Examen National 2022 Math Bac 2 Science Math Normale Avec Correction

Exercice 1: (10 Pts)

A-
1-Verifier que ∀x∈IR+ :
$0\le 1-x+x^2-\frac{1}{x+1}\le x^3$
2. En déduire que ∀x∈IR+ :
$0\le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ln (1+x)\le \frac{x^4}{4}$
B- On considère la fonction $f$
définie sur I=[0,+∞[ par $f(0)=\frac{1}{2}$:
$\forall x\in [0,+\infty [;(f(x)=\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}$
et soit $(C)$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
1-a) Montrer que: $f$ est continue d droite en 0
b) Montrer que: $f$ est dérivable a droite en 0
c) Calculer $\underset{x⟶+\infty }{lim}f(x)$,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2-a) Montrer que ∀ x∈] 0,+∞[:
$f^{\prime }(x)=-\frac{g(x)}{x^3}$
ou $g(x)=x+\frac{x}{x+1}-2\ln (1+x)$
b) Montrer que ∀ x∈ I) :
$0\le g^{\prime }(x)\le x^2$
c) En déduire que ∀ x∈ I:
$0\le g(x)\le \frac{x^3}{3}$
d) Déterminer le sens de variation de $f$ sur $I$
3-a) Dresser le tableau de variation de $f$
b) Représenter graphiquement la courbe $(C)$
dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
(On prendra $\Vert \overrightarrow{j}\Vert =2cm$ et $\Vert \overrightarrow{j}\Vert =2cm$)
C-
1- Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$∈]0;1[
tel que:$f(\alpha )=\alpha$
2- On considère la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ définie par:
$u_0=\frac{1}{3}$
et ∀n∈IN: $u_{n+1}=f(u_n)$
a) Montrer que ∀$n$∈IN : $u_n\in [0;1]$
b) Montrer que ∀ $n$∈IN:
$|u_{n+1}-\alpha |\le (\frac{1}{3})|u_n-\alpha |$
c) Montrer par récurrence que ∀ n∈IN:
$|u_n-a|\le (\frac{1}{3}{)}^n$
d) En déduire que:
la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ converge vers $\alpha$
D-
Pour tout $x\in I$, on pose:
$F(x)={\int }_2^{1}f(t)dt$
1- Montrer que: la fonction $F$ est dérivable sur $l$
et calculer $F^{\prime }(x)$ pour tout $x\in I$
2-a) En utilisant la méthode d’intégration par parties,
montrer que ∀ $x\in [0,+\infty [$:$F(x)=2\ln 2-(1+\frac{1}{x})\ln (1+x)$
b) Calculer $\underset{x⟶0^{+}}{lim}F(x)$,
puis en déduire que.:
${\int }_0^{1}f(t)dt=2\ln 2-1$
c) Calculer en ${cm}^2$.
l’aire du domaine plan limite par la courbe $(C)$.
l’axe des abscisses. l’axe des ordonnés el la droite d’équation $x=1$
E-
On pose, pour tout $k$ de IN :
${\Delta }_k=f(k)-{\int }_k^{k+1}f(t)dt$et pour tout $n$ de IN*:
$S_n=\sum _{k=0}^{1=n-1}{\Delta }_k$
1-a) Vérifier que ∀ $k$ ∈ IN: $0\le {\Delta }_k\le f(k)-f(k+1)$
b) En déduire que ∀ $n$ ∈ IN*: $0\le S_n\le \frac{1}{2}$
2-a) Montrer que la suite $(S_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$ est monotone.
b) En déduire que la suite $(S_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$ est convergente.
c) Montrer que:
la limite $\ell$ de la suite $(S_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$
vérifie:$\frac{3}{2}-2\ln 2\le \ell \le \frac{1}{2}$

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EXERCICE 2: (3.5 points)

Soit $m$ un nombre complexe non nul donné
et $j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$=$e^{t\frac{2x}{3}}$I-
On considère dans l’ensemble $C$ l’équation d’inconnue $z$
$(E_m):z^2+m{j}^{2}z+m^{2}j=0$
1- Vérifier que:
$j^3=1$ et $1+j+j^2=0$
2-a) Montrer que:
le discriminant de l’équation $(E_m)$ est $\Delta =[m(1-j){]}^2$
b) Déterminer $z_1$ ef $z_2$
les deux solutions de l’équation $(E_m)$
3- Dans cette question, on suppose que, $m=1+i$
Montrer que:
 $(z_1+z_2{)}^{2022}$ est un imaginaire pur.
II-
Le plan complexe est muni d’un repère
orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
Soit $\phi$ la transformation du plan complexe qui de tout point $M(z)$
fait correspondre le point $M^{\prime }(z^{\prime })$
tel que: $z^{\prime }=(1+j)z$
1- Déterminer:
la nature el les éléments caractéristiques de l’application $\phi$
2- On considère les points $A,B$ et $C$
d’affixes respectives $m$. $mj$ et $m{j}^2$
et on note $A^{\prime }(a^{\prime })\cdot B^{\prime }(b^{\prime })$ et $C^{\prime }(c^{\prime })$ les images respectives
des points $A.B$ el $C$ par l’application $\phi$ el soient $P(p),Q(q)$ cl $R(r)$ les milieux respectifs des segments $[B{A}^{\prime }]\cdot [C{B}^{\prime }]$ et $[A{C}^{\prime }]$
a) Montrer que:
 $a^{\prime }=-m{j}^2,b^{\prime }=-m$ et $c^{\prime }=-mj$
b) Montrer que:
$p+qj+r{j}^2=0$
c) En déduire que:
le triangle $PQR$ est équilatéral.

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EXERCICE3 , ( 3 points)

Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur $\dot{1}\mid$
On considère dans $N^2$ l’équation :
$(E_n):(x+1{)}^n-x^n=my$
Soit $(x,y)$ une solution de l’équation $(E_a)$ dans $I{N}^2$
et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$
1-a) Montrer que:
$(x+1{)}^n\equiv x^n[p]$
b) Montrer que:
$p$ est premier avec $x$ et avec $(x+1)$
c) En déduire que:
$(x+1{)}^{p-1}\equiv x^{p-1}[p]$
2- Montrer que:
si $n$ est pair, alors l’équation $(E_n)$ n’admet pas de solution dans ${IN}^2$
3- On suppose que $n$ est impair.a) Montrer que:
il existe un couple $(u,v)$ de $Z^2$
tel que $nu+(p-1)v=1$
(On rappelle que $p$ est le plus petit diviseur premier de $n$ )
b) Soient $q$ et $r$ respectivement
le quotient et le reste dans la division euclidienne de $n$ par (p-1)\).
Vérifier que: $nr=1-(p-1)(v+nq)$
c) On pose, $v^{\prime }=-(v+nq)$.
Montrer que: $v^{\prime }\ge 0$
d) Montrer que:
L’équation $(E_n)$ n’admet pas de solution dars ${\mathrm{N}}^2$

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EXERCICE 4 ( 3.5 points)

On rappelle que $(M_2(IR),+,\times )$ cst un anneau unitaire non commutatif d’unité
$I=(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array})$
et que $(Z_{,}+,x)$ est un anneau commutatif unitaire et intègre.
Soit
$E=\{M(a,b)=(\begin{array}{ll}a& 3b\\ b& a\end{array})/(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$
1-a) Montrer que:
$E$ esl un sous-groupe de $(M_2(\mathrm{R}),+)$
b) Vérifier que:
pour tout $a,b,c$ et $d$ de $\mathrm{Z}$, on a
$M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)$
c) Montrer que:
$(E,+,\times )$ cst un anneau commutatif et unitaire.
2- Soit$\phi$ l’application définie de $E$ vers $Z$ par:
$\forall (a,b)\in {\mathbb{Z}}^2;\phi (M(a,b))=|a^2-3b^2|$
Montrer que:
$\phi$ est un homomorphisme de $(E,\times )$ vers $(\mathbb{Z},\times )$
3- Soit $M(a,b)\in E$
a) Montrer que $M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2).I$
b) Montrer que:
si $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times )$ alors $\phi (M(a,b))=1$
c) On suppose que $\phi (M(a,b))=1$.
Montrer que:
$M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times )$ et préciser son inverse.
4-a) Montrer que:
$\forall (a,b)\in Z^2;\phi (M(a,b))=0\iff a=b=0$
b) En déduire que: l’anneau $(E,+,\times )$ est intègre.
c) Est-ce que $(E,+,x)$ est un corps ? justifier votre réponse.

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