Examen Math Bac 2 Science Math 2018 Rattrapage

– La durée de l’épreuve est de 4 heures.
– L’épreuve comporte 4 exercices indépendants.
– Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
– L’exercice 1 se rapporte aux structures algébriques ………………..(3.5 pts)
– L’exercice 2 se rapporte aux nombres complexes …………………….(3.5 pts)
– L’exercice 3 se rapporte au calcul des probabilités …………………..(3 pts)
– L’exercice 4 se rapporte à l’analyse …………………………………………..(10 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé

Exercice 1: (3.5 points)

On rappelle que $(M_{2} (I R), +, \times)$ est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle O: $O = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$
d’unité la matrice I: $I = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$
et que $(M_{2} (I R), +, \times)$ est un espace vectoriel réel de dimension 4.
pour tout couple (x,y) de IR², on pose:
$M (x, y) = (\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & x \end{array})$
On considère l’ensemble:
E={ M(x,y) / (x,y)∈IR² }
1- Montrer que:
$E$ est un sous-groupe du groupe $(M_{2} (I R), +)$

2- a) Montrer que:
$E$ est un sous espace de l’espace vectoriel $(M_{2} (I R), +, \times)$
b) Montrer que l’espace vectoriel réel $(E, +, \times)$ est de dimension 2.
3-a) Montrer que $E$ est stable pour la loi « $\times$ ».
b) Montrer que $(E, +; \times)$ est un anneau commutatif.
4- On définit dans $M_{2} (I R)$ la loi de composition interne $T$ par:
pour tout ((x,y)∈IR²) ((x’,y’)∈IR²)
$M (x, y) T M (x^{'}, y^{'}) = M (x, y) \times M (x^{'}, y^{'}) - M (y, 0) \times M (y^{'}, 0)$
Et soit φ application de $C^{*}$ « vers $M_{2} (I R)$
qui à tout nombre complexe $x + i y$ (où $(x, y) \in I R ² - (0, 0)$ )
fait correspondre la matrice $M (x, y)$ de $E$
a) Montrer que $E$ est stable pour la loi « $T$ »
b) Montrer que $φ$ est un homomorphisme:
de ( $C^{*}, \times$ ) vers $(E, T)$
c) On pose: $E^{*} = E - {O}$ .
Montrer que $(E^{*}, T)$ est un groupe commutatif.
5-a) Montrer que:
la loi $T$ est distributive par rapport à la loi « $+$ » dans $E$
b) Montrer que $(E, +, T)$ est un corps commutatif.

Exercice 2: (3.5 points)

1- Pour tout nombre complexe z ≠i on pose:
$h (z) = i \frac{z - 2 i}{z - i}$
a) Vérifier que:
$h (z) = z \Leftrightarrow z^{2} - 2 i z - 2 = 0$
b) Résoudre dans $E$ l’équation (E): $z^{2} - 2 i z - 2 = 0$
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
$(O, \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})$ .
On note $a$ et $b$ les deux solutions de 1’équation $(E)$
tel que : Re (a)=1.
Et pour tout z de $C^{*}$ -{i, a, b} on note:
$M (z), M^{'} (h (z)), A (a)$ et $B (b)$ les points
d’affixes respectivement $z, h (z), a$ et $b$
a) Montrer que : $\frac{h (z) - a}{h (z) - b} = - \frac{z - a}{z - b}$
b) En déduire que:
$(\vec{M^{'} B}, \vec{M^{'} A}) = π + (\vec{M B}, \vec{M A}) [2 π]$
3-a) Montrer que:
si M,A et B sont alignés alors M, A, B,M’ sont alignés.
b) Montrer que:
si M,A et B ne sont pas alignés alors M, A, B et M’ sont
cocycliques.

Exercice 3: (3 points)

On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale
à la fréquence d’apparition de la face «pile».
(le nombre de fois d’apparition de la face «pile» divisé par 10).
1-a) Déterminer les valeurs prise par $X$
b) Déterminer la probabilité de l’événement $[X = \frac{1}{2}]$
2- Quelle est la probabilité de l’événement:
$X$ supérieur ou égale à $\frac{9}{10}$ ?

Exercice 4: (10 points)

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[ par :
$f (x) = \sqrt{x} (l n x)^{2}$ pour x>0 et f(0)=0
On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$
1-a) Montrer que $f$ est continue à droite en 0
(On pourra remarquer que: $f (x) = 4 (x^{\frac{1}{4}} l n x^{\frac{1}{4}})^{2}$ )
2- a)Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 0,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
b) Montrer que $f$ est dérivable sur ] 0,+∞[
puis calculer f'(x) pour x>0.
c)Etudier les variations de $f$ sur [0,+∞[,
en déduire que :
$(\forall x \in] 0, 1]) 0 \leq \sqrt{x} (\ln x)^{2} \leq {(\frac{4}{e})}^{2}$
d) Tracer la courbe $(C)$ dans un repère orthonormé.
(On prendra pour unité 2 cm²)

3- Pour tout réel $x \geq 0,$ on pose $F (x) = \int_{x}^{1} f (t) d t$
a) Montrer que:
la fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle [0,+∞[
b) Calculer $F^{'} (x)$ pour $x \geq 0,$
en déduire le sens de variation de $F$ sur [0,+∞[
4- a) En utilisant la méthode d’intégration par parties,
calculer $\int_{x}^{1} \sqrt{t} l n t . d t$ pour tout $x > 0$
b) Montrer que pour $x > 0, F (x) = - \frac{2}{3} x \sqrt{x} (\ln x)^{2} + \frac{8}{9} x \sqrt{x} \ln x - \frac{16}{27} x \sqrt{x} + \frac{16}{27}$
c) En déduire l’aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$
et les droites d’équations respectives: $x = 0, x = 1$ et $y = 0$
5- Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
$u_{n} = \int_{\frac{1}{n}}^{1} f (x) d x$
a) Montrer que:
la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ est bornée et strictement monotone.
b) Montrer que la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ est convergente
puis calculer $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$