Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Arithmétique (3.5 points )
* Analyse (10 points )
* Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que \(( C,+, ×)\) est un corps commutatif
et que \((M_{2}( R ),+,)\) est unanneau unitaire,
de zéro la matrice nulle \(O=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\)
et d’unité la matrice \(I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\)
et que \((M_{2}( R ),+,•)\) est un espace vectoriel réel
Pour tout couple \((x, y) \in R ^{2},\)
on pose \(M(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x & -2 y \\ y & x+2 y\end{array}\right)\)
et on considère l’ensemble \(E=\left\{M(x, y) /(x, y) \in R ^{2}\right\}\)
1- Montrer que \(E\) est un sous-groupe du groupe \((M_{2}( R ),+)\)
2- a) Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \((M_{2}( R ),+, •)\)
b) On pose \(J=M(0,1) .\) Montrer que \((I, J)\) est une base de l’espace vectoriel réel \((E,+, •)\)
3- a) Montrer que \(E\) est une partie stable de \(\left(M_{2}( R ), \times\right)\)
b) Montrer que \((E,+, x)\) est un anneau commutatif
4- Soit \(\varphi\) l’application de \(C ^{*}\) vers \(M_{2}( R )\) définie par:
\(\left(\forall(x, y) \in R ^{2}-\{(0,0)\}\right) \quad ; \quad \varphi(x+i y)=M(x+y,-y)=\left(\begin{array}{cc}
x+y & 2 y \\
-y & x-y\end{array}\right)\)
a) Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \(\left( C ^{*}, x\right)\) vers \(\left(M_{2}( R ), x\right)\)
b) On pose \(E^{*}=E-\{O\} .\) Montrer que \(\varphi\left( C ^{*}\right)=E^{*}\)
c) En déduire que \(\left(E^{*}, \times\right)\) est un groupe commutatif
\(5-\) Montrer que \((E,+, x)\) est un groupe commutatif.
* Arithmétique (3 points )
Soit \(p\) un nombre premier tel que : \(p=3+4 k \quad\left(k \in N ^{*}\right)\)
1- Montrer que pour tout entier relatif \(x,\) si \(x^{2} \equiv 1[p]\) alors \(x^{p-5} \equiv 1[p]\)
2- Soit \(x\) un entier relatif vérifiant : \(x^{p-s} \equiv 1[p]\)
a) Montrer que \(x\) et \(p\) sont premiers entre eux
b) Montrer que : \(x^{p-1} \equiv 1[p]\)
c) Vérifier que : \(2+(k-1)(p-1)=k(p-5)\)
d) En déduire que : \(x^{2} \equiv 1[p]\)
3- Résoudre dans Zl’équation : \(x^{62} \equiv 1[67]\)
* Nombres Complexes (3.5 points )
Soit \(m\) un nombre complexe.
I- On considère dans l’ensemble complexes \(C\)
1- a) Vérifier que \(\Delta=(i m-2 i)^{2}\) est le discriminant de l’équation \(\left(E_{m}\right)\)
b) Donner, suivant les valeurs de \(m,\) l’ensemble des solutions de l’équation
\(\left(E_{m}\right)\)
2- Pour \(m=i \sqrt{2},\) écrire les deux racines de l’équation \(\left(E_{m}\right)\) sous la forme
exponentielle.
II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
On considère les points \(A, \Omega, M\) et \(M^{\prime} d\) ‘affixes
1- Soit \(R\) la rotation d’angle \(-\frac{\pi}{2}\) qui transforme \(M\) en \(M^{\prime}\)
a) Vérifier que \(\Omega\) est le centre de \(R\)
b) Déterminer l’affixe \(b\) de \(B\), où \(B\) est le point tel que : \(A=R(B)\)
2- a) Vérifier que : \(m^{\prime}-a=\frac{\omega-a}{\omega-b}(m-b)\)
b) En déduire que les points \(A, M\) et \(M^{\prime}\) sont alignés si et seulement si les points \(A\) \(B, \Omega\) et \(M\) sont cocycliques
c) Montrer que l’ensemble des points \(M\) tel que les points \(A, M\) et \(M^{\prime}\) soient alignés Est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
* Analyse (7.5 points )
1- a) Montrer que : \((\forall x \in] 0,+\infty[) \quad ; \quad \int_{0}^{x} \frac{t}{1+t} d t=x-\ln (1+x)\)
b) En utilisant le changement de variable \(u=t^{2},\) montrer que :
\[
(\forall x \in] 0,+\infty[) \quad ; \quad \int_{0}^{x} \frac{t}{1+t} d t=\frac{1}{2} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1+\sqrt{u}} d u
\]
c) En déduire que : \((\forall x \in] 0,+\infty[) \quad ; \quad \frac{1}{2(1+x)} \leq \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}} \leq \frac{1}{2}\)
2- Déterminer \(\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}\)
Partie II :
On considère la fonction \(f \text { définie sur }] 0,+\infty\left[:\left\{\begin{array}{c}f(x)=\left(\frac{x+1}{x}\right) \ln (1+x) ; x \neq 0 \\ f(0)=1\end{array}\right.\right.\)
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1- a) Montrer que:
b) Montrer que \(f\) est dérivable à droite en 0 ( On pourra utiliser le résultat de la question I.2)
c) Calculer:
2- a) Montrer que \(f \text { est dérivable sur }] 0,+\infty[\),
\((\forall x \in] 0,+\infty[) \quad ; \quad f^{\prime}(x)=\frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}\)
b) En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\)
c) Vérifier que : \(f([0,+\infty[)=[1,+\infty]\)
3- Représenter graphiquement la courbe \((C)\)
On construira la demi-tangente à droite au point d’abscisse 0 )
1- On considère la fonction \(g \text { définie sur }] 0,+\infty[\text { par }: g(x)=f(x)-x\)
a) Montrer que:
b) En déduire que:
\(g(] 0,+\infty[)=]-\infty, [1\)
c) Montrer que:
2- Soit a un réel de l’intervalle \(] 0,+\infty[\)
a) Montrer que:
b) Montrer que:
c) Montrer par récurrence que:
d) En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in N }\) converge vers \(\alpha\)
* Intégrale (2.5 points )
1- Montrer que \(F\) est continue et strictement croissante sur \(R\)
2- a) Montrer que : \((\forall x \in] 0,+\infty[) \quad ; \quad F(x) \geq x\). En déduire \(\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)\)
b) Montrer que \(F\) est impaire, en déduire \(\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)\)
c) Montrer que \(F\) est une bijection de \(R\) dans \(R\)
d) Montrer que la bijection réciproque \(G\) de la fonction \(F\) est dérivable en 0 puis calculer \(G^{\prime}(0)\)
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2018 Normale
