Exercice 1: (3 Pts)
Thème: Structures algébriques
Partie I-
Dans l’anneau unitaire \((M_{3}(IR),+,×)\),
on considère les deux matrices :
\(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)\)
1) Calculer: \(I-A\) et \(A^{2}\).
2) En déduire que:
\(A\) admet un inverse \(A^{-1}\) à déterminer.
Partie II-
Pour tout a et b de l’intervalle \(I=] 1,+∞[.\),
on pose:
\(a * b=\sqrt{a^{2} b^{2}-a^{2}-b^{2}+2}\)
1) Vérifier que ∀ (x, y)∈IR²:
\( x^{2} y^{2}-x^{2}-y^{2}+2=(x^{2}-1)(y^{2}-1)+1\)
2) Montrer que:
\(*\) est une loi de composition interne dans \(I\)
3) On rappelle que:
\((IR^{*+},× )\) est un groupe commutatif.
On considère l’application
\(\varphi:IR^{*+}➝ I\)
\(x➝\sqrt{x+1}\)
a – Montrer que:
\(\varphi\) est un isomorphisme de \((I^{*+},×) ➝{vers}(I, *)\)
b- En déduire la structure de \((I, *)\)
c- Montrer que:
l’ensemble \(\Gamma=\{\sqrt{1+2^{m}} / m∈IR\}\) est un sous groupe de \((I, *)\)
Exercice 2: (3 Pts)
Thème : Nombres complexe
Les parties I et II sont indépendantes:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\((O; \vec{u}, \vec{v})\)
Partie I
– On considère dans \(ℂ\) l’équation (E):
\(i z^{2}+(2-i) a z-(1+i) a^{2}=0\)
où \(a\) est un nombre complexe non nul.
1) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\), les deux racines de l’équation \((E)\)
2) a- Vérifier que:
\(z_{1} z_{2}=a^{2}(i-1)\).
b- Montrer que:
\(z_{1} z_{2}\) est un nombre réel ⇔\(\arg a \equiv \frac{-3 \pi}{8}\left[\frac{\pi}{2}\right]\)
Partie II
– Soient \(c\) un nombre réel non nul et \(z\) un nombre complexe non nul.
On considère les points \(A, B, C, D\) et \(M\) d’affixes respectifs
\(1,1+i, c\), ic et \(z\)
1)a- Montrer que :
\(A, D\) et \(M\) sont alignés ⇔\((i c+1) z+(i c-1) \bar{z}=2 i c\)
(remarquer que \(c=\bar{c}\) )
b-Montrer que:
(AD)丄(OM) ⇔\((i c+1) z-(i c-1) \bar{z}=0\)
2) Soit \(h\) l’ affixe du point \(H\), la projection orthogonale du point O sur (AD)
a – Montrer que :
\(h-(1+i)=\frac{i}{c}(h-c)\).
b- En déduire que (CH)丄(BH)
Exercice 3: (3 Pts)
Thème : Arithmétiques
1) On considère dans \(Z^{2}\) l’équation
\((E): 143 x-195 y=52\)
a – Déterminer le plus grand commun diviseur de 143 et 195,
puis en déduire que l’équation \((E)\) admet des solutions dans \(Z^{2}\)
b – Sachant que \((-1,-1)\) est une solution particulière de l’équation \((E)\),
résoudre dans \(Z^{2}\) l’équation \((E)\)
en précisant les étapes de la résolution.
2) Soit \(n\) un entier naturel non nul premier avec 5
Montrer que:
pour tout \(k\) de \(Z\) on a : n^{4 k} \equiv 1[5]\)
3) Soient \(x\) et \(y\) deux entiers naturels non nuls
tel que: \(x \equiv y [4]\)
a- Montrer que:
pour tout \(n\) de \(Z^{*}\), on a: \(n^{x} \equiv n^{y}[5]\)
b- En déduire que:
pour tout \(n\) de \(Z^{*}\), on a \(: n^{x} \equiv n^{y}[10]\)
4) Soient \(x\) et \(y\) deux entiers naturels tel que \((x, y)\) est solution de l’équation \((E)\)
Montrer que:
pour tout \(n\) de IR*, les deux nombres
\(n^{x}\) et \(n^{y}\) ont le même chiffre des unités
dans l’écriture dans le système décimal.
Exercice 4: (3 Pts)
Thème: Analyse
\(n\) est un entier naturel non nul.
On considère la fonction numérique \(f_{n}\) définie sur \(IR\) par:
\(f_{n}(x)=x+\frac{e^{-x}}{n}\)
Soit \(\left(C_{n}\right)\) la courbe représentative de \(f_{n}\)
dans le plan muni d’ un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\)
1) Calculer:
\(\lim _{x➝-∞} f_{n}(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} f_{n}(x)\)
2) a – Etudier la branche infinie de \((C_{n})\) au voisinage de \(-∞\).
b- Montrer que:
la droite \((D)\) d’équation y=x est une asymptote oblique
à la courbe \(C_{n})\) au voisinage de \(+∞\),
puis déterminer la position relative de \(C_{n})\) et \((D)\)
3) Etudier les variations de \(f_{n}\)
et dresser son tableau de variations.
4) Construire la courbe \((C_{3})\).
( On prend \(f_{3}(-0,6)⋍ 0\) et \(f_{3}(-1,5)⋍ 0\) et \(\ln 3⋍ 1,1\) )
5) a- Montrer que:
pour \(n \geq 3\) on a: \(\frac{e}{n}<\ln n\)
b- Montrer que:
pour \(n \geq 3\) l’équation \(f_{n}(x)=0\)
admet exactement deux solutions \(x_{n}\) et \(y_{n}\)
telles que: \(x_{n} \leq-\ln n\) et \(\frac{-e}{n} \leq y_{n} \leq 0\)
c- Calculer \(\lim _{n➝+∞} x_{n}\) et \(\lim _{n➝+∞} y_{n}\)
6) On considère la fonction numérique \(g\) définie sur \([0,+∞[\) par:
\(\left\{\begin{array}{l}g(x)=-1-x \ln x ; x>0 \\ g(0)=-1\end{array}\right.\)
a- Montrer que:
la fonction \(g\) est continue à droite au point 0
b- Vérifier que pour \(n \geq 3\) on a :
\(g(\frac{-1}{x_{n}}t)=\frac{\ln n}{x_{n}}\)
c- En déduire \(\lim _{n➝+∞} \frac{\ln n}{x_{n}}\)
Exercice 5: (3 Pts)
Thème: Calcule Integrale
On considère la fonction numérique \(F\) définie sur \([0,1]\) par:
F(0)=1
F(x)=\(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+2 x)}{2 x^{2}}\) si x>0
1) Soit \(x\) un élément de \([0,1] ;\)
Montrer que:
pour tout t de [0,x] on a :
\(\frac{1}{1+2 x} \leq \frac{1}{1+2 t} \leq 1\)
2) Soit \(x\) un élément de \([0,1]\)
a-Montrer que:
\(F(x)=\frac{2}{x^{2}} \int_{0}^{x} \frac{t}{1+2 t} dt\)
b-Montrer que:
\(\frac{1}{1+2 x} \leq F(x) \leq 1\)
En déduire que la fonction \(F\) est continue à droite au point 0
En utilisant une intégration par parties,
3) montrer que pour tout \(x\) de \([0,1]\) on a:
\(\int_{0}^{x} \frac{2 t}{1+2 t} dt=\frac{x^{2}}{1+2 x}+2 \int_{0}^{x}(\frac{t}{1+2 t})^{2} dt\)
4) Soit \(x\) un élément de \(] 0.1]\)
a- Montrer que
\(F^{\prime}(x)=-\frac{4}{x^{3}} \int_{0}^{2}(\frac{1}{1+2 t})^{2} dt\)
b-Montrer que:
\(\frac{-4}{3} \leq F^{\prime}(x) \leq \frac{-4}{3(1+2 x)^{2}}\)
( on pourra utiliser le résultat de la question 1) )
c- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction Fsur [0,x]
montrer que:
\(\frac{-4}{3} \leq \frac{F(x)-F(0)}{x} \leq \frac{-4}{3(1+2 x)^{2}}\)
d- Déduire que:
la fonction \(F\) est dérivable à droite en 0
en précisant son nombre dérivé a droite au point 0.
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