Exercice 1: (3.5 Pts)
Thème: Structures algébriques
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I:
Pour tous \(a\) et \(b\) de l’intervalle \(I=[1 ;+∞[\)
on pose \(: a ⊥ b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-1)^{2}\)
1. Montrer que: \(⊥\) est une loi de composition interne sur \(I\).
2. Montrer que:
la loi \(⊥\) est commutative et associative sur \(I\).
3. Montrer que:
\(⊥\) admet un élément neutre sur \(I\) à déterminer.
Partie II :
On rappelle que \((M_{2}(IR),+,×)\) est un anneau unitaire.
On pose
\(E=\left\{M(x)=\left(\begin{array}{cc}x & 2(x-1) \\ 0 & 1\end{array}\right) / x \in \mathbb{R}^{*}\right\}\)
1) Montrer que:
\(E\) est une partie stable de \((M_{2}(\mathbb{R}),×)\)
\(\varphi: \mathbb{R}^{*} \rightarrow E\)
2) On considère l’application \(\varphi\) définie par:
\(x \mapsto M(x)\)
a) Montrer que:
\(\varphi\) est un isomorphisme de \((IR^{*},×)\) dans \((E,×)\).
b) En déduire la structure de \((E,×)\).
c) Montrer que:
l’ensemble \(H=\left\{\left(\begin{array}{cc}2^{n} & 2^{n+1}-2 \\ 0 & 1\end{array}\right) / n \in \mathbb{Z}\right\}\) est un sous groupe de \((E,×)\)
Exercice 2: (3.5 Pts)
Thème : Nombres complexes
les parties I et II sont indépendantes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\((O ; \vec{u}, \vec{v})\)
I- On considère dans l’ensemble \square l’équation :
(E) \(\quad z^{2}-4\left(1+\frac{2}{3} i\right) z+\frac{5}{3}+4 i=0\)
1) a-Vérifier que:
\(z_{1}=1+\frac{2}{3} i\) est une solution de l’équation \((E)\)
b- Montrer que:
la deuxième solution de l’équation \((E)\) est \(z_{2}=3 z_{1}\)
2) Soit \(\theta\) un argument du nombre complexe \(z_{1}\)
Ecrire en fonction de \(\theta\) la forme trigonométrique
du nombre complexe \(\frac{5}{3}+4 i\)
II- On considère trois points distincts deux à deux \(A, B\) et \(Ω\),
d’affixes respectifs les nombres complexes \(a, b\) et \(\omega\)
Soit \(r\) la rotation de centre \(Ω\) et d’angle \(\frac{π}{3} .\)
On pose \(P=r(A)\) et \(B=r(Q)\)
et soient \(p\) et \(q\) les affixes respectifs des points \(P\) et \(Q\)
1) a- Montrer que :
\(p=\omega+e^{i \frac{π}{3}}(a-\omega)\) et \(q=\omega+e^{-i \frac{π}{3}}(b-\omega)\)
b-Montrer que :
\(\frac{1-e^{i \frac{π}{3}}}{1-e^{-i \frac{π}{3}}}=e^{i \frac{4 π}{3}}\)
c- Montrer que :
\(\frac{p-a}{q-b}=\frac{\omega-a}{\omega-b} e^{i \frac{4 π}{3}}\)
2) On suppose que:
\(\frac{\omega-a}{\omega-b}=e^{i \frac{2 π}{3}}\)
a-Montrer que \(APQB\) est un parallélogramme.
b- Montrer que:
\(\arg \left(\frac{b-a}{p-a}\right) ≡ \frac{π}{2}[2 π]\),
en déduire que \(APQB\) est un rectangle.
Exercice 3: (3 Pts)
Thème : Arithmétiques
1) a-Vérifier que le nombre 503 est premier.
b-Montrer que \(7^{502} ≡ 1[503]\);
en déduire que \(7^{2008} ≡ 1[503]\)
2) On considère dans \(Z²\) l’équation
\((E): 49 x-6 y=1\)
Sachant que \((1,8)\) est une solution particulière de l’équation \((E)\);
résoudre dans \(Z²\) l’équation \((E)\) en précisant les étapes de la résolution.
3) On pose \(N=1+7+7^{2}+ …+7^{2007}\)
a-Montrer que le couple \((7^{2006}, N)\) est solution de l’équation \((E)\)
b- Montrer que \(N ≡ 0[4]\) et \(N ≡ 0 [503]\)
c- En déduire que le nombre \(N\) est divisible par 2012
Exercice 4: (7.5 Pts)
Thème: Analyse
I – Soit \(g\) la fonction numérique définie sur [0,+∞[\) par:
\(g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}\)
1) Etudier les variations de \(g\) sur \([0,+∞[\)
2) En déduire le signe de \(g(x)\) sur l’intervalle \([0,+∞[\)
II – Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\square\) par:
\(f(x)=e^{x} \ln \left(1+e^{-x}\right)\)
1) Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+∞} f(x)=1\) et \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0\)
2) Montrer que pour tout réel \(x\) on a :
\(f^{\prime}(x)=e^{x} g\left(e^{-x}\right)\)
3) Dresser le tableau de variations de \(f\)
4) Construire la courbe \((C)\) représentative de la fonction \(f\)
et la courbe \(\left(C^{\prime}\right)\) représentative de la fonction \((-f)\)
dans le même repère \((O ; \vec{i}, \vec{j}) .\)
( on admet que -0,7 est une valeur approchée de l’abscisse
du seul point d’inflexion de la courbe \((C)\) )
5) Montrer que:
pour tout \(x\) de l’intervalle \([-1,0]\) on a : \(0<f^{\prime}(x) \leq g(e)\)
6) Montrer que:
l’équation \(f(x)+x=0\) admet un solution unique \(\alpha\) dans \(IR\)
et que \(-1<\alpha<0\)
7) On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \square}\) définie par:
\(u_{0}=0\) et \(u_{n+1}=-f\left(u_{n}\right)\) pour tout \(\mathrm{n}\) de \(\square\)
a-Montrer que : \((\forall n \in IR) ; \quad-1 \leq u_{n} \leq 0\)
b- Montrer que : \((\forall n \in IR) ;\left|u_{n+1}-\alpha\right| \leq g(e)\left|u_{n}-\alpha\right|\)
c-En déduire que \(:(\forall n \in IR) ;\left|u_{n}-\alpha\right| \leq(g(e))^{n}\)
d- Sachant que \(g(e)<0,6 \); calculer \(\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}\)
Exercice 5: (2.5 Pts)
Thème: Calcule Integrale
On considère la fonction \(F\) définie sur ] 0,+∞[ par:
\(F(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{\ln t}{1+t^{2}} d t\)
1) Calculer \(F(1)\)
2)a-Montrer que:
\(F\) est dérivable sur ] 0,+∞[ et calculer \(F^{\prime}(x)\)
b- En déduire que:
pour tout \(x\) de l’intervalle ] 0,+∞[ on a : \(F(x)=0\)
3) En utilisant une intégration par parties,
montrer que ∀x>0:
\(F(x)=(Arctan x+Arctan \frac{1}{x}) lnx-\int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{Arctan t}{t} dt\)
4) Montrer que :
\((\forall x>0)\); \(Arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-Arctan x\)
5) Déduire que ∀x>0:
\(\ln x=\frac{2}{\pi} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{Arctan t} {t} dt\).
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