Examen Bac 2 SM PDF Math 2019 Normal Avec Correction

Examen Bac 2 SM PDF Math 2019 Normal Avec Correction

Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Arithmétique (3 points )
* Analyse  (10 points )

* Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que ( C ,+,×) est un corps commutatif
et que ((M_{2}( R ),+,×)) est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle (O=(begin{array}{ll}0 & 0 \ 0 & 0end{array}))
et d’unité la matrice (I=(begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1end{array}))
Soit * la loi de composition interne définie sur C par:
(∀(x, y)∈R²) (∀(a, b)∈R²):
((x+y i)*(a+b i)=x a+(x^{2} b+a² y)i)
1-a) Montrer que la loi * est commutative sur C
b) Montrer que la loi * est associative sur C
c) Montrer que:
la loi * admet un élément neutre e que l’on déterminera.
d) Soit(x, y)∊(R^{*}×R .) Montrer que:
le nombre complexe x+y i admet le nombre complexe
(frac{1}{x}-frac{y}{x^{4}} i) comme symétrique pour la loi *
2- On considère le sous-ensemble E de C défini par :
(E={x+y i / x∊R _{+}^{*} ; y∊IR })
a) Montrer que E est stable pour la loi * dans C
b) Montrer que (E*) est un groupe commutatif.
3 -On considère le sous-ensemble G de E défini par:
( G={1+y i / y∊R })
Montrer que G est un sous-groupe de (E,*)
4-On considère l’ensemble
(F={M(x, y)=(begin{array}{cc}x & y \ 0 & xend{array}) / x∊R _{+}^{*} ; y∊R})
a) Montrer que F est stable pour la loi × dans (M_{2}(R))
b) Soit (φ) l’application de E vers F
qui à tout nombre complexe x+yi de E fait correspondre
la matrice M (x²,y)=((begin{array}{cc}x² & y \ 0 & x²end{array})) de F
Montrer que φ  est un isomorphisme de (E, *) vers (F,×)
c) En déduire que (F,×) est un groupe commutatif.

* Nombres Complexes    (3.5 points )
Soit m un nombre complexe non réel (m∈C-R )
I- On considère dans C, l’équation d’inconnue z définie par:
(E): z²-(1+i)(1+m)z+2im=0
1-a) Montrer que le discriminant de l’équation (E) est non nul.
b) Déterminer (z_{1}) et (z_{2},) les deux solutions de l’équation (E)
2- On suppose dans cette question que (m=e^{iθ}) avec 0<θ<π
a) Déterminer le module et un argument de (z_{1}+z_{2})
b) Montrer que si (z_{1} z_{2}∈R) alors (z_{1}+z_{2}=2 i)
II- Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormé direct ((O ; vec{u}, vec{v}))On considère les points suivants:
A le point d’affixe a=1+i , B le point d’affixe b=(1+i)m,
C le point d’affixe c=1-i, D l’image du point B par la rotation de centre O
et d’angle (frac{π}{2}) et Ω le milieu du segment [CD]
1- a) Montrer que:
l’affixe du point Ω est (Ω=frac{(1-i)(1-m)}{2})
b) Calculer (frac{b-a}{Ω})
c) En déduire que (OΩ)⊥(AB) et que AB=2 OΩ
2- La droite (OΩ) coupe la droite (AB) au point H d’affixe h
a) Montrer que:
(frac{h-a}{b-a}) est un réel et que (frac{h}{b-a}) est un imaginaire pur.
b) En déduire h en fonction de m

* Arithmétique   (3 points )
On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient n et m deux entiers naturels vérifiant : (n^{8}+m^{8}=0[2969])
1- On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n
a) En utilisant le théorème de BEZOUT, montrer que :
((∃u∊Z ) ; u×n≡1[2969])
b) En déduire que :
((u×m)^{8}≡-1[2969]) et que ((u×m)^{2968}≡-1[2969])
(On remarque que : (2968=8×371) )
c) Montrer que 2969 ne divise pas u×m
d) En déduire qu’on a aussi ((u×m)^{2968}≡1[2969])
2-a) En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise n
b) Montrer que : (quad n^{8}+m^{8}≡ 0[2969]⇔ n≡0[2969]) et (m≡ 0[2969])

* Analyse (10 points )

PARTIE I :
On considère la fonction (f) définie sur IR par:
(f(x)=4x(e^{-x}+frac{1}{2} x-1))
et on note ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O,vec{i},vec{j}))
1- Calculer (lim_{x➝-∞} f(x)) et (lim _{x➝+∞} f(x))
2- a) Montrer que f est dérivable sur IR et que :
∀x∊R: (f'(x)=4(e^{-x}-1)(1-x))
b) Etudier les variations de (f) sur IR
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique réel α dans l’intervalle (]frac{3}{2},2[)
tel que f(α)=0 ((On prendra e^{frac{3}{2}}=4,5))
d) Vérifier que : (e^{-α}=1-frac{α}{2})
3-a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction (f ‘)
montrer qu’il existe un réel (x_{0}) de l’intervalle (]0,1[tel que: f « (x_{0})=0)
b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction (f « )
montrer que, pour tout réel x différent de (x_{0}) de l’intervalle [0,1]
on a: (frac{f « (x)}{x-x_{0}}>0)
c) En déduire que:
(I(x_{0},f(x_{0}))) est un point d’inflexion de la courbe (C)
4-a) Etudier les branches infinies de la courbe (C)
b) Représenter graphiquement la courbe ((C) ) dans le repère ((O,vec{i},vec{j}))
(On prendra: (|vec{i}|=|vec{j}|=1cm , f(1)=-0.5)
et il n’est pas demandé de représenter le point (I) )
5-a) Vérifier que ∀ x∊]-∞,α]: f(x)≤ 0
b) Montrer que:
(int_{0}^{α} f(x) d x=frac{2}{3} α(α^{2}-3))
en déduire que : (frac{3}{2}<α≤sqrt{3})
c) Calculer en fonction de α en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe ((C)) ) et les
droites d’équations respectives : y=0,x=0 et x=α

PARTIE II :
On considère la suite numérique ((u_{n})_{n∊IN}) définie par:
(u_{0}<α) et ∀∊IN: (u_{n+1}=f(u_{n})+u_{n})
1-a) Montrer par récurrence que ∀∊IN: (u_{n}<α)
(utiliser la question 5-a) de la PARTIE I )
b) Montrer que la suite ((u_{n})_{n∊IN}) est décroissante.
2- On suppose que (0 ≤ u_{0}) et on pose ∀∊IR:
(g(x)=e^{-x}+frac{1}{2} x-frac{3}{4})
a) Montrer que ∀∊IR: g(x)>0 (On prendra ln 2=0.69)
b) En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que:
∀ n∊IN: (0 ≤u_{n})
(On remarque que: f(x)+x=x g(x)
c) Montrer que la suite ((u_{n})_{n∊IN}) est convergente.
d) Calculer (lim _{n➝+∞}u_{n})
(3-) On suppose que (u_{0}<0)
a) Montrer que ∀ n∊IN: (u_{n+1}-u_{n} leq f(u_{0}))
b) Montrer que ∀ n∊IN: (u_{n} leq u_{0}+n f(u_{0}))
c) En déduire (lim _{n➝+∞} u_{n})

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