Examen National Math Bac 2 Science Math 2012 Rattrapage

Exercice 1: (3.5 Pts)

Thème: Structures algébriques

Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I:
Pour tous $a$ et $b$ de l’intervalle $I=[1;+\infty [$
on pose $:a\perp b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-1{)}^2$
1. Montrer que: $\perp$ est une loi de composition interne sur $I$.
2. Montrer que:
la loi $\perp$ est commutative et associative sur $I$.
3. Montrer que:
$\perp$ admet un élément neutre sur $I$ à déterminer.
Partie II :
On rappelle que $(M_2(IR),+,\times )$ est un anneau unitaire.
On pose
$E=\{M(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 2(x-1)\\ 0& 1\end{array}\right)/x\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$
1) Montrer que:
$E$ est une partie stable de $(M_2(\mathbb{R}),\times )$
$\phi :{\mathbb{R}}^{\ast }\to E$
2) On considère l’application $\phi$ définie par:
$x\mapsto M(x)$
a) Montrer que:
$\phi$ est un isomorphisme de $(I{R}^{\ast },\times )$ dans $(E,\times )$.
b) En déduire la structure de $(E,\times )$.
c) Montrer que:
l’ensemble $H=\{\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 2^{n+1}-2\\ 0& 1\end{array}\right)/n\in \mathbb{Z}\}$ est un sous groupe de $(E,\times )$

Exercice 2: (3.5 Pts)

Thème : Nombres complexes

les parties I et II sont indépendantes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
$(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
I- On considère dans l’ensemble \square l’équation :
(E) $z^2-4(1+\frac{2}{3}i)z+\frac{5}{3}+4i=0$
1) a-Vérifier que:
$z_1=1+\frac{2}{3}i$ est une solution de l’équation $(E)$
b- Montrer que:
la deuxième solution de l’équation $(E)$ est $z_2=3z_1$
2) Soit $\theta$ un argument du nombre complexe $z_1$
Ecrire en fonction de $\theta$ la forme trigonométrique
du nombre complexe $\frac{5}{3}+4i$
II- On considère trois points distincts deux à deux $A,B$ et $\Omega$,
d’affixes respectifs les nombres complexes $a,b$ et $\omega$
Soit $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\frac{\pi }{3}.$
On pose $P=r(A)$ et $B=r(Q)$
et soient $p$ et $q$ les affixes respectifs des points $P$ et $Q$
1) a- Montrer que :
$p=\omega +e^{i\frac{\pi }{3}}(a-\omega )$ et $q=\omega +e^{-i\frac{\pi }{3}}(b-\omega )$
b-Montrer que :
$\frac{1-e^{i\frac{\pi }{3}}}{1-e^{-i\frac{\pi }{3}}}=e^{i\frac{4\pi }{3}}$
c- Montrer que :
$\frac{p-a}{q-b}=\frac{\omega -a}{\omega -b}{e}^{i\frac{4\pi }{3}}$
2) On suppose que:
$\frac{\omega -a}{\omega -b}=e^{i\frac{2\pi }{3}}$
a-Montrer que $APQB$ est un parallélogramme.
b- Montrer que:
$\arg \left(\frac{b-a}{p-a}\right)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$,
en déduire que $APQB$ est un rectangle.

Exercice 3: (3 Pts)

Thème : Arithmétiques

1) a-Vérifier que le nombre 503 est premier.
b-Montrer que $7^{502}\equiv 1[503]$;
en déduire que $7^{2008}\equiv 1[503]$
2) On considère dans $Z²$ l’équation
$(E):49x-6y=1$
Sachant que $(1,8)$ est une solution particulière de l’équation $(E)$;
résoudre dans $Z²$ l’équation $(E)$ en précisant les étapes de la résolution.
3) On pose $N=1+7+7^2+\dots +7^{2007}$
a-Montrer que le couple $(7^{2006},N)$ est solution de l’équation $(E)$
b- Montrer que $N\equiv 0[4]$ et $N\equiv 0[503]$
c- En déduire que le nombre $N$ est divisible par 2012

Exercice 4: (7.5 Pts)

Thème: Analyse

I – Soit $g$ la fonction numérique définie sur [0,+∞[\) par:
$g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$
1) Etudier les variations de $g$ sur $[0,+\infty [$
2) En déduire le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[0,+\infty [$
II – Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$ par:
$f(x)=e^x\ln (1+e^{-x})$
1) Montrer que $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=1$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$
2) Montrer que pour tout réel $x$ on a :
$f^{\prime }(x)=e^{x}g\left(e^{-x}\right)$
3) Dresser le tableau de variations de $f$
4) Construire la courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$
et la courbe $\left(C^{\prime }\right)$ représentative de la fonction $(-f)$
dans le même repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$
( on admet que -0,7 est une valeur approchée de l’abscisse
du seul point d’inflexion de la courbe $(C)$ )
5) Montrer que:
pour tout $x$ de l’intervalle $[-1,0]$ on a : $0<f^{\prime }(x)\le g(e)$
6) Montrer que:
l’équation $f(x)+x=0$ admet un solution unique $\alpha$ dans $IR$
et que $-1<\alpha <0$
7) On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}}$ définie par:
$u_0=0$ et $u_{n+1}=-f\left(u_n\right)$ pour tout $\mathrm{n}$ de $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$
a-Montrer que : $(\mathrm{\forall }n\in IR);-1\le u_n\le 0$
b- Montrer que : $(\mathrm{\forall }n\in IR);|u_{n+1}-\alpha |\le g(e)|u_n-\alpha |$
c-En déduire que $:(\mathrm{\forall }n\in IR);|u_n-\alpha |\le (g(e){)}^n$
d- Sachant que $g(e)<0,6$; calculer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$

Exercice 5: (2.5 Pts)

Thème: Calcule Integrale

On considère la fonction $F$ définie sur ] 0,+∞[ par:
$F(x)={\int }_{\frac{1}{x}}^x\frac{\ln t}{1+t^2}dt$
1) Calculer $F(1)$
2)a-Montrer que:
$F$ est dérivable sur ] 0,+∞[ et calculer $F^{\prime }(x)$
b- En déduire que:
pour tout $x$ de l’intervalle ] 0,+∞[ on a : $F(x)=0$
3) En utilisant une intégration par parties,
montrer que ∀x>0:
$F(x)=(Arctanx+Arctan\frac{1}{x})lnx-{\int }_{\frac{1}{x}}^x\frac{Arctant}{t}dt$
4) Montrer que :
$(\mathrm{\forall }x>0)$; $Arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-Arctanx$
5) Déduire que ∀x>0:
$\ln x=\frac{2}{\pi }{\int }_{\frac{1}{x}}^x\frac{Arctant}{t}dt$.

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