Examen math Bac 2 SM 2020 Préparation 03

Examen math Bac 2 SM 2020 Pdf

Durée de l’épreuve 4h

L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :

* Nombres Complexes

* Structures Algébriques

* Suite Numérique

* Etude d’une fonction numérique

* Nombres Complexes (2019 R)

Soit α un nombre complexe non nul.

partie II

On considère dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation d’inconnue z :

(E_{α}) : z ² - i α \sqrt{3} z - α ² = 0

1-a- Vérifier que le discriminant de

(E_{α})

est Δ=α²

b- Résoudre dans ℂ l’équation

(E_{α})

2- Sachant que

α = | α | e^{i λ}

(λ∊IR )

mettre les deux racines de l’équation

(E_{α})

sous la forme exponentielle.

partie II

On suppose que le plan complexe est rapporté

à un repère orthonormé direct

(O; \vec{u}, \vec{v})

On considère les points

Ω, M_{1}

M_{2}

d’affixes respectivement

α, z_{1} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2} α

z_{2} = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} α

et soit

R

la rotation de centre O et d’angle

\frac{π}{3}

1-a-Montrer que:

R (Ω) = M_{1}

et que

R (M_{1}) = M_{2}

b- En déduire que:

les deux triangles

O Ω M_{1})

O M_{1} M_{2})

sont équilatéraux.

2-a- Vérifier que :

z_{1} - z_{2} = α

b- Montrer que Les deux droites

(Ω M_{2})

(O M_{1})

sont orthogonales.

c- En déduire que

O Ω M_{1} M_{2}

est un losange

3- Montrer que pour tout réel θ le nombre:

Z = \frac{z_{2} - α}{z_{1} - α} \div \frac{z_{2} - | α | e^{i θ}}{z_{1} - | α | e^{i θ}}

est un réel.

* Structures Algébriques (2019 R)

On considère l’ espace vectoriel de dimension 2 noté

(V_{2}, +, .)

Soit

(\vec{i}, \vec{j})

une base de

V_{2}

On pose:

{\vec{e}}_{1} = \frac{1}{2} \vec{i} + \frac{1}{2} \vec{j}

\vec{e_{2}} = \frac{1}{2} \vec{i} - \frac{1}{2} \vec{j}

Soit * la loi de composition interne définie par: ∀(x,y,x’,y’)∊

R^{4}

(x \vec{i} + y \vec{j}) * (x^{'} \vec{i} + y^{'} \vec{j}) = (x x^{'} + y y^{'}) \vec{i} + (x y^{'} + y x^{'}) \vec{j}

1-a- Montrer que

(\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})

est une base de

V_{2}

b-Vérifier que :

\vec{e_{1}} * \vec{e_{1}} = \vec{e_{1}}

\vec{e_{2}} * \vec{e_{2}} = \vec{e_{2}}

\vec{e_{1}} * \vec{e_{2}} = \vec{e_{2}} * \vec{e_{1}} = \vec{0}

c- Montrer que ∀(X,X’,Y,Y’)∈

R^{4}

(X \vec{e_{1}} + Y \vec{e_{2}}) * (X^{'} \vec{e_{1}} + Y^{'} \vec{e_{2}}) = X X^{'} \vec{e_{1}} + Y Y^{'} \vec{e_{2}}

-a- Montrer que la loi * est commutative.

b- Montrer que la loi * est associative.

c- Montrer que la loi * admet un élément neutre.

d- Montrer que

(V_{2}, +, *)

est un anneau commutatif unitaire.

– Soit

\vec{u} \in V_{2} - {\vec{0}} .

On note:

E_{u} = {λ \vec{u} / λ ∊ R}

a- Montrer que:

(E_{\vec{u}}, +)

est un sous-groupe du groupe

(V_{2}, +)

b- Montrer que:

(E_{u}, +, .)

est un sous-espace vectoriel de l’espace

(V_{2}, +, .)

c- Montrer que:

E_{\vec{n}}

stable pour *⇔ la famille

(\vec{u} * \vec{u}, \vec{u})

est liée

– On suppose que : (∃α∈IR*)

\vec{u} * \vec{u} = α \vec{u}

On considère l’application φ

I R * ⟶ E_{\vec{u}}

x \mapsto \frac{x}{α} \vec{u}

a- Montrer que:

φ est un isomorphisme de

(R *, \times)

vers

(E_{\vec{u}}, *)

b- En déduire que

(E_{u}, +, *)

est un corps commutatif.

* Suite Numérique

Soit

f

la fonction définie sur

[0, + \infty [p a r : f (x) = (x + 1) e^{- \frac{x}{2}}

1) a) étudier la branche infinie de

(C)

au voisinage de

+ \infty

b) étudier le sens de variation de

f

et donner son tableau de variation

2) étudier la concavité de

(C)

puis tracer la courbe

3) montrer que ∀ x∊[0,+∞[ :

f ‘ (x) \leq \frac{1}{2}

4) montrer que l’équation f(x)=x admet une seule solution α et que 1<α <2

5) on considère la suite

(U_{n})_{n}

définie par:

U_{0} = 0

U_{n + 1} = f (U_{n})

a) montrer que ∀ n∊IN:

0 \leq U_{n} < 2

b) montrer que ∀ n∊IN:

| U_{n + 1} - α | \leq \frac{1}{2} | U_{n} - α |

c) déduire que

(U_{n}

\) est convergente et

lim_{n ⟶ + \infty} U_{n} = α

* Analyse Fonction Logarithme (2019 R)

Partie I:

On considère la fonction g définie sur I=]-1,+∞[ par:

g(x)=1+x²-2x(1+x)ln(1+x).

1- a- Montrer que :

lim_{x ⟶ - 1^{+}} g (x) = 2

b- Montrer que :

lim_{x ⟶ + \infty} g (x) = - \infty

2- Montrer que

g

est dérivable sur I et que

(∀x∊I); g'(x)=-2(1+2 x)ln(1+x)

3- On donne le tableau de variations de

g

a-Montrer qu’il existe un réel strictement positif α unique tel que : g(α)=0

b- Vérifier que : α<1 (On prendra :ln 2=0.7)

c- En déduire que ∀x∈]-1,α[: 0<g(x)

et que: ∀x∈]α,+∞[ g(x)<0

Partie II :

On considère la fonction f définie sur I=]-1,+∞[ par:

f (x) = \frac{\ln (1 + x)}{1 + x ²} .

Soit (C) sa courbe représentative

dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1-a- Calculer

lim_{x ⟶ - 1^{+}} f (x)

puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

b- Calculer

lim_{x ⟶ + \infty} f (x)

puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2- a- Montrer que

f

est dérivable sur I

et que ∀x∈I:

f ‘ (x) = \frac{g (x)}{(1 + x) (1 + x ²) ²}

b- Donner le sens de variation de

f

sur I

c- Vérifier que :

f (α) = \frac{1}{2 α (1 + α)}

et que ∀x∈I:

f (x) \leq \frac{1}{2 α (1 + α)}

3-a- Donner l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0

b- Montrer que ∀x>0: ln(1+x)<x

c- En déduire que ∀ x>0: f(x)<x

d- Représenter graphiquement (T) et (C)

(On prendra: α=0.8 et

| | \vec{i} | | = | | \vec{j} | | = 2 c m)

Partie III :

On pose

J = \int_{0}^{1} f (x) d x

1-a-En utilisant le changement de variable:

t = \frac{1 - x}{1 + x}

montrer que:

J = \frac{π}{8} l n 2

b- Déterminer, en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe (C),

la tangente (T), la droite d’équation x=0 et la droite d’équation x=1

2- En utilisant la méthode d’intégration par parties, calculer :

K = \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x} d x

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