– La durée de l’épreuve est de 4 heures.
– L’épreuve comporte 4 exercices indépendants.
– Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
– L’exercice 1 se rapporte aux structures algébriques ………………..(3.5 pts)
– L’exercice 2 se rapporte aux nombres complexes …………………….(3.5 pts)
– L’exercice 3 se rapporte au calcul des probabilités …………………..(3 pts)
– L’exercice 4 se rapporte à l’analyse …………………………………………..(10 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
Exercice 1: (3.5 points)
On rappelle que \((M_{2}(IR),+,×)\) est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle O: \(O=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
d’unité la matrice I: \(I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\)
et que \((M_{2}(IR),+,×)\) est un espace vectoriel réel de dimension 4.
pour tout couple (x,y) de IR², on pose:
\(M(x,y)=\left(\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & x \end{array}\right)\)
On considère l’ensemble:
E={ M(x,y) / (x,y)∈IR² }
1- Montrer que:
\(E\) est un sous-groupe du groupe \((M_{2}(IR),+)\)
2- a) Montrer que:
\(E\) est un sous espace de l’espace vectoriel \((M_{2}(IR),+,×)\)
b) Montrer que l’espace vectoriel réel \((E,+, ×)\) est de dimension 2.
3-a) Montrer que \(E\) est stable pour la loi « \(×\) ».
b) Montrer que \((E,+;×)\) est un anneau commutatif.
4- On définit dans \(M_{2}(IR)\) la loi de composition interne \(T\) par:
pour tout ((x,y)∈IR²) ((x’,y’)∈IR²)
\(M(x,y) T M(x’,y’)= M(x,y)×M(x’,y’)-M(y,0)×M(y’,0)\)
Et soit φ application de \(\mathbb{C}^{*}\) « vers \(M_{2}(IR)\)
qui à tout nombre complexe \(x+i y\) (où \((x, y)∈IR²-(0,0)\) )
fait correspondre la matrice \(M(x, y)\) de \(E\)
a) Montrer que \(E\) est stable pour la loi « \(T\) »
b) Montrer que \(φ\) est un homomorphisme:
de (\(\mathbb{C}^{*},×\)) vers \((E, T)\)
c) On pose: \(E^{*} = E-\{O\}\).
Montrer que \((E^{*}, T)\) est un groupe commutatif.
5-a) Montrer que:
la loi \(T\) est distributive par rapport à la loi « \(+\) » dans \(E\)
b) Montrer que \((E,+, T)\) est un corps commutatif.
Exercice 2: (3.5 points)
1- Pour tout nombre complexe z ≠i on pose:
\(h(z)=i \frac{z-2i}{z-i}\)
a) Vérifier que:
\(h(z)=z ⇔ z^{2}-2i z-2=0\)
b) Résoudre dans \(E\) l’équation (E): \(z^{2}-2i z-2=0\)
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
\((O,\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})\).
On note \(a\) et \(b\) les deux solutions de 1’équation \((E)\)
tel que : Re (a)=1.
Et pour tout z de \(\mathbb{C}^{*}\)-{i, a, b} on note:
\(M(z), M'(h(z)), A(a)\) et \(B(b)\) les points
d’affixes respectivement \(z, h(z), a\) et \(b\)
a) Montrer que : \(\frac{h(z)-a}{h(z)-b}=-\frac{z-a}{z-b}\)
b) En déduire que:
\((\vec{M’B}, \vec{M’A})= π + (\vec{MB}, \vec{MA})[2π]\)
3-a) Montrer que:
si M,A et B sont alignés alors M, A, B,M’ sont alignés.
b) Montrer que:
si M,A et B ne sont pas alignés alors M, A, B et M’ sont
cocycliques.
Exercice 3: (3 points)
On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On désigne par \(X\) la variable aléatoire égale
à la fréquence d’apparition de la face «pile».
(le nombre de fois d’apparition de la face «pile» divisé par 10).
1-a) Déterminer les valeurs prise par \(X\)
b) Déterminer la probabilité de l’événement \([X=\frac{1}{2}]\)
2- Quelle est la probabilité de l’événement:
\(X\) supérieur ou égale à \(\frac{9}{10}\) ?
Exercice 4: (10 points)
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[ par :
\(f(x)=\sqrt{x}(ln x)^{2}\quad\) pour x>0 et f(0)=0
On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, i, j)\)
1-a) Montrer que \(f\) est continue à droite en 0
(On pourra remarquer que: \(f(x)=4(x^{\frac{1}{4}}ln x^{\frac{1}{4}})^{2}\))
2- a)Etudier la dérivabilité de \(f\) à droite en 0,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
b) Montrer que \(f\) est dérivable sur ] 0,+∞[
puis calculer f'(x) pour x>0.
c)Etudier les variations de \(f\) sur [0,+∞[,
en déduire que :
\((\forall x \in] 0,1]) \quad 0 \leq \sqrt{x}(\ln x)^{2} \leq\left(\frac{4}{e}\right)^{2}\)
d) Tracer la courbe \((C)\) dans un repère orthonormé.
(On prendra pour unité 2 cm²)
3- Pour tout réel \(x \geq 0,\) on pose \(F(x)=\int_{x}^{1} f(t) d t\)
a) Montrer que:
la fonction \(F\) est dérivable sur l’intervalle [0,+∞[
b) Calculer \(F'(x)\) pour \(x \geq 0,\)
en déduire le sens de variation de \(F\) sur [0,+∞[
4- a) En utilisant la méthode d’intégration par parties,
calculer \(\int_{x}^{1} \sqrt{t} lnt . dt\) pour tout \(x>0\)
b) Montrer que pour \(x>0, F(x)=-\frac{2}{3} x \sqrt{x}(\ln x)^{2}+\frac{8}{9} x \sqrt{x} \ln x-\frac{16}{27} x \sqrt{x}+\frac{16}{27}\)
c) En déduire l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C)\)
et les droites d’équations respectives: \(x=0, x=1\) et \(y=0\)
5- Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose:
\(u_{n}=\int_{\frac{1}{n}}^{1} f(x) dx\)
a) Montrer que:
la suite \((u_{n})_{n \geq 1}\) est bornée et strictement monotone.
b) Montrer que la suite \((u_{n})_{n \geq 1}\) est convergente
puis calculer \(\lim_{n➝+∞}u_{n}\)
Autre Examen National Mathématiques Sciences Maths:
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2018 Rattrapage :
