Examen National Math Bac 2 Science Math 2011 Normale

Exercice 1: (4 Pts)

Thème: Structures algébriques

Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I :
Dans l’anneau unitaire $(M_{3} (R), +, \times)$ ,
on considère les deux matrices:
$I = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$
et
$A = (\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$
On pose $A^{0} = I, A^{2} = A \times A$
et $(\forall n \in I N); A^{n + 1} = A^{n} \times A$
1. Montrer que :
$(\forall k \in I N); A^{2 k} = I$ .
2. Montrer que:
la matrice $A$ admet un inverse $A^{- 1}$ à déterminer.

Partie II :
Soit a un nombre réel.
Pour tous $x$ et $y$ de $I =] a; + \infty [$ on pose:
$x * y = (x - a) (y - a) + a$ .
1. a) Montrer que:
$*$ est une loi de composition interne dans $I$ .
b) Montrer que:
la loi $*$ est commutative et associative dans $I .$
c) Montrer que:
$(I; *)$ admet un élément neutre à déterminer.
2. Montrer que:
$(I; *)$ est un groupe abélien.
3. On considère l’application:
$φ : I ➝ I R_{+}^{*}$
$x ➝ \frac{1}{x - a}$
a) Montrer que:
$φ$ est un isomorphisme de $(I, *)$ dans $I R_{+}^{*}, \times)$ .
b) Résoudre dans $I$ l’équation:
$x^{(3)} = a^{3} + a$ avec $x^{(3)} = x * x * x$ .

Exercice 2: (2.5 Pts)

Thème : Arithmétiques

Soit $N$ l’entier naturel dont l’écriture dans la base décimale est :
$N = \underset{2010 fois 1}{\underset{⏟}{11 \dots .1}}$
1-Montre que le nombre $N$ est divisible par 11
2 -a) Vérifier que le nombre 2011 est premier
et que $10^{2010} - 1 = 9 N$
b) Montrer que le nombre 2011 divise le nombre $9 N$
c) En déduire que le nombre 2011 divise le nombre $N$ .
3- Montrer que le nombre $N$ est divisible par 22121

Exercice 3: (3.5 Pts)

Thème : Nombres complexes

partie I:
Soit $m$ un nombre complexe non nul.
On considère dans l’ensemble $ℂ$ l’équation d’inconnue $z$ :
$(E_{m}) : z^{2} + [(1 - i) m - 4] z - i m^{2} - 2 (1 - i) m + 4 = 0$
1-Vérifier que le nombre $z_{1} = - m + 2$ est solution de l’équation $(E_{m})$
2-Soit $z_{2}$ la deuxième solution de l’équation $(E_{m})$
a) Montrer que:
$z_{1} z_{2} = 1 \Leftrightarrow i m^{2} + 2 (1 - i) m - 3 = 0$
b) Déterminer les deux valeurs de $m$ pour lesquelles on a:
$z_{1} z_{2} = 1$

Deuxième partie II:
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
$(O, \vec{u}, \vec{v})$ ,
On considère l’application $S$
qui au point $M$ , d’affixe $z$ , fait correspondre le point $M^{'}$ d’affixe $z^{'}$
tel que: $z^{'} - 1 = - (z - 1)$
$R$ la rotation:
de centre le point $Ω$ d’affixe $(1 + i)$ et d’angle $\frac{π}{2}$ ,
et soit $z »$ l’affixe du point $M » = R (M)$ .
1-a) Montrer que:
l’application $S$ est la symétrie centrale de centre le point d’affixe 1.
b) Montrer que: $z » = i z + 2 .$
2-Soit $A$ le point d’affixe 2.
On suppose que le point $M$ est distinct du point $O$ origine du repère.
a)Calculer $\frac{z » - 2}{z^{'} - 2}$ ,
en déduire la nature du triangle $A M^{'} M »$ .
b) Déterminer l’ensemble des points $M$
pour lesquels les points $A, Ω, M^{'}$ et $M »$ sont cocycliques.

Exercice 4: (6.5 Pts)

Thème: Analyse

partie I:
Etude des solutions positives de l’équation (E):
$e^{x} = x^{n}$ avec $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction numérique $f$
définie sur l’ensemble $D = [0, 1 [\cup] 1, + \infty [$ par :
$f (x) = \frac{x}{\ln x}$ si $x \neq 0$ et $f (0) = 0$
et soit $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté
à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$
1- Vérifier que pour tout $x$ de l’ensemble $] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [$ on a :
$e^{x} = x^{n} \Leftrightarrow n = f (x)$
2- Montrer que:
la fonction $f$ est dérivable à droite en 0 .
3-Calculer les limites:
$lim_{x ➝ 1^{-}} f (x)$
$lim_{x ➝ 1^{+}} f (x)$
$lim_{x ➝ + \infty} f (x)$
$lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x}$
ensuite interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4-Etudier les variations de la fonction $f$
sur chacun des intervalles $[0, 1 [$ et $] 1, + \infty [$
puis donner son tableau de variations.
5-Montrer que la courbe $(C)$ admet un point d’inflexion
dont on déterminera les coordonnées.
6- Représenter graphiquement $(C)$ .
7-Montrer que pour $n \geq 3$ ,
l’équation $(E)$ admet exactement deux solutions $a_{n}$ et $b_{n}$
tel que : $1 < a_{n} < e < b_{n}$

partie II:
Etude des deux suites $(a_{n})_{n \geq 3}$ et $(b_{n})_{n \geq 3}$
1-Montrer que:
$(\forall n \geq 3) b_{n} \geq n$ ,
en déduire la limite de la suite $(b_{n})_{n \geq 3}$
2 -a) Montrer que:
la suite ${(a_{n})}_{n \geq 3}$ est décroissante,
en déduire qu’elle est convergente.
b) Montrer que:
$(\forall n \geq 3) \frac{1}{n} < \ln (a_{n}) < \frac{e}{n}$ ,
en déduire la limite de la suite $(a_{n})_{n \geq 3}$
c)Montrer que:
$lim_{n ➝ + \infty} a_{n}^{n} = e$

Exercice 5: (3.5 Pts)

Thème: Calcule Integrale

On considère la fonction numérique $F$
définie sur l’intervalle $[0; + \infty [$ par:
$F (x) = e^{- x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$
1-a) Montrer que :
$(\forall x \geq 0) 0 \leq F (x) \leq x e^{- x^{2}}$
b) Montrer que: $(\forall x \geq 1) e^{- x^{2}} \leq e^{- x}$
en déduire la limite de la fonction $F$ en $+ \infty$
2-Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0; + \infty [$
et que : $(\forall x \geq 0) F^{'} (x) = e^{- 2 x^{2}} - 2 x F (x)$
3-On considère la fonction numérique $G$
définie sur l’intervalle $[0; \frac{π}{2}]$ par :
${\begin{cases} G (x) = F (\tan x); 0 \leq x < \frac{π}{2} \\ G (\frac{π}{2}) = 0 \end{cases}$
a) Montrer que:
la fonction $G$ est continue à gauche en $\frac{π}{2}$
b) Montrer qu’il existe un réel $c$ de l’intervalle $] 0; + \infty [.$
tel que : $F^{'} (c) = 0$
et que : $F (c) = \frac{e^{- 2 c^{2}}}{2 c}$
(On pourra appliquer le théorème de ROLLE
à la fonction $G$ sur l’intervalle $[0; \frac{π}{2}]$ )
4-On considère la fonction numérique $H$ définie sur $] 0, + \infty [.$ par:
$H (x) = F^{'} (x) \frac{e^{x^{2}}}{2 x}$
a) Montrer que:
la fonction $H$ est strictement décroissante sur $] 0, + \infty [$
b) En déduire que:
$c$ est unique, puis donner le tableau de variation de $F$ .

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