Examen National Math 2 Bac Science Math 2015 Normale

Exercice 1: (3 points)

1-On considère dans l’ensemble (C) l’équation suivante:
(E): (z^{2}-(5+i sqrt{3}) z+4+4 i sqrt{3}=0)
a) Vérifier que:
((3-i sqrt{3})^{2}) est le discriminant de l’équation ((E)).
b) Déterminer a et b:
les deux solutions de l’équation ((E)) (sachant que : b∈IR)
c) Vérifier que: (quad b=(1-i sqrt{3}) a)
2- Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct.
Soit (A) le point d’affixe (a) et (B) le point d’affixe (b).
a) Déterminer (b_{1}) l’affixe du point (B_{1}) image du point (O)
par la rotation de centre (A) et d’angle (frac{π}{2})
b) Montrer que (B) est l’image de (B),
par l’homothétie de centre (A) et de rapport (sqrt{3})
c) Vérifier que :
(arg left(frac{b}{b-a}right) equiv frac{π}{6}[2π])
d) Soit (C) un point, d’affixe (c,) appartenant au cercle circonscrit au triangle (OAB)
et différent de (O) et de (A).
Déterminer un argument du nombre complexe
(frac{c}{c-a})

Exercice 2: (3 points)

Soit (x) un nombre entier relatif tel que:
(x^{1439}≡1436[2015])
1-Sachant que:1436×1051-2015×749=1,
montrer que 1436 et 2015 sont premiers entre eux.
2- Soit (d) un diviseur commun de (x) et de 2015.
a) Montrer que (d) divise 1436.
b) En déduire que (x) et 2015 sont premiers entre eux.
3-a) En utilisant le théorème de FERMAT,
Montrer que:
(x^{1440}≡1[5]), (x^{1440}≡1[13]) et (x^{1440}≡1[31])
(remarquer que: 2015=5×13×31)
b) Montrer que : (x^{1440}≡1[65])
en déduire que: (x^{1440}≡1[2015])
4-Montrer que: (x≡1051[2015])

Exercice 3: (4 points)

(M_{2}IR),+,×)) est un anneau unitaire
dont l’unité est:
(I=left(begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 end{array}right))
et que (IR,+) est un groupe commutatif.
Pour tout nombre réel x on pose:
(M(x)=left(begin{array}{cc} 1-x & x \ -2 x & 1+2 x end{array}right))
et on considère l’ensemble E={M(x) / x∈IR}
On munit (E) de la loi de composition interne (T)
définie par ∀(x,y)∈IR²:
(M(x) T M(y)=M(x+y+1))
1- Soit (φ) l’application de (IR) dans (E)
définie par ∀(x∈IR:
(φ(x)=M(x-1))
a)Montrer que:
(φ) est un homomorphisme de ((IR,+)) vers ((E, T))
b) Montrer que:
((E,T)) est un groupe commutatif.

2-
a) Montrer que ∀(x,y)∈IR²:
(M(x)×M(y) = M(x+y+xy))
b) En déduire que:
(E) est une partie stable de ((M_{2}(IR),×))
et que la loi « × » est commutative dans (E).
c) Montrer que:
la loi « × » est distributive par rapport à la loi (T) dans (E).
d) Vérifier que:
M(-1) est l’élément neutre dans ((E,T))
et que I est l’élément neutre dans ((E,×))
3- a) Vérifier que ∀ x∈IR-{-1}:
(M(x)×M(frac{-x}{1+x})=I)
b) Montrer que ((E, T,×)) est un corps commutatif.

Exercice 4: (6.5 points)

Première partie:

Soit (f) la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[
par f(0)=0 et pour x>0:
(f(x)=x(1+ln²x))
Soit ((C)) la courbe représentative de la fonction (f)
dans le plan rapporté à un repère orthonormé ((O, i, j)).
1- Calculer:
(lim _{x➝+∞} f(x))
et (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x})
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2-a)Montrer que:
la fonction (f) est continue à droite en (0 .)
b) Calculer (lim _{x➝0^{+}} frac{f(x)}{x})
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Calculer (f ‘(x)) pour (x>0,)
en déduire que (f) est strictement croissante sur [0,+∞[
3-a) Montrer que la courbe ((C)) admet un point d’inflexion (I) d’abscisse (e^{-1}).
b) Etudier la position relative de la courbe ((C))
par rapport à la droite d’équation: (y=x)
c) Tracer la courbe ((C)). (On prendra (e^{-1}=0.4) )

Deuxième partie:

On considère la suite numérique ((u_{n})_{n≥0}) définie par:
u_{0}=e^{-1}
∀n≥0: (u_{n+1}=f(u_{n}))
1-Montrer par récurrence que:
(e^{-1}≤u_{n}<1)
2- Montrer que la suite ((u_{n})_{n≥0}) est strictement croissante,
en déduire qu’elle est convergente.
3-On pose:
(lim _{n ➝+∞} u_{n}=l).
a) Montrer que:
(e^{-1}≤l<1)
b) Déterminer la valeur de (l)

Troisième partie:

Soit F la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[ par:
(F(x)=int_{1}^{x} f(t) dt)
1-a) Montrer que la fonction:
H: x➝(-frac{1}{4} x^{2}+frac{1}{2} x^{2} ln x)
est une primitive de la fonction h: x➝xln x sur l’intervalle ]0,+∞[
b) Montrer que ∀ x>0:
(int_{1}^{x}t ln^{2}(t) dt=frac{x^{2}}{2} ln ^{2}(x)-int_{1}^{x} t ln (t) dt)
c) En déduire que ∀ x>0:
(F(x)=-frac{3}{4}+frac{3 x^{2}}{4}-frac{x^{2}}{2} ln (x)+frac{x^{2}}{2} ln ^{2}(x))
2 -a) Montrer que:
la fonction (F) est continue sur l’intervalle [0,+∞[.
b) Calculer:
(lim _{x rightarrow 0^{+}} F(x)) en déduire la valeur de l’intégrale (int_{0}^{1} f(x) dx)

Exercice 5:

On considère la fonction numérique (g)
définie sur l’intervalle [0,+∞[
par g(0)=ln 2 et pour x>0:
(g(x)=int_{x}^{2 π} frac{e^{-t}}{t} dt )
1-a) Montrer que ∀x>0, ∀ t∊[x, 2 x]:
(e^{-2 x} leq e^{-t} leq e^{-x})
b) Montrer que ∀ x>0:
(e^{-2x} ln 2 leq g(x) leq e^{-x} ln 2)
c) En déduire que:
la fonction (g) est continue à droite en (0)
2. Montrer que :
la fonction (g) est dérivable sur l’intervalle ]0,+∞[
puis calculer g ‘(x) pour x>0
3-a) Montrer que ∀ t>0:
(-1leq frac{e^{-t}-1}{t} leq-e^{-t})
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis)
b) Montrer que ∀ x>0:
(-1 leq frac{g(x)-ln 2}{x} leq frac{e^{-2 x}-e^{-x}}{x})
c) En déduire que la fonction (g) est dérivable à droite en 0 .