Exercice 1: (4 points)
Première partie:
On munit IR de la loi de composition interne \(*\)
définie par :
∀(x, y) ∈IR² \(\quad x*y=x+y-e^{x y}+1\)
1-a) Montrer que la loi \(*\) est commutative dans IR
b) Montrer que la loi \(*\) admet un élément neutre que l’on déterminera.
2- Sachant que l’équation: \(3+x-e^{2x}=0\)
admet dans ‘ deux solutions distinctes \(a\) et \(b\).
Montrer que: la loi \(*\) n’est pas associative.
Deuxième partie :
On rappelle que:
\((M_{2}(IR),+,×)\) est un anneau unitaire dont le zéro est la matrice nulle 0
et dont l’unité \(I\) est la matrice identique
\(I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\)
et \((ℂ^{*},+, ×)\) est un corps commutatif
et \((M_{2}(IR),+, .)\) est espace vectoriel réel
Pour tout couple (x, y) ∈IR² on pose:
\(M(x)=\left(\begin{array}{cc} x & -2x \\ \frac{y}{2} & x \end{array}\right)\)
1- Montrer que:
\(F\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel \((M_{2}(IR),+, .)\)
Montrer que: \(F\) est stable dans \((M_{2}(IR),×)\)
3- On considère l’application \(φ\): \(ℂ^{*}\) ➝ \(F\)
qui associe à tout nombre complexe \(x+yi\)
(x,y sont deux réels) à la matrice \(M(x,y)\)
\(φ(x+yi)=M(x,y)\)
a) Montrer que:
\(φ\) est un homomorphisme de \((ℂ^{*},×)\) vers \(F,×\)
b) On pose \(F^{*}=F-M(0,0)\)
Montrer que \(φ(ℂ^{*})=F^{*}\)
c) Montrer que \((F^{*},×)\)est un groupe commutatif.
4- Montrer que \((F,+,×)\) est un corps commutatif.
Exercice 2: (3 points)
I-
1- \(a\) étant un entier, montrer que:
si \(a\) et 13 sont premiers entre eux alors \(a^{2016}\)≡ 1 [13]
2- On considère dans IN* l’équation \(E\):
\(x^{2015}\)≡ 2 [13]
et soit \(x\) une solution de l’équation \(E\).
a) Montrer que \(x\) et 13 sont premiers entre eux.
b) Montrer que x ≡ 7 [13]
3- Montrer que:
l’ensemble des solutions de l’équation \(E\) est S={7+13k / k∈Z}
II-
Une urne contient 50 boules portant les numéros de 1 à 50
(les boules sont indiscernables au toucher)
1- On tire au hasard une boule de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir:
une boule portant un numéro qui est solution de l’équation \(E\)?
2- On tire au hasard une boule de l’urne,
on note son numéro, puis on la remet dans l’urne.
On répète l’expérience précédente 3 fois.
* Quelle est la probabilité d’obtenir exactement
deux fois une boule portant un numéro
qui est solution de l’équation \(E\) ?
Exercice 3: (3 points)
On considère dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation suivante:
\((E): z^{2}-(1+i) z+2+2 i=0\)
1-a) Vérifier que:
\((1-3 i)^{2}\) est le discriminant de l’équation \((E)\)
b) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\):
les deux solutions de l’équation \((E)\) dans l’ensemble \(ℂ\)
(on prendra \(z_{1}\) imaginaire pur )
c) Montrer que:
\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\sqrt{2} e^{i \frac{3 p}{4}}\)
2- Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère le point \(A\) d’affixe \(z_{1}\)
et le point \(B\) d’affixe \(z_{2}\)
a) Déterminer le nombre complexe \(e\)
affixe du point E milieu du segment [AB]
b) Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{-pi}{2}\)
Soit \(c\) l’affixe du point \(C\) tel que: R(E)=C.
Montrer que : \(c=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i\)
c) On considère \(D\) le point d’affixe \(d=1+\frac{3}{2} i\).
Montrer que le nombre :
\((\frac{z_{2}-d}{c-d})(\frac{c-z_{1}}{z_{2}-z_{1}})\)
est réel ,puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu .
Exercice 4: (4 points)
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On considère la fonction \(f_{n}\) à variable réelle \(x\) définie sur IR par:
\(f_{n}(x)=\frac{1}{1+e^{-\frac{3}{2}(x-n)}}\)
Soit \((C_{n})\) la courbe représentative de la fonction \(f_{n}\)
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
a) Calculer:
\(\lim _{x➝+∞} f_{n}(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} f_{n}(x)\)
puis interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.
b) Montrer que:
la fonction \(f_{n}\) est dérivable sur IR.
puis calculer \(f_{n}^{\prime}(x)\) pour tout x de IR.
c) Montrer que:
la fonction \(f_{n}\) est strictement croissante sur IR.
2 -a) Montrer que:
le point \(I_{n}( n,\frac{1}{2})\) est le centre de symétrie
de la courbe \((C_{n})\)
b) Construire la courbe \((C_{n})\) .
c) Calculer l’aire de la surface plane limitée par:
la courbe et les droites d’équations \(x=0, x=1\) et \(y=0\)
3 -a) Pour tout \(n\) de IN*
Montrer que l’équation \(f_{n}(x)=x\)
admet une solution unique \(u_{n}\) dans ]0,n[
Montrer que (∀n∈IN) (∀x∈IR) :
\(f_{n}(x)<f_{n+1}(x)\)
c) Montrer que:
la suite \((u_{n})_{n≥1}\) est strictement décroissante,
et en déduire qu’elle est convergente.
d) Calculer:
\(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
Exercice 5: (6 points)
On considère la fonction \(g\) definie sur IR* par:
\(g(x)=\int_{x}^{3x} \frac{cos t}{t} dt\)
1-Montrer que la fonction \(g\) est paire.
2-Montrer que la fonction \(g\) est dérivable sur ]0,+∞[
puis calculer g'(x) pour x>0
3-a) En utilisant une intégration par parties, vérifier que:
\(\int_{x}^{3x} \frac{cos t}{t} dt=\frac{Sin 3x-3Sin x}{3x}+\int_{x}^{3x} \frac{Sin t}{t} dt\)
b) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[:
\(|g(x)| ≤\frac{10}{3x}\)
puis en déduire \(\lim _{x➝+∞} g(x)\)
4-a) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[:
\(0 ≤ \int_{x}^{3x} \frac{1-cos t}{t} dt ≤ 2x\)
(Remarquer que ∀ t>0 : 1-cos t≤t)
b) Vérifier que ∀ x>0:
\(g(x)-ln3=\int_{x}^{3x} \frac{cos t-1}{t} dt \)
c) En déduire \(\lim _{x➝0^{+}} g(x)\)
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2015 Rattrapage
