Exercice 1: (3.5 pts)
Thème: Structures algébriques
I- Pour tout \(x\) et \(y\) de l’intervalle \(G=] 1,2\left[\right.\) on pose :
\(x * y=\frac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}{(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}\)
1-Montrer que \(*\) est une loi de composition interne dans \(G\)
2-On rappelle que \(\left(7_{+}^{*}, \times\right)\) est un groupe commutatif.
On considère l’application \(f de \square{ }_{+}^{*}\) vers \(G\) définie par:
\(f(x)=\frac{x+2}{x+1}\)
a) Montrer que \(f\) est un isomorphisme \(\operatorname{de}\left(IR_{+}^{*}, \times\right)\) dans \((G, *)\)
b) En déduire que \((G, *)\) est un groupe commutatif dont on déterminera l’élément neutre.
II-On rappelle que \(\left( M _{3}(IR),+, \times\right)\) est un anneau unitaire dont le zéro est \(O=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)
et l’unité est \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) et que \(\left( M _{3}(IR),+, \cdot\right)\) est un espace vectoriel réel
et on pose:
\(A=\left(\begin{array}{lll}0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)
1-a) Vérifier que : \(A^{3}=O\)
et en déduire que \(A\) est un diviseur de zéro dans l’anneau \(\left( M _{3}(IR),+, \times\right)\)
b) Vérifier que :
\(\left(A^{2}-A+I\right)(A+I)=I\) en déduire que la matrice \(A+I\) admet un inverse \(\operatorname{dans}\left( M _{3}(IR),+, \times\right)\) que l’on déterminera.
2-Pour tout \(a\) et \(b\) de IR
on pose: \(M(a, b)=a I+b A\)
et l’on considère l’ensemble E={M(a, b) / (a, b)∈IR²}
Montrer que:
\((E,+, \cdot)\) est un espace vectoriel réel dont on déterminera une base.
Exercice 2: (3 pts)
Thème: Calcul des Probabilités
Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher.
I- On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l’urne. et on considère l a variable aléatoire \(X\) égale au nombre de boules noires tirées.
1- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)
2- Calculer \(E(X)\) l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\)
II-On réalise l’expérience aléatoire suivante en trois étapes:
Etape 1: On tire une boule de l’urne ,on marque sa couleur et on la remet dans l’urne.
Etape 2: On ajoute dans l’urne 5 boules de même couleur que la boule tirée à l’étape 1
Etape 3: On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne qui contient alors 12 boules après l’étape 2
On considère les événements suivants:
\(N\) « la boule tirée à l’étape 1 est noire »
\(R\) « la boule tirée à l’étape 1 est rouge »
\(E\) « toutes les boules tirées à l’étape 3 sont noires «
1) Montrer que: \(\quad p(E \cap N)=\frac{12}{55}\)
2) Calculer \(p(E)\)
3) Calculer la probabilité de l’événement \(R\) sachant que \(E\) est realisé.
Exercice 3: (3.5 pts)
Thème : Nombres complexes
I-
Soit \(a\) un nombre complexe différent de 1.
On considère dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation :
\(\quad(E): 2 z^{2}-2(a-1) z+(a-1)^{2}=0\)
1) Montrer que :
\(z_{1}=\frac{(a-1)}{2}(1+i)\) et \(z_{2}=\frac{(a-1)}{2}(1-i)\)
sont les deux solutions de l’équation \((E)\)
2) On prend \(a=e^{i \theta}\) avec \(0<\theta<\pi\)
a- Montrer que:
\(a-1=2 \sin \frac{\theta}{2} e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)}\)
b-En déduire la forme trigonométrique de \(z_{1}\) et \(z_{2}\)
II-
Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct
\((O, \bar{u}, \vec{v})\)
On admet que Re (a)<0
et on considère les points \(A(a), B(-i), C(i)\) et \(B'(1)\)
1) Déterminer en fonction de \(a\),
les affixes des points \(J\) et \(K\) milieux respectifs de [AC] et [AB].
2) Soit \(r_{1}\) la rotation de centre \(J\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)
et \(r_{2}\) la rotation de centre \(K\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)
On pose \(C^{\prime}=r_{1}(C)\) et \(A^{\prime}=r_{2}(A)\) et soient \(c^{\prime}\) l’affixe de \(C^{\prime}\) et \(a^{\prime}\) l’affixe de \(A^{\prime}\) Montrer que: \(\quad a^{\prime}=z_{1} \quad\) et \(\quad c^{\prime}=z_{2}\)
3) Calculer: \(\frac{a’-c’}{a-1}\)
et en déduire que la droite (A B’) est une hauteur du triangle A’B’C’.
Exercice 4: (8.25 pts)
Thème: Analyse
1-Soit \(f\) la fonction numérique définie sur [0,+\infty[ par :
\(\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2} \ln ^{2} x}} \\ f(0)=1\end{array}\right.\)
a) Montrer que \(f\) est continue à droite au point \(0,\)
puis calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)
b)Etudier la dérivabilité de \(f\) à droite au point 0
( On pourra utiliser le résultat \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln ^{2} x=0\) )
c) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(] 0,+\infty\left[\right.\)
et que : \((\forall x>0) ; f^{\prime}(x)=\frac{-x \ln x(1+\ln x)}{\left(1+x^{2} \ln ^{2} x\right)^{\frac{3}{2}}}\)
d) Donner le tahleaı de variation de la fonction \(f\).
2- Soit \(F\) la fonction numérique définie sur [0,+\infty[ par:
\(F(x)=\int_{0}^{x} f(t) dt\)
et soit \((C_{F})\) la courbe représentative de \(F\)
dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
a)Déterminer:
une primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x \ln x}\) sur l’intervalle \([e,+\infty[\)
b) Montrer que:
\((\forall t \geq e) ; t \ln t \leq \sqrt{1+t^{2} \ln ^{2} t} \leq \sqrt{2} t \ln t\)
c)Montrer que:
\((\forall x \geq e) ; \frac{1}{\sqrt{2}} \ln (\ln x) \leq \int_{e}^{x} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2} \ln ^{2} t}} d t \leq \ln (\ln x)\)
d)En déduire que:
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=+\infty\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{F(x)}{x}=0\)
e) Montrer que \((C_{F})\) admet deux points d’inflexions dont on déterminera les abscisses.
f) Construire \((C_{F})\).
(on prend \(F(1)⋍0,5\) et \(F(\frac{1}{e})⋍0,4)\).
3- Pour tout \(x\) de \([0,+\infty[\) on pose : \(\varphi(x)=x-F(x)\)
a) Montrer que:
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)=+\infty\) et étudier les variations de \(\varphi\)
b) Montrer que:
pour tout entier naturel \(n\), l’équation \(\varphi(x)=n\) admet une seule solution \(\alpha_{n}\) dans l’intervalle \([0,+\infty[\)
c) Montrer que: \((\forall n \in IN) ; \quad \alpha_{n} \geq n\)
puis calculer: \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \alpha_{n}\)
4-a), Montrer que:
\((\forall n \geq 1) ; 0 \leq \frac{F\left(\alpha_{n}\right)}{\alpha_{n}} \leq \frac{F(n)}{n}+f(n)\)
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis)
b)Calculer: \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\alpha_{n}}{n}\).
Exercice 5: (1.75 pts)
Thème: Suites Numériques
Pour tout entier naturel non nul \(n\) on pose :
\(u_{n}=\left(\frac{\arctan (n)}{\arctan (n+1)}\right)^{n^{2}}\) et \(v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)\)
1-Vérifier que:
\((\forall n \geq 1) ; v_{n}=n² ln (arctan(n)-ln(arctan (n+1)\)
2-En utilisant le théorème des accroissements finies,
Montrer que \((\forall n \geq 1)(\exists c \in] n, n+1[):
v_{n}=\frac{-n^{2}}{\left(1+c^{2}\right) \arctan (c)}\)
3-Montrer que:
\((\forall n \geq 1) ; \frac{-n^{2}}{\left(1+n^{2}\right) \arctan (n)}<v_{n}<\frac{-n^{2}}{\left(1+(n+1)^{2}\right) \arctan (n+1)}\)
4-Calculer: \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).
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