Examen Math Bac 2 Science Math 2020 Rattrapage
Avec Correction
La durée de l’épreuve est de 4 heures.
L’épreuve est composée de quatre exercices indépendants entre eux.
Le candidat doit traiter Exercice 3 et Exercice 4
et choisir de traiter Exercice 1 ou bien 2.
Exercice 1 qui concerne l’arithmétique (au choix). …3.5 points.
Exercice 2 qui concerne les structures algébriques (au choix)…3.5 points.
Exercice 3 qui concerne les nombres complexes (obligatoire) … 3.5 points.
Exercice 4 qui concerne l’analyse (obligatoire) 13 points.
Exercice 1 : (3.5 polnts/au cholx)
Soient p et q deux nombres premiers vérifiant:
p<q et \(9^{p+q-1}≡ 1[pq]\).
1-a) Montrer que p et 9 sont premiers entre eux.
b) En déduire que: \(9^{p-1} ≡ 1[p]\).
et que \(9^{q} ≡ 1[p]\).
2-a) Montrer que (p-1) et q sont premiers entre eux.
b) En utilisant le théorème de B E Z O U T, montrer que : p=2.
3-a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que: \(9^{q-1} ≡ 1[q]\).
Exercice 2: (3.5 points/au choix)
On note \(M_{3}(R)\) l’ensemble des matrices d’ordre 3 a coefficients réels.
On rappelle que \(M_{3}(IR, +,×)\) est un espace vectoriel réel de dimension 9.
et que \(M_{3}(IR, +,×)\) est un anneau non commutatif
unitaire de zéro \(O=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\) et d’unité \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
On considère le sous-ensemble:
\(\quad E=\left\{M(x, y, z)=\left(\begin{array}{ccc}x & -y & -y \\ 0 & z & 0 \\ y & x-z & x\end{array}\right) /(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}\right\}\)
Première partie:
1- a) Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_{3}(IR, +,×)\)
b) Déterminer une base de \((E, +,×)\)
2. a) Vérifier que:
\(∀(x, y, z)∈IR^{3},\; ∀(x’,y’,z’)∈IR^{3}\);
M(x, y, z)×M\(x’,y’,z’)=M(xx’, yy’, zz’)
b) Montrer que \((E,+,×)\) est un anneau commutatif.
Deuxième partie:
On considère le sous-ensemble \(F\) de \(E\)
des matrices de la forme \(M(x,y,0)\) où \((x, y)∈IR²\)
1. Montrer que \(F\) est un sous-groupe du groupe \((E,+)\)
2. On note l’application de ℂ’ vers \(E\) définie par:
∀(x, y)∈IR²; φ(x+i y)=M(x, y, 0)
a) Montrer que \(φ\) est un homomorphisme de \((ℂ’,×)\) vers \((E,×)\).
b) En déduire que:
\((F,+,×)\) est un groupe commutatif.
(F’ désigne F-{O}).
(F’ désigne F-{O}).
c) Montrer que \((F,+, x)\) est un corps commutatif dont on précisera P unité.
3-a) Vérifier que: ∀ M(x, y, 0)∈F:
\(\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)×M(x, y, 0)=0.
b) En déduire qu’aucun des éléments du sous-ensemble \(F\)
n’admet un inverse pour la multiplication dans \(M_{3}(IR)\).
Exercice 3: (3.5 points/obligatoire)
I- Soit m un nombre réel non nul.
On considère dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation:
\((E): z^{2}+2z+1+m^{2}=0\)
et \((F): z^{3}+2(1-i) z^{2}+(1+m^{2}-4 i)z-2 i(1+m^{2})=0\)
1- Résoudre dans ℂ l ‘équation: \((E)\)
2- a) Montrer que l’équation ( \(F\) ) admet une solution imaginaire pure
que l’on déterminera.
b) Résoudre dans ℂ l’équation \((F)\)
II- Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct \((O: \vec{u}, \vec{v})\)
On considère les deux points: \(A(-1+i m)\) et \(B(-1-i m)\)
Soient ᘯ le milieu du segment [AB], A’ le milieu du segment [OB]
et B’ le milieu du segment [OA].
La rotation de centre ᘯ et d’angle \((-\frac{\pi}{2})\) transforme A en P(p),
La rotation de centre A’ et d’angle \((-\frac{\pi}{2})\) transforme B en Q(q)
et La rotation de centre B’ et d’angle \((-\frac{\pi}{2})\) transforme O en R(r)
1-Montrer que: \(p=-1+m\), \(q=\frac{1-i}{2}(-1-i m)\) et \(r=\bar{q}\)
2-a) Vérifier que: \(q-r=-ip\).
b) En déduire que: OP=QR et que les deux droites (OP) et (Q R) sont orthogonales.
Exercice 4: (13 points/obligatoire)
Première partie:
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle I=[0.1] par:
f(x)=xln (2-x) et soit \((C)\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((0;\vec{i},\vec{j})\).
1-a) Montrer que \(f\) est dérivable sur I et que:
∀x∈I: \(f ‘(x)=\ln (2-x)-\frac{x}{2-x}\)
b) Montrer que la fonction dérivée \(f ‘\) est strictement décroissante sur I.
c) Montrer qu’il existe un unique réel α ∈] 0.1[ tel que : f ‘(α)=0
et que \(f(α)=\frac{α^{2}}{2-α}\)
2-a) Etudier les variations de \(f\), puis donner son tableau de variations.
b) Montrer que la courbe \((C)\) est concave.
c) Montrer que:
(∀ t∈I),(∀ x∈I): f(x)≤f ‘(t)(x-t)+f(t).
d) En déduire que (∀ x∈I); f(x)≤x ln2 et \f(x)≤-x+1.
3- Représenter la courbe (C) (On prendra: ||i||=2cm).
4- Calculer, en cm², l’aire du domaine plan limite par la courbe (C)
et les droites d’équations respectives: x=0, x=1 et y=0.
Deuxième partie:
Soit n un entier nature supérieur ou égal a 2.
On considère la fonction \(f_{n}\) définie sur I=[0,1] par:
\(f_{n}(x)=x^{n}ln (2-x)\)
1-a) Vérifier que \(f_{n}\) est positive sur I et que \(f_{n}(0)=f_{n}(1)\)
b) Montrer qu’il existe au moins \(α, \in]0,1[tel que: f_{n} ‘ (α_{n})=0.\)
2-a) Montrer que \(f\), est dérivable sur I
et que: \(∀ x∈I: \; f ‘_{n}(x)=x^{n-1} g_{n}(x)\)
où: \(g_{n}(x)=nln(2-x)-\frac{x}{2-x}\)
b) Montrer que la fonction \(g_{n}\) est strictement décroissante sur I.
c) En déduire que \(α_{n}\) est unique.
3- On considère la suite \((α_{n})_{n≥2}\) ainsi définie.
a) Montrer que:
∀n≥2;\(f_{n}(α_{n})=\frac{1}{n}×\frac{α_{n}^{n+1}}{2-α_{n}}\)
en déduire que: \(\lim _{n⟶+∞} f_{n}(α_{n})=0\)
b) Montrer que ∀ n≥2: \( g_{n}(α_{n+1})=-ln(2-α_{n+1})\),
en déduire que la suite \((α_{n})_{n≥2}\)
est strictement croissante.
C) Montrer que la suite \(α_{n})_{n≥2}\) est convergente.
d) Montrer que \(\lim_{n⟶+∞} α_{n}=1\)
Troisième partie:
Pour tout entier naturel \(n≥2,\) on pose: \(\quad I_{n}=\int_{0}^{1} f_{n}(x) d x\)
1-Montrer que la suite \((I_{n})_{n ≥2}\) est décroissante en déduire qu’elle est convergente.
2 – En utilisant une intégration par parties,
montrer que: \(I_{n}=\frac{1}{n+1} \int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{2-x} dx\)
3- Montrer que : \((∀ n≥2); 0≤I_{n}≤ \frac{1}{n+1},\)
en deduire que \(\lim _{n⟶+∞} I_{n}=0\).
⇊⇊Télécharger Fichier PDF Gratuit: