Examen National Math Bac 2 Science Math 2012 Normale

Exercice 1: (3 Pts)

Thème: Structures algébriques

Partie I-
Dans l’anneau unitaire $(M_{3} (I R), +, \times)$ ,
on considère les deux matrices :
$I = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ et $A = (\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{5} - 1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})$
1) Calculer: $I - A$ et $A^{2}$ .
2) En déduire que:
$A$ admet un inverse $A^{- 1}$ à déterminer.

Partie II-
Pour tout a et b de l’intervalle $I =] 1, + \infty [.$ ,
on pose:
$a * b = \sqrt{a^{2} b^{2} - a^{2} - b^{2} + 2}$
1) Vérifier que ∀ (x, y)∈IR²:
$x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} + 2 = (x^{2} - 1) (y^{2} - 1) + 1$
2) Montrer que:
$*$ est une loi de composition interne dans $I$
3) On rappelle que:
$(I R^{* +}, \times)$ est un groupe commutatif.
On considère l’application
$φ : I R^{* +} ➝ I$
$x ➝ \sqrt{x + 1}$
a – Montrer que:
$φ$ est un isomorphisme de $(I^{* +}, \times) ➝ v e r s (I, *)$
b- En déduire la structure de $(I, *)$
c- Montrer que:
l’ensemble $Γ = {\sqrt{1 + 2^{m}} / m \in I R}$ est un sous groupe de $(I, *)$

Exercice 2: (3 Pts)

Thème : Nombres complexe

Les parties I et II sont indépendantes:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
$(O; \vec{u}, \vec{v})$
Partie I
– On considère dans $ℂ$ l’équation (E):
$i z^{2} + (2 - i) a z - (1 + i) a^{2} = 0$
où $a$ est un nombre complexe non nul.
1) Déterminer $z_{1}$ et $z_{2}$ , les deux racines de l’équation $(E)$
2) a- Vérifier que:
$z_{1} z_{2} = a^{2} (i - 1)$ .
b- Montrer que:
$z_{1} z_{2}$ est un nombre réel ⇔ $\arg a \equiv \frac{- 3 π}{8} [\frac{π}{2}]$

Partie II
– Soient $c$ un nombre réel non nul et $z$ un nombre complexe non nul.
On considère les points $A, B, C, D$ et $M$ d’affixes respectifs
$1, 1 + i, c$ , ic et $z$
1)a- Montrer que :
$A, D$ et $M$ sont alignés ⇔ $(i c + 1) z + (i c - 1) \bar{z} = 2 i c$
(remarquer que $c = \bar{c}$ )
b-Montrer que:
(AD)丄(OM) ⇔ $(i c + 1) z - (i c - 1) \bar{z} = 0$
2) Soit $h$ l’ affixe du point $H$ , la projection orthogonale du point O sur (AD)
a – Montrer que :
$h - (1 + i) = \frac{i}{c} (h - c)$ .
b- En déduire que (CH)丄(BH)

Exercice 3: (3 Pts)

Thème : Arithmétiques

1) On considère dans $Z^{2}$ l’équation
$(E) : 143 x - 195 y = 52$
a – Déterminer le plus grand commun diviseur de 143 et 195,
puis en déduire que l’équation $(E)$ admet des solutions dans $Z^{2}$
b – Sachant que $(- 1, - 1)$ est une solution particulière de l’équation $(E)$ ,
résoudre dans $Z^{2}$ l’équation $(E)$
en précisant les étapes de la résolution.
2) Soit $n$ un entier naturel non nul premier avec 5
Montrer que:
pour tout $k$ de $Z$ on a : n^{4 k} \equiv 1[5]\)

3) Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls
tel que: $x \equiv y [4]$
a- Montrer que:
pour tout $n$ de $Z^{*}$ , on a: $n^{x} \equiv n^{y} [5]$
b- En déduire que:
pour tout $n$ de $Z^{*}$ , on a $: n^{x} \equiv n^{y} [10]$
4) Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tel que $(x, y)$ est solution de l’équation $(E)$
Montrer que:
pour tout $n$ de IR*, les deux nombres
$n^{x}$ et $n^{y}$ ont le même chiffre des unités
dans l’écriture dans le système décimal.

Exercice 4: (3 Pts)

Thème: Analyse

$n$ est un entier naturel non nul.
On considère la fonction numérique $f_{n}$ définie sur $I R$ par:
$f_{n} (x) = x + \frac{e^{- x}}{n}$
Soit $(C_{n})$ la courbe représentative de $f_{n}$
dans le plan muni d’ un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$
1) Calculer:
$lim_{x ➝ - \infty} f_{n} (x)$ et $lim_{x ➝ + \infty} f_{n} (x)$
2) a – Etudier la branche infinie de $(C_{n})$ au voisinage de $- \infty$ .
b- Montrer que:
la droite $(D)$ d’équation y=x est une asymptote oblique
à la courbe $C_{n})$ au voisinage de $+ \infty$ ,
puis déterminer la position relative de $C_{n})$ et $(D)$
3) Etudier les variations de $f_{n}$
et dresser son tableau de variations.

4) Construire la courbe $(C_{3})$ .
( On prend $f_{3} (- 0, 6) ⋍ 0$ et $f_{3} (- 1, 5) ⋍ 0$ et $\ln 3 ⋍ 1, 1$ )
5) a- Montrer que:
pour $n \geq 3$ on a: $\frac{e}{n} < \ln n$
b- Montrer que:
pour $n \geq 3$ l’équation $f_{n} (x) = 0$
admet exactement deux solutions $x_{n}$ et $y_{n}$
telles que: $x_{n} \leq - \ln n$ et $\frac{- e}{n} \leq y_{n} \leq 0$
c- Calculer $lim_{n ➝ + \infty} x_{n}$ et $lim_{n ➝ + \infty} y_{n}$
6) On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0, + \infty [$ par:
${\begin{cases} g (x) = - 1 - x \ln x; x > 0 \\ g (0) = - 1 \end{cases}$
a- Montrer que:
la fonction $g$ est continue à droite au point 0
b- Vérifier que pour $n \geq 3$ on a :
$g (\frac{- 1}{x_{n}} t) = \frac{\ln n}{x_{n}}$
c- En déduire $lim_{n ➝ + \infty} \frac{\ln n}{x_{n}}$

Exercice 5: (3 Pts)

Thème: Calcule Integrale

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $[0, 1]$ par:
F(0)=1
F(x)= $\frac{1}{x} - \frac{\ln (1 + 2 x)}{2 x^{2}}$ si x>0
1) Soit $x$ un élément de $[0, 1];$
Montrer que:
pour tout t de [0,x] on a :
$\frac{1}{1 + 2 x} \leq \frac{1}{1 + 2 t} \leq 1$
2) Soit $x$ un élément de $[0, 1]$
a-Montrer que:
$F (x) = \frac{2}{x^{2}} \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + 2 t} d t$
b-Montrer que:
$\frac{1}{1 + 2 x} \leq F (x) \leq 1$
En déduire que la fonction $F$ est continue à droite au point 0

En utilisant une intégration par parties,

3) montrer que pour tout $x$ de $[0, 1]$ on a:
$\int_{0}^{x} \frac{2 t}{1 + 2 t} d t = \frac{x^{2}}{1 + 2 x} + 2 \int_{0}^{x} (\frac{t}{1 + 2 t})^{2} d t$
4) Soit $x$ un élément de $] 0.1]$
a- Montrer que
$F^{'} (x) = - \frac{4}{x^{3}} \int_{0}^{2} (\frac{1}{1 + 2 t})^{2} d t$
b-Montrer que:
$\frac{- 4}{3} \leq F^{'} (x) \leq \frac{- 4}{3 (1 + 2 x)^{2}}$
( on pourra utiliser le résultat de la question 1) )
c- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction Fsur [0,x]
montrer que:
$\frac{- 4}{3} \leq \frac{F (x) - F (0)}{x} \leq \frac{- 4}{3 (1 + 2 x)^{2}}$
d- Déduire que:
la fonction $F$ est dérivable à droite en 0
en précisant son nombre dérivé a droite au point 0.

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