Examen Bac 2 SM PDF Math 2017 Normal Avec Correction

Durée de l’épreuve 4h L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Structures Algébriques (3.5 points ) * Nombres complexes (3.5 points ) * Arithmétique (3 points ) * Analyse (10 points )

* Structures Algébriques (3.5 points ) On rappelle que \(( C ,+, x )\) est un corps commutatif et \(\left( M _{3}( I R ),+, x \right)\) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre dont le zéro est la matrice nulle 0 et dont l’unité est la matrice identique \(I\) et que \(\left( M _{3}( I R ),+, \cdot\right)\) est un espace vectoriel réel. On pose \(A =\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\) et \(M ( a , b )=\left(\begin{array}{rrr} a & b & – b \\ 0 & 0 & 0 \\ b & – a & a \end{array}\right)\) et pour tout couple \(( a , b ) \in I R ^{2}\) On considère l’ensemble \(E =\left\{ M ( a , b ) /( a , b ) \in I R ^{2}\right\}\) 1) Montrer que \(E\) est un sous-groupe de \(\left( M _{3}( I R ),+\right)\) 2) On définit sur \(M _{3}(\text { IR })\) la loi de composition interne « T » par: \(\left(\forall( a , b ) \in I R ^{2}\right)\left(\forall( c , d ) \in I R ^{2}\right) \quad ; \quad M ( a , b ) \operatorname{T} M ( c , d )= M ( a , b ) \times A \times M ( c , d )\) Montrer que \(E\) est une partie stable de \(\left( M _{2}( I R ), T \right)\) 3) On considère l’application \(\varphi\) de \(C ^{*}\) vers \(E\) définie par: \(\left(\forall( x , y ) \in I R ^{2}\right) \quad ; \quad \varphi( x + i y )= M ( x , y )\) et On pose \(E ^{*}= E -\{ M ( 0 , 0 )\}\) a) Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \(\left( C ^{*}, \times\right)\) vers \(( E , T )\) et que \(\varphi\left( C ^{*}\right)= E ^{*}\) b) En déduire que \(\left( E ^{*}, T \right)\) est un groupe commutatif dont on déterminera l’élément neutre \(J\) 4) a) Montrer que la loi T est distributive par rapport à la loi « + » dans E. b) En déduire que \(( E ,+, T )\) est un corps commutatif. * Nombres Complexes (3.5 points ) Soit m un nombre complexe non nul. Partie I: On considère dans l’ensemble des nombres complexes \(C\) l’équation \(\left( E _{ m }\right)\) d’inconnue \(z\) : (E) \(: 2 z^{2}-2(m+1+i) z+m^{2}+(1+i) m+i=0\) 1) Vérifier que le discriminant de l’équation (E \(_{ m }\) ) est \(\Delta=(2 im )^{2}\) 2) Résoudre dans C l’équation (E \(_{ m }\) ). rtie \(\Pi:\) le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \(( o , \overrightarrow{ e _{1}}, \overrightarrow{ e _{2}})\) On suppose que \(m \in C -\{ 0 , 1 , i \}\) et on pose : \(z _{1}=\frac{ 1 + i }{ 2 }( m + 1 )\) et \(z _{2}=\frac{ 1 – i }{ 2 }( m + i )\) On considère les points \(A , B , M , M _{1}\) et \(M _{2}\) d’affixes respectifs \(1 , i , m , z _{1}\) et \(z _{2}\) 1) a) Vérifier que : \(z _{1}= i z _{2}+ 1\) bontrer que \(M _{1}\) est 1 ‘image de \(M _{2}\) par la rotation de centre \(\Omega\) d’affixe \(\omega=\frac{ 1 + i }{ 2 }\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\) 2) Vérifier que : \(\frac{ z _{2}- m }{ z _{1}- m }= i \frac{ m – 1 }{ m – i }\) 3) Montrer que si les points \(M\) et \(M _{1}\) et \(M _{2}\) sont alignés, alors le point \(M\) appartient au cercle ( \(\Gamma\) ) dont l’un des diamètres est le segment \([ AB ]\) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que les points \(\Omega, M , M _{1}\) et \(M _{2}\) sont cocycliques. \(\text { (remarquer que : }\left.\frac{ z _{1}-\omega}{ z _{2}-\omega}= i \right)\)

* Arithmétique (3 points )

On admet que le nombre 2017 est premier et que \(2016=2^{5} 3^{2} 7\) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5 1) Soit le couple \(( x , y )\) de \(I N ^{*} \times I N ^{*}\) tel que \(: p x + y ^{ p – 1 }= 2 0 1 7\) a) Vérifier que : \(p < 2 0 1 7\) b) Montrer que: \(p\) ne divise pas \(y\) c) Montrer que : \(y ^{ p -1} \equiv 1 [ p ]\) puis en déduire que p divise \(2 0 1 6\) d) Montrer que : \(p = 7\) 2) Déterminer, suivant les valeurs de \(p\), les couple \(( x , y )\) de \(I N ^{*} \times\) IN \(^{*}\) vérifiant : \(p x + y ^{ p -1}= 2 0 1 7\) * Analyse (10 points ) Partie :I Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(I =\left[ 0 ,+\infty\left[\text { par: } \quad f ( 0 )= 0 \quad e t \quad f ( x )=\left(1+\frac{ 1 }{ x }\right) e ^{-\frac{1}{ x }} ; \quad( x > 0 )\right.\right.\) \(\left( C _{ f }\right)\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \(( O ; \overrightarrow{ i } ; \overrightarrow{ j })\) unité \(2 cm\) 1) a) Montrer que la fonction \(f\) est continue à droite au point \(0 . \quad 0,25\) pes b) Montrer que la fonction \(f\) est dérivable à droite au point \(0 .\) o,spes c) Montrer que \(f \text { est dérivable sur }] 0 ,+\infty\left[, \text { puis calculer } f ^{\prime}( x ) \text { pour tout } x \in\right] 0 ,+\infty\left[.0,5 p_{\text {ps }}\right.\) 2) a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x),\) puis interpréter analytiquement le résultat obtenu. 0,5 pess b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). 0,25 pts 3) a) Montrer que la courbe \(\left( C _{ f }\right)\) admet un point d’inflexion A qu’on déterminera. 0,75 pts b) Tracer la courbe \(\left( C _{ f }\right)\) ( On prendra \(\left. f ( 1 ) \approx 0 , 7 \quad \text { et } \quad 4 e ^{-3} \approx 0 , 2\right)\) o, \(_{ p }\) Partie : II Soit la fonction \(F\) définie sur \(\left[ 0 ,+\infty\left[\text { par }: F ( x )=\int_{ x }^{1} f ( t ) d t \right.\right.\) 1) Montrer que \(F\) est continue sur \([ 0 ,+\infty[.0,25\text { pts }\) 2) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que: \((\forall x \in] 0 ,+\infty[) \quad ; \quad \int_{ x }^{1} e ^{-\frac{1}{t}} d t = e ^{-1}- x e ^{-\frac{1}{x}}-\int_{ x }^{1} \frac{ 1 }{ t } e ^{-\frac{1}{t}} d t\) b) Déterminer : \(\left.\int_{x}^{1}\left(1+\frac{1}{t}\right) e^{-\frac{1}{t}} \text { dt pour tout } x \text { de }\right] 0,+\infty[0,25]\) c) Montrer que : \(\int_{0}^{1} f ( x ) d x = e ^{-1} \quad 0,5\) pts 3) Calculer en \(cm ^{2}\) l’aire du domaine délimité par la courbe \(\left( C _{ f }\right)\) et les droites d’équations respectives, \(x = 0\) \(x =2 \text { et } y = 0 , \quad 0,5 \text { pts }\) 4) Soit la suite \(\left( u _{ n }\right)_{ n \geq 0}\) définie par: \((\forall n \in I N ) ; u _{ n }= F ( n )- F ( n + 2 )\) a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout entier naturel n il existe un nombre réel \(\left. v _{ n } \text { appartenant à l’intervalle }\right] n , n +2\left[\text { tel que: } u _{ n }=2\left(1+\frac{1}{ v _{ n }}\right) e ^{-\frac{1}{v_{ n }}}\right.\) Montrer que : \(\left(\forall n \in I N^{*}\right) ; \quad 2\left(1+\frac{1}{n}\right) e^{-\frac{1}{n}} \leq u_{n} \leq 2\left(1+\frac{1}{n+2}\right) e^{-\frac{1}{n+2}}\) c) En déduire \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} 0,25\) ps Partie :III 1) a) Montrer que pour tout \(n \in I N ^{*},\) il existe un réel \(a _{ n } \in I R ^{*}\) tel que \(: f \left( a _{ n }\right)= e ^{-\frac{1}{n}}\) o, 5 ps bontrer que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}\) est croissante 0,25 ps c) Vérifier que : \(\left(\forall n \in I N^{*}\right) ; \quad-\frac{1}{a_{n}}+\ln \left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)=-\frac{1}{n} 0,25 \not p_{s}\) 2) a) Montrer que: \((\forall t \in[0,+\infty]) ; 1-t \leq \frac{1}{1+t} \leq 1-t+t^{2}, 0,25 d x\) Montrer que : \((\forall x \in[0,+\infty]) ;-\frac{x^{2}}{2} \leq-x+\ln (1+x) \leq-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3} 0,5\) pts 3) Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n \geq 4\) Montrer que : \(\left.1-\frac{2}{3 a_{n}} \leq \frac{2 a_{n}^{2}}{n} \leq 1 \quad(\text { Voir questions } 3) \text { a) et } 3 \text { ) } b \text { ) de III }\right)\) \(0.5 ps\) Montrer que : \(\sqrt{\frac{ n }{6}} \leq a _{ n } \quad\) (Voir questions 1 ) \(c\) ) et 2 ) \(b\) ) de \(III\) ) En déduire \(\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}\) Determiner \(\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n} \sqrt{\frac{2}{n}}\)

Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2017 Normale