Examen Math Bac 2 Science Math 2020 Rattrapage Avec Correction

Examen Math Bac 2 Science Math 2020 Rattrapage

Avec Correction

La durée de l’épreuve est de 4 heures.

L’épreuve est composée de quatre exercices indépendants entre eux.

Le candidat doit traiter Exercice 3 et Exercice 4

et choisir de traiter Exercice 1 ou bien 2.

Exercice 1 qui concerne l’arithmétique (au choix). …3.5 points.

Exercice 2 qui concerne les structures algébriques (au choix)…3.5 points.

Exercice 3 qui concerne les nombres complexes (obligatoire) … 3.5 points.

Exercice 4 qui concerne l’analyse (obligatoire) 13 points.

Exercice 1 : (3.5 polnts/au cholx)

Soient p et q deux nombres premiers vérifiant:

p<q et $9^{p+q-1}≡ 1[pq]$.

1-a) Montrer que p et 9 sont premiers entre eux.

b) En déduire que:

9^{p - 1} \equiv 1 [p]

et que

9^{q} \equiv 1 [p]

2-a) Montrer que (p-1) et q sont premiers entre eux.

b) En utilisant le théorème de B E Z O U T, montrer que : p=2.

3-a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que:

9^{q - 1} \equiv 1 [q]

Exercice 2: (3.5 points/au choix)

On note $M_{3} (R)$ l’ensemble des matrices d’ordre 3 a coefficients réels.
On rappelle que $M_{3} (I R, +, \times)$ est un espace vectoriel réel de dimension 9.
et que $M_{3} (I R, +, \times)$ est un anneau non commutatif
unitaire de zéro $O = (\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ et d’unité $I = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$
On considère le sous-ensemble:

$E = {M (x, y, z) = (\begin{array}{ccc} x & - y & - y \\ 0 & z & 0 \\ y & x - z & x \end{array}) / (x, y, z) \in R^{3}}$
Première partie:
1- a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_{3} (I R, +, \times)$

b) Déterminer une base de $(E, +,×)$

2. a) Vérifier que:

\forall (x, y, z) \in I R^{3}, \forall (x^{'}, y^{'}, z^{'}) \in I R^{3}

;

M(x, y, z)×M\(x’,y’,z’)=M(xx’, yy’, zz’)

b) Montrer que

(E, +, \times)

est un anneau commutatif.

Deuxième partie:

On considère le sous-ensemble

F

E

des matrices de la forme

M (x, y, 0)

où

(x, y) \in I R ²

1. Montrer que

F

est un sous-groupe du groupe

(E, +)

2. On note l’application de ℂ’ vers

E

définie par:

∀(x, y)∈IR²; φ(x+i y)=M(x, y, 0)

a) Montrer que

φ

est un homomorphisme de

(ℂ^{'}, \times)

vers

(E, \times)

b) En déduire que:

(F, +, \times)

est un groupe commutatif.
(F’ désigne F-{O}).

c) Montrer que

(F, +, x)

est un corps commutatif dont on précisera P unité.

3-a) Vérifier que: ∀ M(x, y, 0)∈F:

(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

×M(x, y, 0)=0.

b) En déduire qu’aucun des éléments du sous-ensemble

F

n’admet un inverse pour la multiplication dans

M_{3} (I R)

Exercice 3: (3.5 points/obligatoire)

I- Soit m un nombre réel non nul.

On considère dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation:

(E) : z^{2} + 2 z + 1 + m^{2} = 0

(F) : z^{3} + 2 (1 - i) z^{2} + (1 + m^{2} - 4 i) z - 2 i (1 + m^{2}) = 0

1- Résoudre dans ℂ l ‘équation:

(E)

2- a) Montrer que l’équation (

F

) admet une solution imaginaire pure

que l’on déterminera.

b) Résoudre dans ℂ l’équation

(F)

II- Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct

(O : \vec{u}, \vec{v})

On considère les deux points:

A (- 1 + i m)

B (- 1 - i m)

Soient ᘯ le milieu du segment [AB], A’ le milieu du segment [OB]

et B’ le milieu du segment [OA].

La rotation de centre ᘯ et d’angle

(- \frac{π}{2})

transforme A en P(p),

La rotation de centre A’ et d’angle

(- \frac{π}{2})

transforme B en Q(q)

et La rotation de centre B’ et d’angle

(- \frac{π}{2})

transforme O en R(r)

1-Montrer que:

p = - 1 + m

q = \frac{1 - i}{2} (- 1 - i m)

r = \bar{q}

2-a) Vérifier que:

q - r = - i p

b) En déduire que: OP=QR et que les deux droites (OP) et (Q R) sont orthogonales.

Exercice 4: (13 points/obligatoire)

Première partie:

On considère la fonction

f

définie sur l’intervalle I=[0.1] par:

f(x)=xln (2-x) et soit

(C)

sa courbe représentative

dans un repère orthonormé

(0; \vec{i}, \vec{j})

1-a) Montrer que

f

est dérivable sur I et que:

∀x∈I:

f ‘ (x) = \ln (2 - x) - \frac{x}{2 - x}

b) Montrer que la fonction dérivée

f ‘

est strictement décroissante sur I.

c) Montrer qu’il existe un unique réel α ∈] 0.1[ tel que : f ‘(α)=0

et que

f (α) = \frac{α^{2}}{2 - α}

2-a) Etudier les variations de

f

, puis donner son tableau de variations.

b) Montrer que la courbe

(C)

est concave.

c) Montrer que:

(∀ t∈I),(∀ x∈I): f(x)≤f ‘(t)(x-t)+f(t).

d) En déduire que (∀ x∈I); f(x)≤x ln2 et \f(x)≤-x+1.

3- Représenter la courbe (C) (On prendra: ||i||=2cm).

4- Calculer, en cm², l’aire du domaine plan limite par la courbe (C)

et les droites d’équations respectives: x=0, x=1 et y=0.

Deuxième partie:

Soit n un entier nature supérieur ou égal a 2.

On considère la fonction

f_{n}

définie sur I=[0,1] par:

f_{n} (x) = x^{n} l n (2 - x)

1-a) Vérifier que

f_{n}

est positive sur I et que

f_{n} (0) = f_{n} (1)

b) Montrer qu’il existe au moins

α, \in] 0, 1 [t e l q u e : f_{n} ‘ (α_{n}) = 0.

2-a) Montrer que

f

, est dérivable sur I

et que:

\forall x \in I : f ‘_{n} (x) = x^{n - 1} g_{n} (x)

où:

g_{n} (x) = n l n (2 - x) - \frac{x}{2 - x}

b) Montrer que la fonction

g_{n}

est strictement décroissante sur I.

c) En déduire que

α_{n}

est unique.

3- On considère la suite

(α_{n})_{n \geq 2}

ainsi définie.

a) Montrer que:

∀n≥2;

f_{n} (α_{n}) = \frac{1}{n} \times \frac{α_{n}^{n + 1}}{2 - α_{n}}

en déduire que:

lim_{n ⟶ + \infty} f_{n} (α_{n}) = 0

b) Montrer que ∀ n≥2:

g_{n} (α_{n + 1}) = - l n (2 - α_{n + 1})

en déduire que la suite

(α_{n})_{n \geq 2}

est strictement croissante.

C) Montrer que la suite

α_{n})_{n \geq 2}

est convergente.

d) Montrer que

lim_{n ⟶ + \infty} α_{n} = 1

Troisième partie:

Pour tout entier naturel

n \geq 2,

on pose:

I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x

1-Montrer que la suite

(I_{n})_{n \geq 2}

est décroissante en déduire qu’elle est convergente.

2 – En utilisant une intégration par parties,

montrer que:

I_{n} = \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n + 1}}{2 - x} d x

3- Montrer que :

(\forall n \geq 2); 0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1},

en deduire que

lim_{n ⟶ + \infty} I_{n} = 0

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