Examen Bac 2 SM PDF Math 2018 Normal Avec Correction

Examen Bac 2 SM  PDF Math  2018 Normal Avec Correction
 

Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Arithmétique (3.5 points )
* Analyse  (10 points )

 * Structures Algébriques   (3.5 points )
On rappelle que (( C,+, ×)) est un corps commutatif
et que ((M_{2}( R ),+,)) est unanneau unitaire,
de zéro la matrice nulle (O=left(begin{array}{ll}0 & 0 \ 0 & 0end{array}right))
et d’unité la matrice (I=left(begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right))
et que ((M_{2}( R ),+,•)) est un espace vectoriel réel
Pour tout couple ((x, y) in R ^{2},)
on pose (M(x, y)=left(begin{array}{cc}x & -2 y \ y & x+2 yend{array}right))
et on considère l’ensemble (E=left{M(x, y) /(x, y) in R ^{2}right})
1- Montrer que (E) est un sous-groupe du groupe ((M_{2}( R ),+))
2- a) Montrer que (E) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel ((M_{2}( R ),+, •))
b) On pose (J=M(0,1) .) Montrer que ((I, J)) est une base de l’espace vectoriel réel ((E,+, •))
3- a) Montrer que (E) est une partie stable de (left(M_{2}( R ), timesright))
b) Montrer que ((E,+, x)) est un anneau commutatif
4- Soit (varphi) l’application de (C ^{*}) vers (M_{2}( R )) définie par:
(left(forall(x, y) in R ^{2}-{(0,0)}right) quad ; quad varphi(x+i y)=M(x+y,-y)=left(begin{array}{cc}
x+y & 2 y \
-y & x-yend{array}right))
a) Montrer que (varphi) est un homomorphisme de (left( C ^{*}, xright)) vers (left(M_{2}( R ), xright))
b) On pose (E^{*}=E-{O} .) Montrer que (varphileft( C ^{*}right)=E^{*})
c) En déduire que (left(E^{*}, timesright)) est un groupe commutatif
(5-) Montrer que ((E,+, x)) est un groupe commutatif.

 * Arithmétique   (3 points )

Soit (p) un nombre premier tel que : (p=3+4 k quadleft(k in N ^{*}right))
1- Montrer que pour tout entier relatif (x,) si (x^{2} equiv 1[p]) alors (x^{p-5} equiv 1[p])
2- Soit (x) un entier relatif vérifiant : (x^{p-s} equiv 1[p])
a) Montrer que (x) et (p) sont premiers entre eux
b) Montrer que : (x^{p-1} equiv 1[p])
c) Vérifier que : (2+(k-1)(p-1)=k(p-5))
d) En déduire que : (x^{2} equiv 1[p])
3- Résoudre dans Zl’équation : (x^{62} equiv 1[67])

* Nombres Complexes    (3.5 points )

Soit (m) un nombre complexe.
I- On considère dans l’ensemble complexes (C) 

l’équation (left(E_{m}right)) d’inconnue (z:)(z^{2}+(i m+2) z+i m+2-m=0)
1- a) Vérifier que (Delta=(i m-2 i)^{2}) est le discriminant de l’équation (left(E_{m}right))
b) Donner, suivant les valeurs de (m,) l’ensemble des solutions de l’équation
(left(E_{m}right))
2- Pour (m=i sqrt{2},) écrire les deux racines de l’équation (left(E_{m}right)) sous la forme
exponentielle.
II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O, vec{u}, vec{v}))
On considère les points (A, Omega, M) et (M^{prime} d) ‘affixes 
respectifs (a=-1-i, omega=i)(m)
(text { et } m^{prime}=-i m-1+i)
1- Soit (R) la rotation d’angle (-frac{pi}{2}) qui transforme (M) en (M^{prime})
a) Vérifier que (Omega) est le centre de (R)
b) Déterminer l’affixe (b) de (B), où (B) est le point tel que : (A=R(B))
2- a) Vérifier que : (m^{prime}-a=frac{omega-a}{omega-b}(m-b))
b) En déduire que les points (A, M) et (M^{prime}) sont alignés si et seulement si les points (A) (B, Omega) et (M) sont cocycliques
c) Montrer que l’ensemble des points (M) tel que les points (A, M) et (M^{prime}) soient alignés Est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

 * Analyse   (7.5 points )

1- a) Montrer que : ((forall x in] 0,+infty[) quad ; quad int_{0}^{x} frac{t}{1+t} d t=x-ln (1+x))
b) En utilisant le changement de variable (u=t^{2},) montrer que :
[
(forall x in] 0,+infty[) quad ; quad int_{0}^{x} frac{t}{1+t} d t=frac{1}{2} int_{0}^{x^{2}} frac{1}{1+sqrt{u}} d u
]
c) En déduire que : ((forall x in] 0,+infty[) quad ; quad frac{1}{2(1+x)} leq frac{x-ln (1+x)}{x^{2}} leq frac{1}{2})
2- Déterminer (quad lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{x-ln (1+x)}{x^{2}})
Partie II :
On considère la fonction (f text { définie sur }] 0,+inftyleft[:left{begin{array}{c}f(x)=left(frac{x+1}{x}right) ln (1+x) ; x neq 0 \ f(0)=1end{array}right.right.)
et soit ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j}))
1- a) Montrer que:

 (f) est continue à droite en 0
b) Montrer que (f) est dérivable à droite en 0 ( On pourra utiliser le résultat de la question I.2)
c) Calculer:
 (lim _{x rightarrow-infty} f(x), lim _{x rightarrow+infty} frac{f(x)}{x}) 
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2- a) Montrer que (f text { est dérivable sur }] 0,+infty[), 
puis vérifier que :
((forall x in] 0,+infty[) quad ; quad f^{prime}(x)=frac{x-ln (1+x)}{x^{2}})
b) En déduire que (f) est strictement croissante sur ([0,+infty[)
c) Vérifier que : (f([0,+infty[)=[1,+infty])
3- Représenter graphiquement la courbe ((C))
On construira la demi-tangente à droite au point d’abscisse 0 )

Partie III
1- On considère la fonction (g text { définie sur }] 0,+infty[text { par }: g(x)=f(x)-x)
a) Montrer que:
 ((forall x in] 0,+infty[) quad ; quad 0<f^{prime}(x) leq frac{1}{2})
b) En déduire que:
 (g text { est strictement décroissante sur }] 0,+infty[) puis montrer que
(g(] 0,+infty[)=]-infty, [1)
c) Montrer que:
 l’équation (f(x)=x text { admet une solution unique } alpha text { sur }] 0,+infty[)
2- Soit a un réel de l’intervalle (] 0,+infty[) 
On considère la suite (left(u_{n}right)_{n in N }) définie par:
 (u_{0}=a) et ((forall n in N ) quad ; quad u_{n+1}=fleft(u_{n}right))
a) Montrer que:
 ((forall n in N ) quad ; quad u_{n}>0)
b) Montrer que:
 ((forall n in N ) quad ; quadleft|u_{n+1}-alpharight| leq frac{1}{2}left|u_{n}-alpharight|)
c) Montrer par récurrence que:
((forall n in N ) quad ;left|u_{n}-alpharight| leqleft(frac{1}{2}right)^{n}|a-alpha|)
d) En déduire que la suite (left(u_{n}right)_{n in N }) converge vers (alpha)

 * Intégrale   (2.5 points )
On considère la fonction (F) définie sur (R) par (: F(x)=int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t)
1- Montrer que (F) est continue et strictement croissante sur (R)
2- a) Montrer que : ((forall x in] 0,+infty[) quad ; quad F(x) geq x). En déduire (lim _{x rightarrow+infty} F(x))
b) Montrer que (F) est impaire, en déduire (lim _{x rightarrow-infty} F(x))
c) Montrer que (F) est une bijection de (R) dans (R)
d) Montrer que la bijection réciproque (G) de la fonction (F) est dérivable en 0 puis calculer (G^{prime}(0))
 
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