Examen National Math 2 Bac Science Math 2015 Rattrapage

Exercice 1: (4 points)

Première partie:

On munit IR de la loi de composition interne $*$
définie par :
∀(x, y) ∈IR² $x * y = x + y - e^{x y} + 1$
1-a) Montrer que la loi $*$ est commutative dans IR
b) Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre que l’on déterminera.
2- Sachant que l’équation: $3 + x - e^{2 x} = 0$
admet dans ‘ deux solutions distinctes $a$ et $b$ .
Montrer que: la loi $*$ n’est pas associative.

Deuxième partie :

On rappelle que:
$(M_{2} (I R), +, \times)$ est un anneau unitaire dont le zéro est la matrice nulle 0
et dont l’unité $I$ est la matrice identique
$I = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$
et $(ℂ^{*}, +, \times)$ est un corps commutatif
et $(M_{2} (I R), +, .)$ est espace vectoriel réel
Pour tout couple (x, y) ∈IR² on pose:
$M (x) = (\begin{array}{cc} x & - 2 x \\ \frac{y}{2} & x \end{array})$
1- Montrer que:
$F$ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel $(M_{2} (I R), +, .)$
Montrer que: $F$ est stable dans $(M_{2} (I R), \times)$
3- On considère l’application $φ$ : $ℂ^{*}$ ➝ $F$
qui associe à tout nombre complexe $x + y i$
(x,y sont deux réels) à la matrice $M (x, y)$
$φ (x + y i) = M (x, y)$
a) Montrer que:
$φ$ est un homomorphisme de $(ℂ^{*}, \times)$ vers $F, \times$
b) On pose $F^{*} = F - M (0, 0)$
Montrer que $φ (ℂ^{*}) = F^{*}$
c) Montrer que $(F^{*}, \times)$ est un groupe commutatif.
4- Montrer que $(F, +, \times)$ est un corps commutatif.

Exercice 2: (3 points)

I-
1- $a$ étant un entier, montrer que:
si $a$ et 13 sont premiers entre eux alors $a^{2016}$ ≡ 1 [13]
2- On considère dans IN* l’équation $E$ :
$x^{2015}$ ≡ 2 [13]
et soit $x$ une solution de l’équation $E$ .
a) Montrer que $x$ et 13 sont premiers entre eux.
b) Montrer que x ≡ 7 [13]
3- Montrer que:
l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est S={7+13k / k∈Z}

II-
Une urne contient 50 boules portant les numéros de 1 à 50
(les boules sont indiscernables au toucher)
1- On tire au hasard une boule de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir:
une boule portant un numéro qui est solution de l’équation $E$ ?
2- On tire au hasard une boule de l’urne,
on note son numéro, puis on la remet dans l’urne.
On répète l’expérience précédente 3 fois.
* Quelle est la probabilité d’obtenir exactement
deux fois une boule portant un numéro
qui est solution de l’équation $E$ ?

Exercice 3: (3 points)

On considère dans l’ensemble $ℂ$ l’équation suivante:
$(E) : z^{2} - (1 + i) z + 2 + 2 i = 0$
1-a) Vérifier que:
$(1 - 3 i)^{2}$ est le discriminant de l’équation $(E)$
b) Déterminer $z_{1}$ et $z_{2}$ :
les deux solutions de l’équation $(E)$ dans l’ensemble $ℂ$
(on prendra $z_{1}$ imaginaire pur )
c) Montrer que:
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \sqrt{2} e^{i \frac{3 p}{4}}$
2- Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère le point $A$ d’affixe $z_{1}$
et le point $B$ d’affixe $z_{2}$
a) Déterminer le nombre complexe $e$
affixe du point E milieu du segment [AB]
b) Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{- p i}{2}$
Soit $c$ l’affixe du point $C$ tel que: R(E)=C.
Montrer que : $c = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$
c) On considère $D$ le point d’affixe $d = 1 + \frac{3}{2} i$ .
Montrer que le nombre :
$(\frac{z_{2} - d}{c - d}) (\frac{c - z_{1}}{z_{2} - z_{1}})$
est réel ,puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu .

Exercice 4: (4 points)

Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_{n}$ à variable réelle $x$ définie sur IR par:
$f_{n} (x) = \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}}$
Soit $(C_{n})$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$
dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
a) Calculer:
$lim_{x ➝ + \infty} f_{n} (x)$ et $lim_{x ➝ - \infty} f_{n} (x)$
puis interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.
b) Montrer que:
la fonction $f_{n}$ est dérivable sur IR.
puis calculer $f_{n}^{'} (x)$ pour tout x de IR.
c) Montrer que:
la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur IR.

2 -a) Montrer que:
le point $I_{n} (n, \frac{1}{2})$ est le centre de symétrie
de la courbe $(C_{n})$
b) Construire la courbe $(C_{n})$ .
c) Calculer l’aire de la surface plane limitée par:
la courbe et les droites d’équations $x = 0, x = 1$ et $y = 0$
3 -a) Pour tout $n$ de IN*
Montrer que l’équation $f_{n} (x) = x$
admet une solution unique $u_{n}$ dans ]0,n[
Montrer que (∀n∈IN) (∀x∈IR) :
$f_{n} (x) < f_{n + 1} (x)$
c) Montrer que:
la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ est strictement décroissante,
et en déduire qu’elle est convergente.
d) Calculer:
$lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$

Exercice 5: (6 points)

On considère la fonction $g$ definie sur IR* par:
$g (x) = \int_{x}^{3 x} \frac{c o s t}{t} d t$
1-Montrer que la fonction $g$ est paire.
2-Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur ]0,+∞[
puis calculer g'(x) pour x>0
3-a) En utilisant une intégration par parties, vérifier que:
$\int_{x}^{3 x} \frac{c o s t}{t} d t = \frac{S i n 3 x - 3 S i n x}{3 x} + \int_{x}^{3 x} \frac{S i n t}{t} d t$
b) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[:
$| g (x) | \leq \frac{10}{3 x}$
puis en déduire $lim_{x ➝ + \infty} g (x)$
4-a) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[:
$0 \leq \int_{x}^{3 x} \frac{1 - c o s t}{t} d t \leq 2 x$
(Remarquer que ∀ t>0 : 1-cos t≤t)
b) Vérifier que ∀ x>0:
$g (x) - l n 3 = \int_{x}^{3 x} \frac{c o s t - 1}{t} d t$
c) En déduire $lim_{x ➝ 0^{+}} g (x)$