Exercice 1: (3.5 Pts)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\).
1) a-Déterminer les deux racines carrées du nombre complexe \(3+4 i\)
b- Résoudre dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation :
\((E) : 4 z^{2}-10 i z-7-i=0\)
2) Soient \(a\) et \(b\) les solutions de l’équation \((E)\) avec \(Re(a)<0\)
et soient \(A\) et \(B\) leurs points images respectifs dans le plan complexe.
a-Vérifier que: \(\frac{b}{a}=1-i\)
b- En déduire que le triangle \(AOB\) est rectangle et isocèle en \(A\).
3) Soient \(C\) un point du plan différent du point \(A\) ayant pour affixe \(c\)
et \(D\) l’image du point \(B\) par la rotation de centre \(C\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\);
et soit \(L\) l’image du point \(D\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AO}\).
a-Déterminer en fonction de \(c\) le nombre complexe \(d\) affixe du point \(D\)
b-Déterminer en fonction de \(c\) le nombre complexe \(\ell\) affixe du point \(L\)
c-Déterminer la forme algébrique du nombre complexe \(\frac{\ell-c}{a-c}\);
en déduire la nature du triangle \(ACL\)
Exercice 2: (3 Pts)
1)Déterminer tous les nombres entiers naturels \(m\)
tels que : \(m^{2}+1 ≡ 0[5]\)
2) Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p=3+4 k\)
où \(k\) est un nombre entier naturel .
Soit \(n\) un nombre entier naturel tel que : \(n^{2}+1 ≡ 0[p]\)
a-Vérifier que : \((n^{2})^{1+2 k} ≡-1[p]\)
b- Montrer que \(n\) et \(p\) sont premiers entre eux.
c- En déduire que : \((n^{2})^{1+2 k} ≡ 1[p]\)
d- Déduire de ce qui précède qu’il n’existe pas d’entier naturel \(n\) vérifiant: \(n^{2}+1 ≡ 0[p]\)
Exercice 3: (3 Pts)
I)
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0 ;+∞[\) par :
\(f(x)=4 x e^{-x^{2}}\)
Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthonormé
\((O ; \vec{i} ; \vec{j})\)
1) Calculer la limite de \(f\) en \(+∞\)
2) Etudier les variations de \(f\) sur l’intervalle \([0 ;+∞[\)
puis donner son tableau de variations.
3) Déterminer l’équation de la demi-tangente à la courbe \((C)\) à l’origine du repère
puis construire la courbe \((C)\)
on prend \(\|i\|=\|\vec{j}\|=2 cm\)
et on admet que le point d’abscisse \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) est un point d’inflexion
de la courbe \((C))\)
4) Calculer l’intégrale \(a=\int_{0}^{1} f(x) dx\)
puis en déduire, en centimètre carré , l’aire de la partie plane limitée par la courbe \((C)\),
les deux axes du repère et la droite d’équation \(x=1\)
II)
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On considère la fonction numérique définie sur l’intervalle \([0;+∞[\) par :
\(f_{n}(x)=4 x^{n} e^{-x^{2}}\)
1) a- Montrer que: \((∀x>1) e^{-x^{2}}<e^{-x}\)
b- En déduire la limite de \(f_{n}\) quand \(x\) tend vers \(+∞\)
2) Etudier les variations de la fonction \(f_{n}\) sur l’intervalle \([0;+∞[\)
puis donner son tableau de variations.
3)Montrer qu’il existe un nombre réel unique \(u_{n}\)
de l’intervalle \(]0,1[\) tel que: \(f_{n}(u_{n})=1\)
4) a-Montrer que:
\((∀n ≥ 2) f_{n+1}(u_{n})=u_{n}\)
b-montrer que:
la suite \((u_{n})_{n ≥ 2}\) est strictement croissante,
en déduire qu’elle est convergente.
4) On pose: \(\ell=\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
a-Montrer que: \(0<\ell≤ 1\)
b-Montrer que \((∀n ≥ 2)\) :
\(-\frac{\ln (4)}{n}<\ln (u_{n})<\frac{1}{n}-\frac{\ln (4)}{n}\)
c-En déduire que : \(\ell=1\)
Exercice 4: (3 Pts)
On considère la fonction numérique \(F\) définie sur \(IR\) par:
\(F(x)=\int_{x}^{2 x} \frac{1}{\ln (1+t^{2})} dt\)
1)Montrer que \(F\) est impaire.
2) Pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0,+∞[.\)
on pose: \(\varphi(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\ln (1+t^{2})} dt\)
a-Vérifier que : \((∀x>0) F(x)=\varphi(2 x)-\varphi(x)\)
b-Montrer que \(F\) est dérivable sur l’intervalle \(]0,+∞[.\)
puis calculer \(F^{\prime}(x)\) pour \(x>0\).
c-En déduire le sens de variations de la fonction \(F\) sur l’intervalle \(]0,+∞[\).
3) a-En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
\(∀x>0 (∃ c∈]x, 2x[\):
\(F(x)=\frac{x}{\ln (1+c^{2})}\)
b- En déduire que :
\((∀x>0) \frac{x}{\ln (1+4 x^{2})}<F(x)<\frac{x}{\ln (1+x^{2})}\)
c-Déterminer les limites suivantes:
\(\lim _{x➝0^{+}} F(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} F(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} \frac{F(x)}{x}\)
d-Montrer que :
\(F(\sqrt{e-1})<\sqrt{e-1}\) et \(F(\frac{\sqrt{e-1}}{2})>\frac{\sqrt{e-1}}{2}\)
en déduire que l’équation \(F(x)=x\) admet une solution unique dans \(]0,+∞[\).