}(A)
(Leftrightarrow z_{B}-z_{Q}=e^{i frac{pi}{2}}left(z_{A}-z_{Q}right))
(Leftrightarrow z_{B}-z_{Q}=ileft(z_{A}-z_{Q}right))
(Leftrightarrow z_{Q}=q=frac{1}{-1+i}left(i z_{A}-z_{B}right)=frac{1}{sqrt{2} e^{i frac{3 pi}{4}}left(e^{i frac{pi}{2}} m e^{i frac{pi}{3}}-m e^{-i frac{pi}{3}}right)})
(Leftrightarrow z_{Q}=q=m frac{sqrt{2}}{2} e^{-i frac{3 pi}{4}}left(e^{i frac{5 pi}{6}}-e^{-i frac{pi}{3}}right))
Car:
(e^{-i frac{pi}{2}}=-i)
(forall(alpha, beta) in IR²):(e^{i alpha}-e^{i beta}=)
(e^{ileft(frac{alpha+beta}{2}right)} e^{ileft(frac{alpha-beta}{2}right)}-e^{-ileft(frac{alpha-beta}{2}right)}=)
(2 i sin left(frac{alpha-beta}{2}right) e^{ileft(frac{alpha+beta}{2}right)})
3-
Montrons que (OQ=PR) et que ((OQ) perp(PR)).
On a d’une part:
aff ((overrightarrow{OQ})=q=m sqrt{2} sin left(frac{7 pi}{12}right))
et d’autre part:(aff(overline{PR})=r-p)
=(m frac{sqrt{2}}{2}left(e^{-ileft(frac{7 pi}{12}right)}-e^{i frac{7 pi}{12}}right))=(-2 i sin left(frac{7 pi}{12}right) m frac{sqrt{2}}{2})=(-i sin left(frac{7 pi}{12}right) m sqrt{2})
donc:(OQ=|overrightarrow{O Q}|=|q|)
=(sqrt{2} sin left(frac{7 pi}{12}right)|m|)car:
(frac{7 pi}{12} in ] 0,frac{pi}{2}[Rightarrow sin(frac{7 pi}{12})>0)et (PR=|r-p|=sqrt{2} sin left(frac{7 pi}{12}right)|m|)donc:
(OQ=PR) De même, on a:(overline{(overrightarrow{OQ},overrightarrow{PR})}equiv arg(frac{r-p}{qo})[2pi])(equiv arg left(frac{1}{-i}right)[2 pi])(equiv arg (i)[2 pi])(equiv frac{pi}{2}[2 pi])D’où : ((OQ)⊥(PR))

Exercice 4:
Première partie

Soit (x in] 0,+infty[)
montrons en appliquant le TAF à la fonction (ln) sur l’intervalle ([x, x+1])
que (frac{1}{x+1}leftlangleln left(1+frac{1}{x}right)<frac{1}{x}right.).
Comme la fonction In est dérivable sur (] 0,+infty[)
alors elle est continue sur l’intervalle ([x, x+1]) et dérivable sur l’intervalle (] x, x+1[)
alors d’après le TAF
(exists c in]x, x+1[,tel que:)
(ln (x+1)-ln x=ln ^{prime}(c)(x+1-x)=frac{1}{c})
Et comme
(ln (x+1)-ln x=ln(frac{x+1}{x}))
=(ln(1+frac{1}{x}))
alors (exists c in] x, x+1[,tel que:)
(ln(1+frac{1}{x})=frac{1}{c})
Et comme (c in]x, x+1[)
(Leftrightarrow x<c< x+1)
(Leftrightarrow frac{1}{x+1}<frac{1}{c}<frac{1}{x})

Alors
(frac{1}{x+1}<ln(1+frac{1}{x})<frac{1}{x}).
2-a
Considérons la propriété P (forall x in] 0,+infty[): (frac{1}{x+1}<ln (1+frac{1}{x})<frac{1}{x})En utilisant la propriété ((P))
montrons que (f) est dérivable à droite en 0 .On a:
(forall x in] 0,+infty[:)
(frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x^{2} ln (1+frac{1}{x})).Comme
(forall x in] 0,+infty[: x^{3}>0)
alors de ((P)) on en déduit que (forall x in] 0,+infty[):(frac{x^{2}}{x+1}< x^{2} ln (1+frac{1}{x})<frac{x^{2}}{x}.)
c.à.d
(frac{x^{2}}{x+1}<frac{f(x)-f(0)}{x-0}< x.)Et comme:
(lim _{x➝0^{+}} frac{x^{2}}{x+1}=lim _{x➝0^{+}} x=0)
alors
d’après le théorème dit des gendarmeson a :
(lim _{x➝0^{+}} frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0 in IR)et par suite (f) est dérivable à droite en 0
et on a (f_{d}^{prime}(0)=0)
b-
En utilisant la propriété ((P)) montrons que:
la courbe ((C)) admet une branche parabolique dont on précisera la direction.
D’abord, on remarque que:
(lim _{x ➝+∞} f(x)=lim _{x ➝+∞} x^{3} ln (1+frac{1}{x}))
=(lim _{x ➝+∞} x^{2} frac{ln (1+frac{1}{x})}{frac{1}{x}})=+∞Puisque:
(lim _{x ➝+∞} x^{2}=+∞) et (lim _{x ➝+∞} frac{ln (1+frac{1}{x})}{frac{1}{x}})
=(lim _{t ➝ 0^{+}} frac{ln (1+t)}{t}=1) en posant (t=frac{1}{x})Ensuite, à partir de la proposition ((P))
on déduit que ∀x ∈] 0,+∞[:
(frac{x^{2}}{x+1}<frac{f(x)}{x}< x)
Et puisque:
(lim _{x ➝+∞} frac{x^{2}}{x+1}=lim _{x ➝+∞} frac{x}{1+frac{1}{x}})
=+∞
alors
(lim _{x ➝+∞} frac{f(x)}{x})=+∞
Et par suite la courbe ((C)) admet une branche parabolique de direction l’axedes ordonnées au voisinage de +∞.
3-a

Montrons que la fonction (f) est dérivable sur l’intervalle ]0,+∞[
et que ∀x ∈ ]0,+∞[:
(f ‘ (x)=3 x^{2}(ln (1+frac{1}{x})-frac{1}{3(1+x)}).)
Comme la fonction (x ➝ 1+frac{1}{x}) est dérivable et strictement positive sur ]0,+∞[
Alors la fonction: (x ➝ ln (1+frac{1}{x})) est dérivable sur ]0,+∞[
D’où la fonction (f) est dérivable sur l’intervalle (] 0,+∞[) produit de deux fonctions dérivables sur ]0,+∞[
et on a ∀x ∈] 0,+∞[:
(f^{prime}(x)=(x^{3})^{prime} ln (1+frac{1}{x})+x^{2}(ln (1+frac{1}{x}))^{prime})
=(3 x^{2} ln (1+frac{1}{x})+x^{3} frac{(1+frac{1}{x})^{prime}}{1+frac{1}{x}})
=(3 x^{2} ln (1+frac{1}{x})+x^{3} frac{(-frac{1}{x^{2}})}{frac{1+x}{x}})
=(3 x^{2} ln (1+frac{1}{x})-frac{x^{2}}{1+x})
=(3 x^{2}(ln (1+frac{1}{x})-frac{1}{3(1+x)})

b-
Déduisons que la fonction (f) est strictement croissante sur [0,+∞[.
On a:
∀x ∈]0,+∞[:
(f^{prime}(x)=3 x^{2}(ln (1+frac{1}{x})-frac{1}{3(1+x)}).)Et comme d’après (P) ∀x ∈] 0,+∞[:
(frac{1}{3(1+x)}<frac{1}{1+x}<ln(1+frac{1}{x}).)alors :∀x ∈] 0,+∞[:
(ln (1+frac{1}{x})-frac{1}{3(1+x)}>.)et comme ∀x ∈]0,+∞[: 3x²> 0Alors :
∀x ∈]0,+∞[: f ‘ (x)> 0D’où:
(f) est strictement croissante sur [0,+∞[.
c-

Tableau de variations de f

4-a
Considérons la fonction (g) définie sur ∀x ∈]0,+∞[:
(g(x)=frac{f(x)}{x})Vérifions (∀x ∈]0,+∞[):
(g^{prime}(x)=2 x(ln (1+frac{1}{x})-frac{1}{2(1+x)}))D’abord, signalons que g est dérivable sur ] 0,+∞[ rapport de deux fonctions dérivables sur ]0,+∞[.
On a (∀x ∈] 0,+∞[):
(g^{prime}(x)=(frac{f(x)}{x})^{prime})
=(frac{f^{prime}(x) cdot x-x^{prime} f(x)}{x^{2}})=(frac{1}{x}(3 x^{2}(ln (1+frac{1}{x}))-frac{1}{3(1+x)})-frac{1}{x^{2}}(x^{3} ln (1+frac{1}{x})))=(3 x ln (1+frac{1}{x})-x ln (1+frac{1}{x})-frac{x}{1+x})=(2 x(ln (1+frac{1}{x})-frac{1}{2(1+x)}))Toujours d’après ((P)) on a ∀x ∈]0,+∞[:
(frac{1}{2(1+x)}<frac{1}{1+x}<ln (1+frac{1}{x}))Et comme (∀x ∈]0,+∞[: 2x>0)
alors ∀x ∈]0,+∞[:
(g^{prime}(x)>0).Et par suite la fonction (g) est strictement croissante sur l’intervalle ]0,+∞[.
b-
Montrons que la fonction (g(x)=1) admet une solution unique (α) sur (] 0,+∞[)
puis vérifions que (α ∈] 1,2[.)
Comme la fonction (g) est continue et strictement croissante sur l’intervalle ] (0,+∞[)
alors c’est une bijection de (] 0,+∞[) vers l’intervalle (J=g(] 0,+∞[))
et on (a: J=] lim _{x ➝ 0^{+}} g(x), lim _{x ➝+∞} g(x)[=] 0,+∞[,)
en effet, on a:(lim _{x ➝ 0^{+}} g(x)=lim _{x ➝ 0^{+}} frac{f(x)}{x}=0)
et (lim _{x ➝+∞} g(x)=lim _{x ➝+∞} frac{f(x)}{x}=+∞)Et comme (1 ∈ J) alors ((∃ ! α ∈] 0,+∞[)) tel que (g(α)=1)
(d’après théorème de la fonction bijective ).
Et comme
(g(1)=f(1)=ln (2) approx 0.7)
et (g(2)=frac{1}{2} f(2)=4 ln (frac{3}{2}) approx 1.5)
et (g(α)=1)alors
(g(1)< g(α)< g(2))
et comme la fonction (g) est strictement croissante sur (0,+∞[)
et que (1, α) et 2 sont des éléments de cet intervalle alors (1<α< 2 .)
c-
Déduisons que:
les seules solutions de l’équation (f(x)=x) sont 0 et α.
On a:∀x∈]0,+∞[):(f(x)=x ⇔frac{f(x)}{x}=1)⇔g(x)=1 ⇔x=αEt comme (f(0)=0)
alors les seules solutions de l’équation(f(x)=x) sont 0 et α.
5-a

Représentation graphique de la fonction f

b-
Montrons que la fonction (f) réalise une bijection de I vers I.
Comme la fonction (f) est continue et strictement croissante sur l’intervalle IAlors
elle réalise une bijection de I vers (f(I)=] lim _{x➝ 0^{+}} f(x), lim _{x➝+∞} f(x)[=] 0,+∞[=I).Signalons que f est continue à droite en 0,
puisqu’on a démontré qu’elle est dérivable à droite en 0,
d’où
(lim _{x➝ 0^{+}} f(x)=f(0)=0).

Deuxième partie

détermination de la limite de ((u_{n}))
La suite ((u_{n})) est une suite récurrente définie par:
∀ n∈IN: (u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})) avec (u _{0}) ∈] 0,α[⊂[0,α]
Comme la fonction (f^{-1}) est continue sur l’intervalle ([0,α])
et comme (f^{-1}([0, α])=[0, α]⊂[0, α])
car (α ∈] 1,2[) )
et comme (u_{0} ∈[0,α]) et ((u_{n})) est convergente
alors la limite de ((u_{n})) est solution de l’équation (f^{-1}(x)=x) sur l’intervalle ([0, α]).
Or ∀x ∈[0, α]:
f^{-1}(x)=x
⇔ f(x)=x
⇔x=0 ou x=α

Donc On a (lim _{n➝+∞ } u_{n}=0) ou bien (lim _{n ➝+∞} u_{n}=α,)
et comme ∀n ∈IN: (0< u_{n}<α)
et comme la suite ((u_{n})) est strictement croissante alors (lim _{n➝+∞} u_{n}=α).
en effet, du fait que ((u_{n})) est strictement croissante on déduit que:
∀n ∈IN): (u_{n} ≥ u_{0})
puis que (lim _{n➝+∞} u_{n} ≥ u_{0}) et comme (u_{0}> 0)
alors (lim _{n➝+∞} u_{n}> 0)

2-a
Montrons que (g(] 0, α[)=] 0,1[). On a vu déjà que g est continue est strictement croissante sur (] 0,+∞[) et comme (] 0, α[subset] 0,+∞[) alors elle l’est aussi sur (] 0, α[) et donc (g(] 0, α[)=mid lim _{x➝ 0^{+}} g(x), lim _{x➝ α^{-}} g(x)[=] 0,1[,)
en effet (lim _{x➝ 0^{+}} g(x)=lim _{x➝ 0^{+}} frac{f(x)}{x}=0)Et (lim _{x➝ α^{-}} g(x)=g(α)=1) (car g est continue en (α) et (g(α)=1).
b-

Déduisons que la suite ((u_{n})) est strictement croissante.
Du fait que (g(]0, α[)=] 0,1[)
on déduit que (∀x∈] 0,1[: 0<g(x)< 1)
et comme ∀n ∈IN:(u_{n} ∈] 0, α[)
alors ∀n∈IN: (0< g(u_{n})< 1)
et comme ∀n∈IN: (g(u_{n})=frac{f(u_{n})}{u_{n}) et (u_{n}> 1)
alors on en déduit que ∀n ∈IN: (0< f(u_{n})< u_{n})
et comme (f^{-1}) est strictement croissante sur (] 0,+∞[.)
alors ∀n∈IN: (f^{-1}(0)< f^{-1}(f(u_{n}))< f^{-1}(u_{n}))
alors ∀n∈IN: ( 0< u_{n}< f^{-1}(u_{n}))
et comme (f^{-1}(u_{n})=u_{n+1})
alors on déduit que .
(∀n ∈IN: u_{n}< u_{n+1})
ce qui signifie que la suite ((u_{n})) est strictement croissante.

Comme la suite ((u_{n})) est strictement croissante
et comme elle est majorée ( par (α) )
alors elle est convergente.

détermination de la limite de ((u_{n}))
La suite ((u_{n})) est une suite récurrente définie par:
∀ n∈IN: (u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})) avec (u _{0}) ∈] 0,α[⊂[0,α]
Comme la fonction (f^{-1}) est continue sur l’intervalle ([0,α])
et comme (f^{-1}([0, α])=[0, α]⊂[0, α])
car (α ∈] 1,2[) )
et comme (u_{0} ∈[0,α]) et ((u_{n})) est convergente
alors la limite de ((u_{n})) est solution de l’équation (f^{-1}(x)=x) sur l’intervalle ([0, α]).
Or ∀x ∈[0, α]:
f^{-1}(x)=x
⇔ f(x)=x
⇔x=0 ou x=α

Donc On a (lim _{n➝+∞ } u_{n}=0) ou bien (lim _{n ➝+∞} u_{n}=α,)
et comme ∀n ∈IN: (0< u_{n}<α)
et comme la suite ((u_{n})) est strictement croissante
alors (lim _{n➝+∞} u_{n}=α).
en effet, du fait que ((u_{n})) est strictement croissante
on déduit que ∀n ∈IN): (u_{n} ≥ u_{0})
puis que (lim _{n➝+∞} u_{n} ≥ u_{0}) et comme (u_{0}> 0)
alors (lim _{n➝+∞} u_{n}> 0)

Troisième partie

1-a-

On considère la fonction (F) définie sur l’intervalle I=[0,+∞[ par:
F(x)=(int_{x}^{1} f(t) dt )
Étudions suivant les valeurs de (x) le signe de (F(x)).
Soit (x∈[0,+∞[,) on sait que (t) est continue sur I=[0,+∞[
et que ((∀t∈[0,+∞[) f(t) ≥ 0,) donc on a (F(x) ≥ 0) si (x leq 1) et (F(x) leq 0) si (x ≥ 1).

Montrons que (F) est dérivable sur I
et déterminons (mathrm{F}^{prime}(x)) pour tout (x∈1 .)
Remarquons d’abord que (F(x)=-int_{1}^{x} f(t) dt,)
comme la fonction (f) est continue sur 1 et comme 1∈I
alors la fonction : x➝ (int_{1}^{x} f(t) d t) est la fonction primitive de I qui s’annule en 1
et on a ∀x∈I: (int_{1}^{x} f(t) d t)^{prime}=f(x))
on en déduit que la fonction (F) est dérivable sur I
et que ∀x∈I: (F^{prime}(x)=-f(x))

Déduisons que la fonction (F) est strictement décroissante sur (I).
Comme ((∀x∈I) F^{prime}(x)=-f(x))
et comme ∀x∈] 0,+∞[ :f(x)> 0
alors
∀x∈] 0,+∞[ (F^{prime}(x)< 0)
et par suite (F) est strictement décroissante sur I=[0,+∞[.

2-a

Montrons que ∀x∈[1,+∞[: (F(x)≤ (1-x) ln 2).
Soit x∈[1,+∞[,
On a ∀t∈[1, x] : (f(1)≤ f(t)) et comme (f(1)=ln 2)
alors ∀t∈[1, x] (ln 2≤ f(t))
et comme 1≤ x alors (int_{1}^{x} ln 2 d t≤ int_{1}^{x} f(t) d t)
Donc ((x-1) ln 2≤ int_{1}^{x} f(t) d t)
et par suite (-int_{1}^{x} f(t) d t≤ -(x-1) ln 2)
c.à.d (F(x)≤ (1-x) ln 2).

Comme d’après la question précédente :
((∀x in[1,+∞[): F(x)≤ (1-x) ln 2)
et comme (lim _{x ➝+∞}(1-x) ln 2=-infty(ln 2> 0))
alors (lim _{x ➝+∞} F(x)=-infty).

3-a
oit (x in] 0,+∞[,)
On a :
F(x) =(int_{x}^{1}(frac{1}{4} t^{4})^{prime} ln (1+frac{1}{t}) d t)
=([frac{1}{4} t^{4} ln (1+frac{1}{t})]_{x}^{1}-int_{x}^{1} frac{1}{4} t^{4}(ln (1+frac{1}{t}))^{prime} dt )
=([frac{1}{4} t^{4} ln (1+frac{1}{t})]_{x}^{1}-int_{x}^{1} frac{1}{4} t^{4}(frac{-1}{t(t+1)}) dt)
D’où (∀x in] 0,+∞[):
F(x)=(frac{1}{4} ln (2)-frac{x^{4}}{4} ln (1+frac{1}{x})+frac{1}{4} int_{x}^{1} frac{t^{3}}{t+1} dt )
b-
Soit (x in] 0,+∞[) calculons l’intégrale(int_{x}^{1} frac{t^{3}}{t+1} dt)
On a: (int_{x}^{1} frac{t^{3}}{t+1} dt =int_{x}^{1} t^{2}-t+1-frac{1}{t+1} dt)=([frac{1}{3} t^{3}-frac{1}{2} t^{2}+t-ln (1+t)]_{x}^{1})=(frac{1}{3}-frac{1}{2}+1-ln 2-frac{1}{3} x^{3}+frac{1}{2} x-x+ln (1+x) )D’où
(int_{x}^{1} frac{t^{3}}{t+1} dt)
=(frac{5}{6}-ln 2-frac{1}{3} x^{3}+frac{1}{2} x^{2}-x+ln (1+x).)
c-
D’après les deux questions 3) a et 3) b
on déduit que (∀x in] 0,+∞[):F(x)=(frac{5}{24}-frac{x^{3}}{12}+frac{x^{2}}{8}-frac{x}{4}+frac{1}{4} ln (1+x)-frac{x^{4}}{4} ln (1+frac{1}{x}).)
d-

Donc On a (lim _{n➝+∞ } u_{n}=0) ou bien (lim _{n ➝+∞} u_{n}=α,)
et comme ∀n ∈IN: (0< u_{n}<α)
et comme la suite ((u_{n})) est strictement croissante
alors (lim _{n➝+∞} u_{n}=α).
en effet, du fait que ((u_{n})) est strictement croissante
on déduit que ∀n ∈IN): (u_{n} ≥ u_{0})
puis que (lim _{n➝+∞} u_{n} ≥ u_{0}) et comme (u_{0}> 0)
alors (lim _{n➝+∞} u_{n}> 0)

4-a-

Considérons la suite ((v_{n})_{n∈IN ^{*}}) définie par :
(v_{n}=sum_{k=0}^{n-1}(F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n}))).
Montrons que pour tout (n∈N ^{*}) et pour tout (k in{0,1, ldots, n-1},)
on a :
(-frac{1}{2 n} f(frac{2 k+1}{2 n}) leq F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n}) leq-frac{1}{2 n} f(frac{k}{n}))
Soit n∈IN*et soit k∈{0,1,…, n-1},
appliquant le TAF à la fonction (F) sur L’intervalle ([frac{k}{n}, frac{2 k+1}{2 n}]).
On a (F) est dérivable sur ([0,+infty[..)
et comme ([frac{k}{n}, frac{2 k+1}{2 n}] subset[0,+infty[)
alors elle est continue sur ([frac{k}{n}, frac{2 k+1}{2 n}])
et dérivable sur (] frac{k}{n}, frac{2 k+1}{2 n}[,)
donc d’après le TAF:
((exists c in] frac{k}{n}, frac{2 k+1}{2 n}[) text { tel que } F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n})=F^{prime}(c)(frac{2 k+1}{2 n}-frac{k}{n})=-f(c) frac{1}{2 n})
Et comme test strictement croissante sur ([0,+infty[.)
et comme (frac{k}{n}< c<frac{2 k+1}{2 n}.)
alors (f(frac{k}{n})<f(c)< f(frac{2 k+1}{2 n}).)
et par suite:
(-frac{1}{2 n} f(frac{2 k+1}{2 n})< F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n})<-frac{1}{2 n} f(frac{k}{n}).)

Déduisons que:
((forall n in N ^{*})-frac{1}{2 n} sum_{k=1}^{n} f(frac{k}{n}) leq v_{n} leq-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k}{n}))
On a :
d’après la question précédente :
((forall n in N ^{*})(forall k in{0,1, ldots, n-1})-frac{1}{2 n} f(frac{2 k+1}{2 n}) leq F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n}) leq-frac{1}{2 n} f(frac{k}{n}))
Et en passant à la sommation on obtient:
( sum_{k=0}^{n-1}-frac{1}{2 n} f(frac{2 k+1}{2 n}) leq sum_{k=0}^{n-1}(F(frac{2 k+1}{2 n})-F(frac{k}{n})) leq sum_{k=0}^{n-1}-frac{1}{2 n} f(frac{k}{n}) (*))
On a :
((forall k in{0,1, ldots, n-1}) frac{2 k+1}{2 n}langlefrac{k+1}{n}.)
Et comme (f) est strictement croissante sur ([0,+infty[)
alors:
((forall k in{0,1, ldots, n-1}) f(frac{2 k+1}{2 n}) leq f(frac{k+1}{n}))
donc:
((forall k in{0,1, ldots, n-1})-f(frac{k+1}{n}) leq-f(frac{2 k+1}{2 n}))
Et donc (-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k+1}{n}) leq-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{2 k+1}{2 n}))
et d’après (*) on obtient
(-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k+1}{n}) leq v_{n} leq-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k}{n}))
et comme
(sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k+1}{n})=sum_{k=1}^{n} f(frac{k}{n}))
alors
(-frac{1}{2 n} sum_{k=1}^{n} f(frac{k}{n}) leq v_{n} leq-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k}{n})
)

D’après la question précédente on a:
∀ n∈IN*:
(-frac{1}{2 n} sum_{k=1}^{n} f(frac{k}{n}) leq v_{n} leq-frac{1}{2 n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k}{n}))
et comme (f) est continue sur l’intervalle [0,1]
alors:
les deux suites ((s_{n})_{n∈IN*}) et ((S_{n})_{n∈IN*}) définie :
∀ n∈IN*:
(s_{n}=frac{1}{n} sum_{k=0}^{n-1} f(frac{k}{n}))
et (S_{n}=frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} f(frac{k}{n})) sont convergentes
et on a:
(lim _{n ➝+∞} s_{n}=lim _{n ➝+∞} S_{n}=int_{0}^{1} f(t) dt=frac{5}{24})
donc:
les deux suites ((-frac{1}{2} s_{n})_{n∈iN^{*}}) et ((-frac{1}{2} S_{n})_{n∈IN}) sont convergentes

et on a :
(lim _{n ➝+∞}-frac{1}{2} s_{n}=lim _{n ➝+∞}-frac{1}{2} S_{n}=frac{-5}{48})
et comme ∀ n∈IN*:
(-frac{1}{2} S_{n} leq v_{n} leq-frac{1}{2} s_{n})
alors
la suite ((v_{n})_{n∈IN*}) est convergente
et on a: (lim _{n ➝+∞} v_{n}=frac{-5}{48}).

Examen National Mathématiques Sciences Maths 2020 Normal – Corrigé –

Exercice 1:

Exercice 2:

Exercice 3: Première partie

Deuxième partie

Exercice 4: Première partie

Deuxième partie

Troisième partie

Exercice 3:
Première partie

Exercice 4:
Première partie