Examen National 2021 Math Bac 2 Science Math Normale

Exercice 1: (12 Pts)

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur IR par :
$f_n(x)=\frac{-2e^x}{1+e^x}+nx$
Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
On prendra $|\overrightarrow{i}|=\Vert \overrightarrow{j}\Vert =lcm$ )

Partie I :
1-a) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}(f_n(x)-nx+2)$
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Montrer que:
la courbe $(C_n)$ admet, en $-\infty$, une asymptote $({\Delta }_n)$ dont on déterminera
une équation caractéristique.
2-a) Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable sur $IR$
et que $\forall x\in IR$:
$f_n^{\prime }(x)=\frac{-2e^x}{(1+e^x{)}^2}+n$
b) Montrer que $\forall x\in IR$:
$\frac{4e^x}{(1+e^x{)}^2}\le 1$
c) En déduire le sens de variation de la fonction $f_n$ sur $IR$
(On distinguera les deux cas: $n=0$ et $n\ge 1$ )

3-a) Déterminer l’équation de la tangente a la courbe $(C_n)$
au point $I$ d’abscisse 0
b) Montrer que le point $I$ est le seul point d’inflexion de la courbe $(C_n)$
4- Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes $(C_0)$ et $(C_2)$.
5- Pour tout reel $t>0$, on pose $A(t)$ l’aire du domaine plan limité par:
$(C_n)$ et les droites d’équations respectives: $y=nx-2,x=0$ et $x=t$
a) Calculer $A(t)$ pour tout $t>0$
b) Calculer $limA(t)$

Partie II :
On considère la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par:
$u_0=0$
et $\forall n\in IN$ ; $u_{n+1}=f_0(u_n)$
1-a) Montrer que I’équation $f_0(x)=x$
admet une unique solution $\alpha$ dans $R$
b) Montrer que $\forall x\in IR$:
$|f_0^{\prime }(x)|\le \frac{1}{2}$
2-a) Montrer que $\forall n\in IN$:
$|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |$
b) En déduire que $\forall n\in IN$:
$|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{2}{)}^n|\alpha |$
c) Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ converge vers $\alpha$

Partie III :

a suppose dans cette partie que $n\ge 2$
1-a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, il existe un unique réel $x$,
solution de l’équation $f_n(x)=0$
b) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $0<x_n<1$
(On prendra $\frac{2e}{1+e}<1.47$ )
2-a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$:
f_{n+1}(x_{n})>0\)
b) En déduire que la suite $(u_n{)}_{n\ge 2}$ est strictement décroissante.
c) Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\ge 2}$ est convergente.
3-a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$
$\frac{1}{n}<x_n<\frac{1}{n}(\frac{2e}{1+e})$
b) En déduire $\underset{x➝+\infty }{lim}{x}_0$,
puis montrer que $limn{x}_n=1$
4-a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$,
on a:$x_n\le x_2$
b) En déduire $lim(x_n{)}^n$

Exercice 2: (4 Pts)

Soient $a,b$ et $c$ trois nombres complexes non nuls
tel que: $a+b\ne c$
1-a) Résoudre dans l’ensemble C l’équation d’inconnue $z$
$(E):z^2-(a+b+c)z+c(a+b)=0$
b) On suppose dans cette question que: $a=i,b=e^{i\frac{\pi }{3}}$ et $c=a-b$
Ecrire les deux solutions de l’équation $(E)$ sous forme exponentielle.
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(0,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On considère les trois points $A(a),B(b)$ et $C(c)$ qu’on suppose non alignes.
Soient $P(p)$ le centre de la rotation d’angle $\frac{\pi }{2}$ qui transforme $B$ en $A$
et $Q(q)$ le centre de la rotation d’angle $(-\frac{\pi }{2})$ qui transforme $C$ en $A$
et $D(d)$ le milieu du segment $[BC]$
a) Montrer que:
$2p=b+a+(a-b)i$ et $2q=c+a+(c-a)i$
b) Calculer : $\frac{p-d}{q-d}$
c) En déduire la nature du triangle $PDQ$

3- Soient $E$ le symétrique de $B$ par rapport à $P$
et $F$ le symétrique de $C$ par rapport
à $Q$ et $K$ le milieu du segment $[EF]$
a) Montrer que l’affixe de $K$ est $k=a+\frac{i}{2}(c-b)$
b) Montrer que les points $K,P,Q$ et $D$ sont cocycliques.

Exercice 3: (4 Pts)

Partie I :
On considère dans $Z\times Z$ l’équation $(E):47x-43y=1$
I- Vérifier que le couple ( 11,12 ) est une solution particulière de l’équation $(E)$
2- Résoudre dans $Z\times Z$. l’équation $(E)$
Partie II :
On considère dans $Z$ I’équation $(F):x^{41}=4$ [43]
1-Soit $x\in Z$ une solution de l’équation $(F)$
a) Montrer que $x$ et 43 sont premiers entre eux,
en déduire que: $x^{42}=1$ [43]
b) Montrer que: $4x=1[43]$,
en déduire que : $x=11$ [43]
2- Donner l’ensemble des solutions dans $Z$ de l’équation ( $F$ )
Partie III :
On considère dans Z le système à deux équations suivant $(S)$:
$\{\begin{array}{l}{x}^{41}=4[43]\\ x^{47}=10[47]\end{array}$
1-Soit $x$ une solution du système (S)
a) Montrer que $x$ est solution du système $(S^{\prime })$:
$\{\begin{array}{l}x=11[43]\\ x=10[47]\end{array}$
b) En déduire que: $x=527[2021]$
(On pourra utiliser la partie I)
2- Donner I’ensemble des solutions dans $Z$ du système (S)