Examen Math Bac 2 Science Math 2020 Rattrapage
Avec Correction
La durée de l’épreuve est de 4 heures.
L’épreuve est composée de quatre exercices indépendants entre eux.
Le candidat doit traiter Exercice 3 et Exercice 4
et choisir de traiter Exercice 1 ou bien 2.
Exercice 1 qui concerne l’arithmétique (au choix). …3.5 points.
Exercice 2 qui concerne les structures algébriques (au choix)…3.5 points.
Exercice 3 qui concerne les nombres complexes (obligatoire) … 3.5 points.
Exercice 4 qui concerne l’analyse (obligatoire) 13 points.
Exercice 1 : (3.5 polnts/au cholx)
Soient p et q deux nombres premiers vérifiant:
p<q et (9^{p+q-1}≡ 1[pq]).
1-a) Montrer que p et 9 sont premiers entre eux.
b) En déduire que: (9^{p-1} ≡ 1[p]).
et que (9^{q} ≡ 1[p]).
2-a) Montrer que (p-1) et q sont premiers entre eux.
b) En utilisant le théorème de B E Z O U T, montrer que : p=2.
3-a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que: (9^{q-1} ≡ 1[q]).
Exercice 2: (3.5 points/au choix)
On note (M_{3}(R)) l’ensemble des matrices d’ordre 3 a coefficients réels.
On rappelle que (M_{3}(IR, +,×)) est un espace vectoriel réel de dimension 9.
et que (M_{3}(IR, +,×)) est un anneau non commutatif
unitaire de zéro (O=left(begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0end{array}right)) et d’unité (I=left(begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1end{array}right))
On considère le sous-ensemble:
(quad E=left{M(x, y, z)=left(begin{array}{ccc}x & -y & -y \ 0 & z & 0 \ y & x-z & xend{array}right) /(x, y, z) in mathbb{R}^{3}right})
Première partie:
1- a) Montrer que (E) est un sous-espace vectoriel de (M_{3}(IR, +,×))
b) Déterminer une base de ((E, +,×))
2. a) Vérifier que:
(∀(x, y, z)∈IR^{3},; ∀(x’,y’,z’)∈IR^{3});
M(x, y, z)×M(x’,y’,z’)=M(xx’, yy’, zz’)
b) Montrer que ((E,+,×)) est un anneau commutatif.
Deuxième partie:
On considère le sous-ensemble (F) de (E)
des matrices de la forme (M(x,y,0)) où ((x, y)∈IR²)
1. Montrer que (F) est un sous-groupe du groupe ((E,+))
2. On note l’application de ℂ’ vers (E) définie par:
∀(x, y)∈IR²; φ(x+i y)=M(x, y, 0)
a) Montrer que (φ) est un homomorphisme de ((ℂ’,×)) vers ((E,×)).
b) En déduire que:
((F,+,×)) est un groupe commutatif.
(F’ désigne F-{O}).
c) Montrer que ((F,+, x)) est un corps commutatif dont on précisera P unité.
3-a) Vérifier que: ∀ M(x, y, 0)∈F:
(left(begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0end{array}right))×M(x, y, 0)=0.
b) En déduire qu’aucun des éléments du sous-ensemble (F)
n’admet un inverse pour la multiplication dans (M_{3}(IR)).
Exercice 3: (3.5 points/obligatoire)
I- Soit m un nombre réel non nul.
On considère dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation:
((E): z^{2}+2z+1+m^{2}=0)
et ((F): z^{3}+2(1-i) z^{2}+(1+m^{2}-4 i)z-2 i(1+m^{2})=0)
1- Résoudre dans ℂ l ‘équation: ((E))
2- a) Montrer que l’équation ( (F) ) admet une solution imaginaire pure
que l’on déterminera.
b) Résoudre dans ℂ l’équation ((F))
II- Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct ((O: vec{u}, vec{v}))
On considère les deux points: (A(-1+i m)) et (B(-1-i m))
Soient ᘯ le milieu du segment [AB], A’ le milieu du segment [OB]
et B’ le milieu du segment [OA].
La rotation de centre ᘯ et d’angle ((-frac{pi}{2})) transforme A en P(p),
La rotation de centre A’ et d’angle ((-frac{pi}{2})) transforme B en Q(q)
et La rotation de centre B’ et d’angle ((-frac{pi}{2})) transforme O en R(r)
1-Montrer que: (p=-1+m), (q=frac{1-i}{2}(-1-i m)) et (r=bar{q})
2-a) Vérifier que: (q-r=-ip).
b) En déduire que: OP=QR et que les deux droites (OP) et (Q R) sont orthogonales.
Exercice 4: (13 points/obligatoire)
Première partie:
On considère la fonction (f) définie sur l’intervalle I=[0.1] par:
f(x)=xln (2-x) et soit ((C)) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((0;vec{i},vec{j})).
1-a) Montrer que (f) est dérivable sur I et que:
∀x∈I: (f ‘(x)=ln (2-x)-frac{x}{2-x})
b) Montrer que la fonction dérivée (f ‘) est strictement décroissante sur I.
c) Montrer qu’il existe un unique réel α ∈] 0.1[ tel que : f ‘(α)=0
et que (f(α)=frac{α^{2}}{2-α})
2-a) Etudier les variations de (f), puis donner son tableau de variations.
b) Montrer que la courbe ((C)) est concave.
c) Montrer que:
(∀ t∈I),(∀ x∈I): f(x)≤f ‘(t)(x-t)+f(t).
d) En déduire que (∀ x∈I); f(x)≤x ln2 et f(x)≤-x+1.
3- Représenter la courbe (C) (On prendra: ||i||=2cm).
4- Calculer, en cm², l’aire du domaine plan limite par la courbe (C)
et les droites d’équations respectives: x=0, x=1 et y=0.
Deuxième partie:
Soit n un entier nature supérieur ou égal a 2.
On considère la fonction (f_{n}) définie sur I=[0,1] par:
(f_{n}(x)=x^{n}ln (2-x))
1-a) Vérifier que (f_{n}) est positive sur I et que (f_{n}(0)=f_{n}(1))
b) Montrer qu’il existe au moins (α, in]0,1[tel que: f_{n} ‘ (α_{n})=0.)
2-a) Montrer que (f), est dérivable sur I
et que: (∀ x∈I: ; f ‘_{n}(x)=x^{n-1} g_{n}(x))
où: (g_{n}(x)=nln(2-x)-frac{x}{2-x})
b) Montrer que la fonction (g_{n}) est strictement décroissante sur I.
c) En déduire que (α_{n}) est unique.
3- On considère la suite ((α_{n})_{n≥2}) ainsi définie.
a) Montrer que:
∀n≥2;(f_{n}(α_{n})=frac{1}{n}×frac{α_{n}^{n+1}}{2-α_{n}})
en déduire que: (lim _{n⟶+∞} f_{n}(α_{n})=0)
b) Montrer que ∀ n≥2: ( g_{n}(α_{n+1})=-ln(2-α_{n+1})),
en déduire que la suite ((α_{n})_{n≥2})
est strictement croissante.
C) Montrer que la suite (α_{n})_{n≥2}) est convergente.
d) Montrer que (lim_{n⟶+∞} α_{n}=1)
Troisième partie:
Pour tout entier naturel (n≥2,) on pose: (quad I_{n}=int_{0}^{1} f_{n}(x) d x)
1-Montrer que la suite ((I_{n})_{n ≥2}) est décroissante en déduire qu’elle est convergente.
2 – En utilisant une intégration par parties,
montrer que: (I_{n}=frac{1}{n+1} int_{0}^{1}frac{x^{n+1}}{2-x} dx)
3- Montrer que : ((∀ n≥2); 0≤I_{n}≤ frac{1}{n+1},)
en deduire que (lim _{n⟶+∞} I_{n}=0).
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