Examen Bac 2 SM PDF Math 2019 Normal Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Arithmétique (3 points )
* Analyse (10 points )
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Arithmétique (3 points )
* Analyse (10 points )
* Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que ( C ,+,×) est un corps commutatif
et que \((M_{2}( R ),+,×)\) est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle \(O=(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array})\)
et d’unité la matrice \(I=(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array})\)
Soit * la loi de composition interne définie sur C par:
(∀(x, y)∈R²) (∀(a, b)∈R²):
\((x+y i)*(a+b i)=x a+(x^{2} b+a² y)i\)
1-a) Montrer que la loi * est commutative sur C
b) Montrer que la loi * est associative sur C
c) Montrer que:
la loi * admet un élément neutre e que l’on déterminera.
d) Soit(x, y)∊\(R^{*}×R .\) Montrer que:
le nombre complexe x+y i admet le nombre complexe
\(\frac{1}{x}-\frac{y}{x^{4}} i\) comme symétrique pour la loi *
2- On considère le sous-ensemble E de C défini par :
\(E=\{x+y i / x∊R _{+}^{*} ; y∊IR \}\)
a) Montrer que E est stable pour la loi * dans C
b) Montrer que (E*) est un groupe commutatif.
3 -On considère le sous-ensemble G de E défini par:
\( G=\{1+y i / y∊R \}\)
Montrer que G est un sous-groupe de (E,*)
4-On considère l’ensemble
\(F=\{M(x, y)=(\begin{array}{cc}x & y \\ 0 & x\end{array}) / x∊R _{+}^{*} ; y∊R\}\)
a) Montrer que F est stable pour la loi × dans \(M_{2}(R)\)
b) Soit \(φ\) l’application de E vers F
qui à tout nombre complexe x+yi de E fait correspondre
la matrice M (x²,y)=(\(\begin{array}{cc}x² & y \\ 0 & x²\end{array})\) de F
Montrer que φ est un isomorphisme de (E, *) vers (F,×)
c) En déduire que (F,×) est un groupe commutatif.
* Nombres Complexes (3.5 points )
Soit m un nombre complexe non réel (m∈C-R )
I- On considère dans C, l’équation d’inconnue z définie par:
(E): z²-(1+i)(1+m)z+2im=0
1-a) Montrer que le discriminant de l’équation (E) est non nul.
b) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2},\) les deux solutions de l’équation (E)
2- On suppose dans cette question que \(m=e^{iθ}\) avec 0<θ<π
a) Déterminer le module et un argument de \(z_{1}+z_{2}\)
b) Montrer que si \(z_{1} z_{2}∈R\) alors \(z_{1}+z_{2}=2 i\)
II- Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\)On considère les points suivants:
A le point d’affixe a=1+i , B le point d’affixe b=(1+i)m,
C le point d’affixe c=1-i, D l’image du point B par la rotation de centre O
et d’angle \(\frac{π}{2}\) et Ω le milieu du segment [CD]
1- a) Montrer que:
l’affixe du point Ω est \(Ω=\frac{(1-i)(1-m)}{2}\)
b) Calculer \(\frac{b-a}{Ω}\)
c) En déduire que (OΩ)⊥(AB) et que AB=2 OΩ
2- La droite (OΩ) coupe la droite (AB) au point H d’affixe h
a) Montrer que:
\(\frac{h-a}{b-a}\) est un réel et que \(\frac{h}{b-a}\) est un imaginaire pur.
b) En déduire h en fonction de m
* Arithmétique (3 points )
On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient n et m deux entiers naturels vérifiant : \(n^{8}+m^{8}=0[2969]\)
1- On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n
a) En utilisant le théorème de BEZOUT, montrer que :
\((∃u∊Z ) ; u×n≡1[2969]\)
b) En déduire que :
\((u×m)^{8}≡-1[2969]\) et que \((u×m)^{2968}≡-1[2969]\)
(On remarque que : \(2968=8×371\) )
c) Montrer que 2969 ne divise pas u×m
d) En déduire qu’on a aussi \((u×m)^{2968}≡1[2969]\)
2-a) En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise n
b) Montrer que : \(\quad n^{8}+m^{8}≡ 0[2969]⇔ n≡0[2969]\) et \(m≡ 0[2969]\)
* Analyse (10 points )
PARTIE I :
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=4x(e^{-x}+\frac{1}{2} x-1)\)
et on note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\)
1- Calculer \(\lim_{x➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
2- a) Montrer que f est dérivable sur IR et que :
∀x∊R: \(f'(x)=4(e^{-x}-1)(1-x)\)
b) Etudier les variations de \(f\) sur IR
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique réel α dans l’intervalle \(]\frac{3}{2},2[\)
tel que f(α)=0 \((On prendra e^{\frac{3}{2}}=4,5)\)
d) Vérifier que : \(e^{-α}=1-\frac{α}{2}\)
3-a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction \(f ‘\)
montrer qu’il existe un réel \(x_{0}\) de l’intervalle \(]0,1[tel que: f « (x_{0})=0\)
b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction \(f « \)
montrer que, pour tout réel x différent de \(x_{0}\) de l’intervalle [0,1]
on a: \(\frac{f « (x)}{x-x_{0}}>0\)
c) En déduire que:
\(I(x_{0},f(x_{0}))\) est un point d’inflexion de la courbe (C)
4-a) Etudier les branches infinies de la courbe (C)
b) Représenter graphiquement la courbe (\(C\) ) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\)
(On prendra: \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1cm , f(1)=-0.5\)
et il n’est pas demandé de représenter le point \(I\) )
5-a) Vérifier que ∀ x∊]-∞,α]: f(x)≤ 0
b) Montrer que:
\(\int_{0}^{α} f(x) d x=\frac{2}{3} α(α^{2}-3)\)
en déduire que : \(\frac{3}{2}<α≤\sqrt{3}\)
c) Calculer en fonction de α en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C)\) ) et les
droites d’équations respectives : y=0,x=0 et x=α
PARTIE II :
On considère la suite numérique \((u_{n})_{n∊IN}\) définie par:
\(u_{0}<α\) et ∀∊IN: \(u_{n+1}=f(u_{n})+u_{n}\)
1-a) Montrer par récurrence que ∀∊IN: \(u_{n}<α\)
(utiliser la question 5-a) de la PARTIE I )
b) Montrer que la suite \((u_{n})_{n∊IN}\) est décroissante.
2- On suppose que \(0 ≤ u_{0}\) et on pose ∀∊IR:
\(g(x)=e^{-x}+\frac{1}{2} x-\frac{3}{4}\)
a) Montrer que ∀∊IR: g(x)>0 (On prendra ln 2=0.69)
b) En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que:
∀ n∊IN: \(0 ≤u_{n}\)
(On remarque que: f(x)+x=x g(x)
c) Montrer que la suite \((u_{n})_{n∊IN}\) est convergente.
d) Calculer \(\lim _{n➝+∞}u_{n}\)
\(3-\) On suppose que \(u_{0}<0\)
a) Montrer que ∀ n∊IN: \(u_{n+1}-u_{n} \leq f(u_{0})\)
b) Montrer que ∀ n∊IN: \(u_{n} \leq u_{0}+n f(u_{0})\)
c) En déduire \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
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Feuille de l’examen a obtenu 20/20
Examen Bac 2 SM PDF Math 2019 Normal Avec Correction
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2019 Normale :
