Examen National Math 2 Bac Science Math 2015 Normale

Exercice 1: (3 points)

1-On considère dans l’ensemble $C$ l’équation suivante:
(E): $z^2-(5+i\sqrt{3})z+4+4i\sqrt{3}=0$
a) Vérifier que:
$(3-i\sqrt{3}{)}^2$ est le discriminant de l’équation $(E)$.
b) Déterminer a et b:
les deux solutions de l’équation $(E)$ (sachant que : b∈IR)
c) Vérifier que: $b=(1-i\sqrt{3})a$
2- Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct.
Soit $A$ le point d’affixe $a$ et $B$ le point d’affixe $b$.
a) Déterminer $b_1$ l’affixe du point $B_1$ image du point $O$
par la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$
b) Montrer que $B$ est l’image de $B$,
par l’homothétie de centre $A$ et de rapport $\sqrt{3}$
c) Vérifier que :
$\arg \left(\frac{b}{b-a}\right)\equiv \frac{\pi }{6}[2\pi ]$
d) Soit $C$ un point, d’affixe $c,$ appartenant au cercle circonscrit au triangle $OAB$
et différent de $O$ et de $A$.
Déterminer un argument du nombre complexe
$\frac{c}{c-a}$

Exercice 2: (3 points)

Soit $x$ un nombre entier relatif tel que:
$x^{1439}\equiv 1436[2015]$
1-Sachant que:1436×1051-2015×749=1,
montrer que 1436 et 2015 sont premiers entre eux.
2- Soit $d$ un diviseur commun de $x$ et de 2015.
a) Montrer que $d$ divise 1436.
b) En déduire que $x$ et 2015 sont premiers entre eux.
3-a) En utilisant le théorème de FERMAT,
Montrer que:
$x^{1440}\equiv 1[5]$, $x^{1440}\equiv 1[13]$ et $x^{1440}\equiv 1[31]$
(remarquer que: 2015=5×13×31)
b) Montrer que : $x^{1440}\equiv 1[65]$
en déduire que: $x^{1440}\equiv 1[2015]$
4-Montrer que: $x\equiv 1051[2015]$

Exercice 3: (4 points)

$M_{2}IR),+,\times )$ est un anneau unitaire
dont l’unité est:
$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
et que (IR,+) est un groupe commutatif.
Pour tout nombre réel x on pose:
$M(x)=\left(\begin{array}{cc}1-x& x\\ -2x& 1+2x\end{array}\right)$
et on considère l’ensemble E={M(x) / x∈IR}
On munit $E$ de la loi de composition interne $T$
définie par ∀(x,y)∈IR²:
$M(x)TM(y)=M(x+y+1)$
1- Soit $\phi$ l’application de $IR$ dans $E$
définie par ∀(x∈IR:
$\phi (x)=M(x-1)$
a)Montrer que:
$\phi$ est un homomorphisme de $(IR,+)$ vers $(E,T)$
b) Montrer que:
$(E,T)$ est un groupe commutatif.

2-
a) Montrer que ∀(x,y)∈IR²:
$M(x)\times M(y)=M(x+y+xy)$
b) En déduire que:
$E$ est une partie stable de $(M_2(IR),\times )$
et que la loi « × » est commutative dans $E$.
c) Montrer que:
la loi « × » est distributive par rapport à la loi $T$ dans $E$.
d) Vérifier que:
M(-1) est l’élément neutre dans $(E,T)$
et que I est l’élément neutre dans $(E,\times )$
3- a) Vérifier que ∀ x∈IR-{-1}:
$M(x)\times M(\frac{-x}{1+x})=I$
b) Montrer que $(E,T,\times )$ est un corps commutatif.

Exercice 4: (6.5 points)

Première partie:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[
par f(0)=0 et pour x>0:
$f(x)=x(1+ln²x)$
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,i,j)$.
1- Calculer:
$\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$
et $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2-a)Montrer que:
la fonction $f$ est continue à droite en $0.$
b) Calculer $\underset{x➝0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x}$
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Calculer $f‘(x)$ pour $x>0,$
en déduire que $f$ est strictement croissante sur [0,+∞[
3-a) Montrer que la courbe $(C)$ admet un point d’inflexion $I$ d’abscisse $e^{-1}$.
b) Etudier la position relative de la courbe $(C)$
par rapport à la droite d’équation: $y=x$
c) Tracer la courbe $(C)$. (On prendra $e^{-1}=0.4$ )

Deuxième partie:

On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par:
u_{0}=e^{-1}
∀n≥0: $u_{n+1}=f(u_n)$
1-Montrer par récurrence que:
$e^{-1}\le u_n<1$
2- Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est strictement croissante,
en déduire qu’elle est convergente.
3-On pose:
$\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n=l$.
a) Montrer que:
$e^{-1}\le l<1$
b) Déterminer la valeur de $l$

Troisième partie:

Soit F la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[ par:
$F(x)={\int }_1^{x}f(t)dt$
1-a) Montrer que la fonction:
H: x➝$-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^{2}lnx$
est une primitive de la fonction h: x➝xln x sur l’intervalle ]0,+∞[
b) Montrer que ∀ x>0:
${\int }_1^{x}tl{n}^2(t)dt=\frac{x^2}{2}l{n}^2(x)-{\int }_1^{x}tln(t)dt$
c) En déduire que ∀ x>0:
$F(x)=-\frac{3}{4}+\frac{3x^2}{4}-\frac{x^2}{2}\ln (x)+\frac{x^2}{2}{\ln }^2(x)$
2 -a) Montrer que:
la fonction $F$ est continue sur l’intervalle [0,+∞[.
b) Calculer:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}F(x)$ en déduire la valeur de l’intégrale ${\int }_0^{1}f(x)dx$

Exercice 5:

On considère la fonction numérique $g$
définie sur l’intervalle [0,+∞[
par g(0)=ln 2 et pour x>0:
$g(x)={\int }_x^{2\pi }\frac{e^{-t}}{t}dt$
1-a) Montrer que ∀x>0, ∀ t∊[x, 2 x]:
$e^{-2x}\le e^{-t}\le e^{-x}$
b) Montrer que ∀ x>0:
$e^{-2x}\ln 2\le g(x)\le e^{-x}\ln 2$
c) En déduire que:
la fonction $g$ est continue à droite en $0$
2. Montrer que :
la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle ]0,+∞[
puis calculer g ‘(x) pour x>0
3-a) Montrer que ∀ t>0:
$-1\le \frac{e^{-t}-1}{t}\le -e^{-t}$
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis)
b) Montrer que ∀ x>0:
$-1\le \frac{g(x)-\ln 2}{x}\le \frac{e^{-2x}-e^{-x}}{x}$
c) En déduire que la fonction $g$ est dérivable à droite en 0 .