Examen Bac 2 SM PDF Math 2016 Normal Avec Correction

Durée de l’épreuve 4h L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Structures Algébriques (3.5 points ) * Nombres complexes (3.5 points ) * Arithmétique (3 points ) * Analyse 1 (7 points )

* Analyse 2 (3 points )

Structures Algébriques (3.5 points )

On rappelle que

(C, +, x)

est un corps commutatif

(M_{3} (I R), +, x)

est un anneau unitaire non commutatif et non intègre dont le zéro est la matrice nulle 0 et dont l’unité est la matrice identique

I

et que

(M_{3} (I R), +, \cdot)

est un espace vectoriel réel.

On pose

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

M (x, y) = (\begin{array}{ccc} x + y & 0 & - 2 y \\ 0 & 0 & 0 \\ y & 0 & x - y \end{array})

et pour tout couple

(x, y) \in {I R}^{2}

On considère l’ensemble

E = {M (x, y) / (x, y) \in I R^{2}}

1) Montrer que:

E

est un sous-groupe de

(M_{3} (I R), +)

2) Vérifier que:

(\forall (x, y) \in I R^{2}) (\forall (x^{'}, y^{'}) \in I R^{2}); M (x, y) T M (x^{'}, y^{'}) = M (x x^{'} - y y^{'}, x y^{'} + y x^{'})

3) On considère l’application

φ

C^{*}

vers

E

définie par:

(\forall (x, y) \in I R^{2}); φ (x + i y) = M (x, y)

et On pose

E^{*} = E - {M (0, 0)}

a) Montrer que:

φ

est un homomorphisme de

(C^{*}, \times)

vers

(E, x)

b) En déduire que:

(E^{*}, x)

est un groupe commutatif dont on deéterminera l’élément neutre

J

4) Montrer que:

(E, +, x)

est un corps commutatif. 5) a) Calculer:

A \times M (x, y)

pour tout

M (x, y)

E

b) En déduire que:

tout élément de

E

n’admet pas de symétrique dans

(M_{3} (I R), \times)

* Arithmétique (3 points )

Soit

(a, b)

dans IN*×IN* tel que le nombre premier 173 divise

a^{3} + b^{3}

1- Montrer que :

a^{171} \equiv - b^{171} [173]

(remarquer que :

171 = 3 \times 57

)

2- Montrer que : 173 divise

a

si et seulement si 173 divise

b

3- On suppose que 173 divise

a

. Montrer que 173 divise

a + b

4- On suppose que 173 ne divise pas

a

a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que :

a^{172} \equiv b^{172} [173]

b) Montrer que :

a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]

c) En déduire que 173 divise

a + b

On considère dans IN*×IN* l’équation suivante :

(E) x^{3} + y^{3} = 173 (x y + 1)

Soit

(x, y)

un élément de IN*×IN* solution de

(E),

on pose

: x + y = 173 k

avec

k ∊ I N *

1- Vérifier que :

k (x - y)^{2} + (k - 1) x y = 1

2- Montrer que

k = 1

puis résoudre l’équation

(E)

* Nombres complexes (3.5 points )

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{u}, \vec{v})

On considère dans le plan complexe deux points

M_{1}

M_{2}

tels que les points

O, M_{1}

M_{2}

sont distincts deux à deux et non alignés. Soient

z_{1}

z_{2}

les affixes respectives des points

M_{1}

M_{2}

et soit

M

le point dont l’affixe

z

vérifie la relation :

z = \frac{2 z_{1} z_{2}}{z_{1} + z_{2}}

1-a) Montrer que :

\frac{z_{1} - z}{z_{2} - z} \times \frac{z_{2}}{z_{1}} = - 1

b) En déduire que le point

M

appartient au cercle circonscrit au triangle

O M_{1} M_{2}

2- Montrer que si

z_{2} = \overset{―}{z_{1}}

alors

M

appartient à Yaxe des réels.

3- On suppose que

M_{2}

est l’image de

M_{1}

par la rotation de centre

O

et de mesure d’angle

α

où

α est un réel de l’intervalle] 0, π [

a) Calculer

z_{2}

en fonction de

z_{1}

et de

α

b) Montrer que le point

M

appartient à la médiatrice du segment

[M_{1} M_{2}]

4- Soit

θ un réel donné de l’intervalle] 0, π [

On suppose que

z_{1}

z_{2}

sont les deux solutions de l’équation :

6 t^{2} - (e^{i θ} + 1) t + (e^{i θ} - 1) = 0

a) Sans calculer

z_{1}

z_{2}

vérifier que :

z = 2 \frac{e^{i θ} - 1}{e^{i θ} + 1}

b) Donner en fonction de

q

, la forme trigonométrique du nombre complexe

z

* Analyse 1 (7 points )

1- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction

t \mapsto e^{- t},

montrer que pour tout réel strictement positif

x

, il existe un réel

θ

compris entre 0 et

x

tel que :

e^{θ} = \frac{x}{1 - e^{- x}}

2- En déduire que:

\forall x > 0 : 1 - x < e^{- x}

\forall x > 0 : x + 1 < e^{x}

\forall x > 0 : 0 < \ln (\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}) < x

On considère la fonction numérique

f

définie sur

[0, + \infty [par:

f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} si x > 0 et f (0) = 1

et soit

(C)

la courbe représentative de

f

dans le plan muni d’un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1-a) Montrer que la fonction

f

est continue à droite en 0

b) Montrer que :

lim_{x \to + \infty} (f (x) - x) = 0

puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2-a) Montrer que : ( ∀ x≥3 )

x - \frac{x^{2}}{2} £ - e^{- x} + 1

(On pourra utiliser le résultat de la question 2-a) de la première partie)

b) En déduire que ∀ x≥0:

\( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}≤e^{-x}+x-1≤\frac{x^{2}}{2}\)

3-a) Vérifier que :

(\forall x > 0) \frac{f (x) - 1}{x} = \frac{e^{- x} + x - 1}{x^{2}} f (x)

b) En déduire que

: lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - 1}{x} = \frac{1}{2}

puis interpréter le résultat obtenu.

4-a) Montrer que

f est dérivable en tout point de] 0, + \infty [

et que :

(\forall x > 0) f^{'} (x) = \frac{e^{x} (e^{x} - 1 - x)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}

b) En déduire que la fonction

f

est strictement croissante sur

[0, + \infty [

(On pourra utiliser le résultat de la question 2 -b) de la première partie) Troisième partie :

On considère la suite numérique

{(u_{n})}_{n \geq 0}

définie par

: u_{0} > 0

u_{n + 1} = \ln (f (u_{n}))

pour

n \dot{\subset} ¥

a) Montrer que pour tout entier naturel

n

a : u_{n} > 0

b) Montrer que la suite

{(u_{n})}_{n \geq 0}

est strictement décroissante et en déduire qu’elle est convergente.

(On pourra utiliser le résultat de la question 2 -c) de la première partie)

c) Montrer que 0 est l’unique solution de l’équation :

\ln (f (x)) = x

puis déterminer la limite de la suite

{(u_{n})}_{n \geq 0}

* Analyse 2 (3 points )

On considère la fonction numérique

F définie sur 1 ‘intervalle I =] 0, + \infty [

par:

F (x) = \int_{\ln 2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^{t} - 1}} d t

1-a) Etudier le signe de

F (x)

pour tout

x

I

b) Montrer que la fonction

F

est dérivable sur l’intervalle

I

et calculer

F^{'} (x)

pour tout

x

I

c) Montrer que la fonction

F

est strictement croissante sur l’intervalle

I

2-a) En utilisant la technique de changement de variable en posant

: u = \sqrt{e^{t} - 1},

montrer que pour tout

x de I

on a :

\int_{\ln 2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^{t} - 1}} d t = 2 \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{π}{2}

b) Calculer

lim_{x \to 0^{+}} F (x)

lim_{x \to + \infty} F (x)

3-a) Montrer que la fonction

F

est une bijection de l’intervalle

I

dans un intervalle

J

que l’on déterminera.

b) Déterminer

F^{- 1}

la bijection réciproque de

F

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