Examen math Bac 2 SM 2020 Pdf
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Nombres Complexes
* Structures Algébriques
* Suite Numérique
* Etude d’une fonction numérique
* Nombres Complexes (2019 R)
Soit α un nombre complexe non nul.
partie II
On considère dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation d’inconnue z :
\((E_{α}): z²-iα\sqrt{3}z-α²=0\)
1-a- Vérifier que le discriminant de \((E_{α})\) est Δ=α²
b- Résoudre dans ℂ l’équation \((E_{α})\)
2- Sachant que \(α=|α| e^{iλ}\)(λ∊IR )
mettre les deux racines de l’équation \((E_{α})\) sous la forme exponentielle.
partie II
On suppose que le plan complexe est rapporté
à un repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\)
On considère les points \(Ω, M_{1}\) et \(M_{2}\) d’affixes respectivement
\(α, z_{1}=\frac{1+i \sqrt{3}}{2}α\) et \(z_{2}=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}α\)
et soit \(R\) la rotation de centre O et d’angle \(\frac{π}{3}\)
1-a-Montrer que:
\(R(Ω)=M_{1}\) et que \(R(M_{1})=M_{2}\)
b- En déduire que:
les deux triangles \(OΩM_{1})\) et \(OM_{1}M_{2})\) sont équilatéraux.
2-a- Vérifier que : \(z_{1}-z_{2}=α\)
b- Montrer que Les deux droites \((ΩM_{2})\) et \((OM_{1})\) sont orthogonales.
c- En déduire que \(OΩM_{1}M_{2}\) est un losange
3- Montrer que pour tout réel θ le nombre:
\(Z=\frac{z_{2}-α}{z_{1}-α}÷\frac{z_{2}-|α| e^{iθ}}{z_{1}-|α| e^{i θ}}\) est un réel.
* Structures Algébriques (2019 R)
On considère l’ espace vectoriel de dimension 2 noté \((V_{2},+, .)\)
Soit \((\vec{i}, \vec{j})\) une base de \(V_{2}\) On pose:
\(\vec{e}_{1}=\frac{1}{2} \vec{i}+\frac{1}{2} \vec{j}\)
et \(\vec{e_{2}}=\frac{1}{2} \vec{i}-\frac{1}{2} \vec{j}\)
Soit * la loi de composition interne définie par: ∀(x,y,x’,y’)∊\(R^{4}\)
\((x\vec{i}+y\vec{j})*(x’\vec{i}+y’\vec{j})=(xx’+yy’) \vec{i}+(xy’+yx’) \vec{j}\)
1-a- Montrer que \((\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})\) est une base de \(V_{2}\)
b-Vérifier que : \(\vec{e_{1}}*\vec{e_{1}}=\vec{e_{1}} \)
\(\vec{e_{2}}*\vec{e_{2}}=\vec{e_{2}}\)
et \(\vec{e_{1}}*\vec{e_{2}}=\vec{e_{2}}*\vec{e_{1}}=\vec{0}\)
c- Montrer que ∀(X,X’,Y,Y’)∈\(R^{4}\):
\((X \vec{e_{1}}+Y \vec{e_{2}})*(X’ \vec{e_{1}}+Y’\vec{e_{2}})=XX’ \vec{e_{1}}+Y Y’\vec{e_{2}}\)
-a- Montrer que la loi * est commutative.
b- Montrer que la loi * est associative.
c- Montrer que la loi * admet un élément neutre.
d- Montrer que \((V_{2},+, *)\) est un anneau commutatif unitaire.
– Soit \(\vec{u} \in V_{2}-\{\vec{0}\} .\)
On note: \(E_{u}=\{λ\vec{u}/λ∊R \}\)
a- Montrer que:
\((E_{\vec{u}},+)\) est un sous-groupe du groupe \((V_{2},+)\)
b- Montrer que:
\((E_{u},+, .)\) est un sous-espace vectoriel de l’espace \((V_{2},+, .)\)
c- Montrer que:
\(E_{\vec{n}}\) stable pour *⇔ la famille \((\vec{u} * \vec{u}, \vec{u})\) est liée
– On suppose que : (∃α∈IR*) \(\vec{u} * \vec{u}=α\vec{u}\)
On considère l’application φ \(IR*⟶E_{\vec{u}}\):
\(x↦\frac{x}{α}\vec{u}\)
a- Montrer que:
φ est un isomorphisme de \(( R*,×)\) vers \((E_{\vec{u}},*)\)
b- En déduire que \((E_{u},+, *)\) est un corps commutatif.
* Suite Numérique
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,+∞[par: f(x)=(x+1) e^{-\frac{x}{2}}\)
1) a) étudier la branche infinie de \((C)\) au voisinage de \(+∞\)
b) étudier le sens de variation de \(f\) et donner son tableau de variation
2) étudier la concavité de \((C)\) puis tracer la courbe
3) montrer que ∀ x∊[0,+∞[ : \(f ‘(x)≤\frac{1}{2}\)
4) montrer que l’équation f(x)=x admet une seule solution α et que 1<α <2
5) on considère la suite \((U_{n})_{n}\) définie par:
\(U_{0}=0\) et \(U_{n+1}=f(U_{n})\)
a) montrer que ∀ n∊IN: \(0 ≤ U_{n}<2\)
b) montrer que ∀ n∊IN: \(|U_{n+1}-α|≤\frac{1}{2}|U_{n}-α|\)
c) déduire que \((U_{n}\)\) est convergente et \(\lim _{n⟶+∞} U_{n}=α\).
* Analyse Fonction Logarithme (2019 R)
Partie I:
On considère la fonction g définie sur I=]-1,+∞[ par:
g(x)=1+x²-2x(1+x)ln(1+x).
1- a- Montrer que : \(\lim _{x⟶-1^{+}} g(x)=2\)
b- Montrer que : \(\lim _{x⟶+∞} g(x)=-∞\)
2- Montrer que \(g\) est dérivable sur I et que
(∀x∊I); g'(x)=-2(1+2 x)ln(1+x)
3- On donne le tableau de variations de \(g\) :
a-Montrer qu’il existe un réel strictement positif α unique tel que : g(α)=0
b- Vérifier que : α<1 (On prendra :ln 2=0.7)
c- En déduire que ∀x∈]-1,α[: 0<g(x)
et que: ∀x∈]α,+∞[ g(x)<0
Partie II :
On considère la fonction f définie sur I=]-1,+∞[ par:
\(f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x²}.\)
Soit (C) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1-a- Calculer \(\lim _{x⟶-1^{+}} f(x)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Calculer \(\lim _{x⟶+∞} f(x) \)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2- a- Montrer que \(f\) est dérivable sur I
et que ∀x∈I: \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{(1+x)(1+x²)²}\)
b- Donner le sens de variation de \(f\) sur I
c- Vérifier que : \(f(α)=\frac{1}{2α(1+α)}\)
et que ∀x∈I: \(f(x) ≤ \frac{1}{2α(1+α)}\)
3-a- Donner l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0
b- Montrer que ∀x>0: ln(1+x)<x
c- En déduire que ∀ x>0: f(x)<x
d- Représenter graphiquement (T) et (C)
(On prendra: α=0.8 et \(||\vec{i}||=||\vec{j}||=2 c m)\)
Partie III :
On pose \(J=\int_{0}^{1}f(x)dx\)
1-a-En utilisant le changement de variable: \(t=\frac{1-x}{1+x}\)
montrer que: \(J=\frac{π}{8}ln2\)
b- Déterminer, en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe (C),
la tangente (T), la droite d’équation x=0 et la droite d’équation x=1
2- En utilisant la méthode d’intégration par parties, calculer :
\(K=\int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1+x}d x\)
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Examen Math bac 2 SM 2020 Préparation 03