Exercice 1: (3.5 Pts)
Thème: Structures algébriques
Pour tout \(x\) et \(y\) de l’intervalle \(I=]0,1[\)
on pose: \(x * y=\frac{x y}{x y+(1-x)(1-y)}\)
1-a)Montrer que * est une loi de composition interne dans \(I\)
b) Montrer que la loi * est commutative et associative.
c) Montrer que \((I,*)\) admet un élément neutre que l’on déterminera.
2-Montrer que \((I, *)\) est un groupe commutatif.
3-On considère les deux ensembles \(H=\{2^{n} / n \in Z\}\)
et \(K=\{\frac{1}{1+2^{n}} / n \in Z\}\)
a) Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \((IR_{+}^{*},×)\)
b) On considère l’application :
\(φ: H ➝ I\)
x➝ \(\frac{1}{1+x}\)
montrer que \(φ\) est un homomorphisme de \((H,×\) vers \((I,*)\)
c)En déduire que \(K\) est un sous-groupe de \((I, *)\)
Exercice 2: (2.5 Pts)
Thème : Arithmétiques
Soit \(x\) un nombre entier naturel tel que:
\(10^{x} ≡ 2 \quad[19]\)
1-a) vérifier que:
\(10^{x+1} ≡ 1[19]\)
b) Montrer que: \(10^{18} ≡ 1[19]\)
2- Soit \(d\) le plus grand diviseur commun des deux nombres 18 et \(x+1\)
a) Montrer que : \(10^{d} ≡ 1[19]\)
b) Montrer que: \(d=18\)
c)En déduire que: \(x ≡ 17[18]\)
Exercice 3: (4 Pts)
Thème : Nombres complexes
Première partie :
On considère dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation (E):
\(z^{3}-(1+2 i) z^{2}+3(1+i) z-10(1+i)=0\)
1 -Vérifier que:
\(-2 i\) est une solution de l’équation \((E)\)
2-Déterminer les deux nombres complexes \(α\) et \(β\)
tels que ∀ z∈\(ℂ\):
\(z^{3}-(1+2 i) z^{2}+3(1+i) z-10(1+i)=(z+2 i)(z^{2}+α z+β)\)
3-a) Déterminer les deux racines carrées du nombre \(5-12 i\)
b) Résoudre dans \(ℂ\) l’équation \((E)\)
Deuxième partie :
Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère les points \(A\) et \(B\) et \(C\)
d’affixes respectifs \(a=-1+3 i\) et \(b=-2 i\) et \(c=2+i\)
2-On considère:
la rotation \(R_{1}\) de centre \(B\)
dont une mesure de l’angle est \(\frac{\pi}{3}\)
et la rotation \(R_{2}\) de centre \(A\)
dont une mesure de l’angle est \((-\frac{2π}{3})\).
Soit \(M\) un point du plan complexe d’affixe \(z\)
et \(M_{1}\) son image par la rotation \(R_{1}\)
et \(M_{2}\) son image par la rotation \(R_{2}\).
a) Vérifier que l’expression complexe de la rotation \(R_{1}\) est:
\(z’=(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}) z-\sqrt{3}-i\)
b) Déterminer \(z_{2}\) l’affixe de \(M_{2}\) en fonction de \(z\)
c) En déduire que:
\(I\), le milieu du segment \([M_{1}M_{2}]\), est un point fixe.
Exercice 4: (6 Pts)
Thème: Analyse
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0,+∞[\) par:
\(f(x)=x+\ln x\)
et \((C)\) sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère orthonormé
\((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
(On prendra \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1 cm)\)
1- calculer les limites suivantes:
\(\lim _{x➝+∞} f(x) \);
\(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)\) ;
\(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
et \(\lim _{x➝+∞}(f(x)-x)\)
2-a) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
b) Montrer que:
\(f\) est une bijection de l’intervalle \(] 0,+∞[\)
vers un intervalle \(J\) que l’on déterminera
puis dresser le tableau de variation de la bijection réciproque \(f^{-1}\)
3) Calculer \(f(1)\) et \(f(e)\)
puis construire \((C)\) et \((C’)\) la courbe représentative de \(f^{-1}\)
dans le même repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
4- a) Calculer l’intégrale:
\(\int_{1}^{e+1} f^{-1}(x) dx \)
(on posera: \(.t=f^{-1}(x))\)
b) En déduire l’aire du domaine plan limité par \((C’)\)
et les droites d’équations : \(x=1\); \(x=e+1\) et \(y=x\)
5- Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère l’équation:
\((E_{n}) \quad x+\ln x=n\)
a) Montrer que:
l’équation \((E_{n})\) admet une solution unique \(x_{n}\).
b) Déterminer la valeur de \(x_{1}\) puis montrer que:
\(\lim _{n➝+∞} x_{n}=+∞\)
6-a) Montrer que:
\((∀n \in IN^{*}) \quad f(x_{n}) \leq f(n)\)
en déduire que:
\((∀n \in IN^{*}) \quad x_{n} \leq n\)
b) Montrer que:
\((∀n \in IN^{*})\) \(n-\ln (n) \leq x_{n}\)
c) Calculer \(\lim _{n➝+∞} \frac{x_{n}-n}{n}\)
et \(\lim _{n➝+∞} \frac{x_{n}}{n-\ln (n)}\)
Exercice 5: (4 Pts)
Thème: Suites Numériques
Soit \(n\) un entier naturel non nul
et \(f_{n}\) la fonction numérique définie sur \(IR\) par:
\(f_{n}(x)=-1+x+\frac{x^{2}}{2}+…+\frac{x^{n}}{n}\)
1-Montrer que:
pour \(n \geq 2\) il existe un réel unique \(α_{n}\) de l’intervalle \(]0,1[.\)
tel que : \(f_{n}(α_{n})=0\)
2-Montrer que:
la suite \((α_{n})_{n \geq 2}\) est strictement décroissante
en déduire qu’elle est convergente.
On pose \(l=\lim _{n➝+∞} α_{n})\)
3-a) Vérifier que pour \(t \neq 1\) on a :
\(1+t+t^{2} \ldots \ldots \ldots .+t^{n-1}=\frac{1}{1-t}-\frac{t^{n}}{1-t}\)
b) En déduire que :
\(α_{n}+\frac{α_{n}^{2}}{2}+ …+\frac{α_{n}^{n}}{n}=-\ln (1-α_{n})-\int_{0}^{α_{n}} \frac{t^{n}}{1-t} dt\)
4-a) Montrer que :
\((∀n \geq 2) \quad 1+\ln (1-α_{n})=-\int_{0}^{α_{n}} \frac{t^{n}}{1-t} d t\)
b) Montrer que ∀\((n \geq 2)\) :
\(0 \leq \int_{0}^{α_{n}} \frac{t^{n}}{1-t} d t \leq \frac{1}{(n+1)(1-α_{n})}\)
c) En déduire que : \(l=1-e^{-1}\)
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