Examen National Math Bac 2 Science Math 2013 Normale

Exercice 1: (3.5 Pts)

Thème : Arithmétiques

On rappelle que $(Z,+,\times )$ est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1- On munit $Z$ de la loi de composition interne $\ast$ définie par:
$\mathrm{\forall }(x,y)\in Z^2);x\ast y=x+y-2$
a) Montrer que la loi $\ast$ est commutative et associative.
b) Montrer que $(Z,\ast )$ admet un élément neutre que l’on déterminera.
c) En déduire que $(Z,\ast )$ est un groupe commutatif.

2- On munit $Z$ de la loi de composition interne T définie par:
$\mathrm{\forall }(x,y)\in Z^2);xTy=xy-2x-2y+6$
et on considère l’application $f$ de $Z$ dans $Z$
définie par: $\mathrm{\forall }x\in Z;f(x)=x+2$
a) Montrer que:
l’application $f$ est un isomorphisme de $(Z,\times )$ dans $(Z,T)$
b) Montrer que:
$(\mathrm{\forall }(x,y,z)\in Z^3);(x\ast y)Tz=(xTz)\ast (yTz)$
3- En déduire de tout ce qui précède que:
$(Z,\ast ,T)$ est un anneau commutatif et unitaire.
4-a) Montrer que:
$xTy=2$ si est seulement si $(x=2$ ou $y=2)$
b) En déduire que: l’anneau $(Z,\ast ,T)$ est intègre.
c) $(Z,\ast ,T)$ est-il un corps ? (justifier votre réponse)

Exercice 2: (3.5 Pts)

Thème : Nombres complexes

I-
Soit $a$ un nombre complexe non nul.
Soit dans l’ensemble $ℂ$ l’équation d’inconnue  $z$ (E):
 $2z^2-(3+i\sqrt{3})az+(1+i\sqrt{3})a^2=0$
1-Vérifier que le discriminant de l’équation $(E)$ est: $(-1+i\sqrt{3}{)}^2{a}^2$
2-Résoudre dans $ℂ$ l’équation $(E)$

II-
Le plan complexe étant muni d’un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
On considère les points $A,B$ et $M$ d’affixes respectifs $a,b=a{e}^{i\frac{\pi }{3}}$ et $z$
Soit $r$ la rotation de centre $M$ et d’angle $\frac{\pi }{3}$
On pose $A_1=r^{-1}(A)$ et $B_1=r(B)$
(r^{-1}\) désigne la rotation réciproque de $r$
et soient $a_1$ et $b_1$ les affixes respectifs de $A_1$ et $B_1$
1-Vérifier que le triangle $OAB$ est équilatéral.
2- a) Montrer que :
$a_1=(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})a+(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})z$
et $b_1=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})a+(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})z$
b) Montrer que: le quadrilatère $O{A}_{1}M{B}_1$ est un parallélogramme.
3- On suppose que: $M\ne A$ et $M\ne B$
a) Montrer que:
$\frac{z-b_1}{z-a_1}=-\frac{z-b}{z-a}\times \frac{a}{b}$
b) Montrer que:
$M,A_1$ et $B_1$ sont alignés si et seulement si et $B$ sont cocycliques.

Exercice 3: (3 Pts)

Thème : Arithmétiques

L’objectif de l’exercice est de chercher les entiers naturels $n$ strictement supérieurs à 1
et qui vérifient la propriété suivante : $(R):3^n-2^n\equiv 0[n]$
1-On suppose que $n$ vérifie la propriété $(R)$
et soit $p\underset{―}{\text{ le plus petit diviseur premier positif de }}n$.
a) Montrer que : $3^n-2^n\equiv 0[p]$, en déduire que $p\ge 5$
b) Montrer que: $2^{p-1}\equiv 1[p]$ et $3^{p-1}\equiv 1[p]$
c) Montrer qu’il existe un couple $(a,b)$ de $Z^2$ tel que : $an-b(p-1)=1$
d) Soient $r$ et $q$ le reste et le quotient de la division euclidienne de $a$ par $p-1$
$(a=q(p-1)+r\text{ avec }0\le r<p-1\text{ et }q\in Z)$
Montrer qu’il existe un entier naturel $k$ tel que : $rn=1+k(p-1)$
2- En déduire de tout ce qui précède:
 qu’il n’existe pas d’entier naturel $n$ strictement supérieur à 1 vérifiant $(R)$

Exercice 4: (10 Pts)

Thème: Analyse

On considère la fonction numérique $h$ définie sur l’intervalle [1,+∞[ par :
$h(1)=1\text{ et }(\forall x>1);h(x)=\frac{x-1}{x\ln x}$

Partie I

1-a) Montrer que la fonction $h$ est continue à droite en 1
b) Montrer que$(\forall x>1:\ln x<x-1$,
en déduire que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l’intervalle ]1,+∞[
2-a) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}h(x)$ puis donner le tableau de variations de $h$
b) En déduire que  $(\forall x\ge 1):0<h(x)\le 1$

Partie II

On considère la fonction numérique $g$ définie sur l’intervalle $[1,+\infty [$ par :
$g(1)=\ln 2\text{ et }(\forall x>1);g(x)={\int }_x^{x^2}\frac{1}{\sqrt{t}\ln t}dt$
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $g$
dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
1-a) Vérifier que ∀x>1: 
${\int }_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}dt=\ln 2$
b) Vérifier que ∀x>1: 
$g(x)-\ln 2={\int }_x^{x^2}\frac{\sqrt{t}-1}{t\ln t}dt$
c) Montrer que ∀x>1: 
$g(x)-\ln 2={\int }_{\sqrt{x}}^x\frac{t-1}{t\ln t}dt$
2-a)Montrer que ∀x>1:
$(x-\sqrt{x})h(x)\le g(x)-\ln 2\le (x-\sqrt{x})h(\sqrt{x})$
b) En déduire que:
 la fonction $g$ est dérivable à droite au point 1
c) Montrer que:
$\underset{x➝+\infty }{lim}g(x)=+\infty$
et que : $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{g(x)}{x}=0$
3-a) Montrer que:
 $g$ est dérivable sur l’intervalle ] 1,+∞[
et que ∀x>1:
 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}h(\sqrt{x})$
b) En déduire que ∀x ≥ 1 : 
  $0<g^{\prime }(x)\le \frac{1}{2}$,
puis donner le tableau de variations de $g$
c) Construire la courbe $(C)$

Partie III

I-1-Montrer que la fonction $k:x➝g(x)-x+1$ est une bijection
de l’intervalle [1,+∞[ dans l’intervalle ]-∞, ln 2]
2- En déduire qu’il existe un unique réel $\alpha$
de l’intervalle ] 1,+∞[ qui vérifie $1+g(\alpha )=\alpha$
II- On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par:
$1\le u_0<\alpha$ et $(\forall n\ge 0);u_{n+1}=1+g(u_n)$
1- a) Montrer que:
 $(\forall n\ge 0);1\le u_n<\alpha$
b) Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est strictement croissante.
c) En déduire que:
 la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est convergente
et que $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n=\alpha$
2-a Montrer que :
 $(\forall n\ge 0);|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |$
b) Montrer que :
$(\forall n\ge 0);|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{2}{)}^n|u_0-\alpha |$
c) En déduire une deuxième fois, que : $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n=\alpha$.

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