Exercice 1: (3 points)
1-On considère dans l’ensemble \(C\) l’équation suivante:
(E): \(z^{2}-(5+i \sqrt{3}) z+4+4 i \sqrt{3}=0\)
a) Vérifier que:
\((3-i \sqrt{3})^{2}\) est le discriminant de l’équation \((E)\).
b) Déterminer a et b:
les deux solutions de l’équation \((E)\) (sachant que : b∈IR)
c) Vérifier que: \(\quad b=(1-i \sqrt{3}) a\)
2- Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct.
Soit \(A\) le point d’affixe \(a\) et \(B\) le point d’affixe \(b\).
a) Déterminer \(b_{1}\) l’affixe du point \(B_{1}\) image du point \(O\)
par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{π}{2}\)
b) Montrer que \(B\) est l’image de \(B\),
par l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\sqrt{3}\)
c) Vérifier que :
\(\arg \left(\frac{b}{b-a}\right) \equiv \frac{π}{6}[2π]\)
d) Soit \(C\) un point, d’affixe \(c,\) appartenant au cercle circonscrit au triangle \(OAB\)
et différent de \(O\) et de \(A\).
Déterminer un argument du nombre complexe
\(\frac{c}{c-a}\)
Exercice 2: (3 points)
Soit \(x\) un nombre entier relatif tel que:
\(x^{1439}≡1436[2015]\)
1-Sachant que:1436×1051-2015×749=1,
montrer que 1436 et 2015 sont premiers entre eux.
2- Soit \(d\) un diviseur commun de \(x\) et de 2015.
a) Montrer que \(d\) divise 1436.
b) En déduire que \(x\) et 2015 sont premiers entre eux.
3-a) En utilisant le théorème de FERMAT,
Montrer que:
\(x^{1440}≡1[5]\), \(x^{1440}≡1[13]\) et \(x^{1440}≡1[31]\)
(remarquer que: 2015=5×13×31)
b) Montrer que : \(x^{1440}≡1[65]\)
en déduire que: \(x^{1440}≡1[2015]\)
4-Montrer que: \(x≡1051[2015]\)
Exercice 3: (4 points)
\(M_{2}IR),+,×)\) est un anneau unitaire
dont l’unité est:
\(I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\)
et que (IR,+) est un groupe commutatif.
Pour tout nombre réel x on pose:
\(M(x)=\left(\begin{array}{cc} 1-x & x \\ -2 x & 1+2 x \end{array}\right)\)
et on considère l’ensemble E={M(x) / x∈IR}
On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\)
définie par ∀(x,y)∈IR²:
\(M(x) T M(y)=M(x+y+1)\)
1- Soit \(φ\) l’application de \(IR\) dans \(E\)
définie par ∀(x∈IR:
\(φ(x)=M(x-1)\)
a)Montrer que:
\(φ\) est un homomorphisme de \((IR,+)\) vers \((E, T)\)
b) Montrer que:
\((E,T)\) est un groupe commutatif.
2-
a) Montrer que ∀(x,y)∈IR²:
\(M(x)×M(y) = M(x+y+xy)\)
b) En déduire que:
\(E\) est une partie stable de \((M_{2}(IR),×)\)
et que la loi « × » est commutative dans \(E\).
c) Montrer que:
la loi « × » est distributive par rapport à la loi \(T\) dans \(E\).
d) Vérifier que:
M(-1) est l’élément neutre dans \((E,T)\)
et que I est l’élément neutre dans \((E,×)\)
3- a) Vérifier que ∀ x∈IR-{-1}:
\(M(x)×M(\frac{-x}{1+x})=I\)
b) Montrer que \((E, T,×)\) est un corps commutatif.
Exercice 4: (6.5 points)
Première partie:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[
par f(0)=0 et pour x>0:
\(f(x)=x(1+ln²x)\)
Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O, i, j)\).
1- Calculer:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
et \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2-a)Montrer que:
la fonction \(f\) est continue à droite en \(0 .\)
b) Calculer \(\lim _{x➝0^{+}} \frac{f(x)}{x}\)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Calculer \(f ‘(x)\) pour \(x>0,\)
en déduire que \(f\) est strictement croissante sur [0,+∞[
3-a) Montrer que la courbe \((C)\) admet un point d’inflexion \(I\) d’abscisse \(e^{-1}\).
b) Etudier la position relative de la courbe \((C)\)
par rapport à la droite d’équation: \(y=x\)
c) Tracer la courbe \((C)\). (On prendra \(e^{-1}=0.4\) )
Deuxième partie:
On considère la suite numérique \((u_{n})_{n≥0}\) définie par:
u_{0}=e^{-1}
∀n≥0: \(u_{n+1}=f(u_{n})\)
1-Montrer par récurrence que:
\(e^{-1}≤u_{n}<1\)
2- Montrer que la suite \((u_{n})_{n≥0}\) est strictement croissante,
en déduire qu’elle est convergente.
3-On pose:
\(\lim _{n ➝+∞} u_{n}=l\).
a) Montrer que:
\(e^{-1}≤l<1\)
b) Déterminer la valeur de \(l\)
Troisième partie:
Soit F la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[ par:
\(F(x)=\int_{1}^{x} f(t) dt\)
1-a) Montrer que la fonction:
H: x➝\(-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x^{2} ln x\)
est une primitive de la fonction h: x➝xln x sur l’intervalle ]0,+∞[
b) Montrer que ∀ x>0:
\(\int_{1}^{x}t ln^{2}(t) dt=\frac{x^{2}}{2} ln ^{2}(x)-\int_{1}^{x} t ln (t) dt\)
c) En déduire que ∀ x>0:
\(F(x)=-\frac{3}{4}+\frac{3 x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2} \ln (x)+\frac{x^{2}}{2} \ln ^{2}(x)\)
2 -a) Montrer que:
la fonction \(F\) est continue sur l’intervalle [0,+∞[.
b) Calculer:
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)\) en déduire la valeur de l’intégrale \(\int_{0}^{1} f(x) dx\)
Exercice 5:
On considère la fonction numérique \(g\)
définie sur l’intervalle [0,+∞[
par g(0)=ln 2 et pour x>0:
\(g(x)=\int_{x}^{2 π} \frac{e^{-t}}{t} dt \)
1-a) Montrer que ∀x>0, ∀ t∊[x, 2 x]:
\(e^{-2 x} \leq e^{-t} \leq e^{-x}\)
b) Montrer que ∀ x>0:
\(e^{-2x} \ln 2 \leq g(x) \leq e^{-x} \ln 2\)
c) En déduire que:
la fonction \(g\) est continue à droite en \(0\)
2. Montrer que :
la fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle ]0,+∞[
puis calculer g ‘(x) pour x>0
3-a) Montrer que ∀ t>0:
\(-1\leq \frac{e^{-t}-1}{t} \leq-e^{-t}\)
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis)
b) Montrer que ∀ x>0:
\(-1 \leq \frac{g(x)-\ln 2}{x} \leq \frac{e^{-2 x}-e^{-x}}{x}\)
c) En déduire que la fonction \(g\) est dérivable à droite en 0 .
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2015 Normale
