Sujet Bac Ancien Exercices études des fonctions
terminale S n° 2
Groupe II bis 1997
Dans tout le problème,
on se place dans un repère orthonormal ( (O ; vec{i}, vec{j}) ).
L’unité graphique est 2cm.
Partie I : Etude d’une fonction (g ).
Soit (g ) la fonction définie sur ]0;+∞[ par:
(g(x)=x lnx-x+1)
et (C) sa représentation graphique
dans le repère ((O ; vec{i}, vec{j}))
1. Etudier les limites de (g) en 0 et +∞.
2. Etudier les variations de (g).
En déduire le signe de (g(x)) en fonction de x.
3. On note (C ‘) la représentation graphique de la fonction x➝lnx
dans le repère ((O ; vec{i}, vec{j}) ).
Montrer que (C) et (C ‘) ont deux points communs
d’abscisses respectives 1 et e.
et que pour tout x élément de [1,e],
on a : xlnx-x+1≤lnx.
On ne demande pas de représenter (C) et (C ‘)
4. a) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale:
(J=int_{1}^{e}(x-1) lnx dx)
b) Soit (Δ) le domaine plan défini par:
Δ={M(x, y) ; 1≤x≤e et g(x)≤y≤lnx}
Déterminer, en cm², l’aire de (Δ).
Donner une valeur décimale approchée à (10^{-2}) prés de cette aire.
Partie II : Etude d »une fonction (f).
Soit (f) la fonction définie sur ]1;+∞[ par:
(f(x)=frac{1}{x-1}lnx).
1. Etudier les limites de (f) en +∞ et en 1.
Pour l’étude de la limite en 1, on pourra utiliser un taux d’accroissement.
2. Déterminer le tableau de variation de (f ).
On pourra remarquer que:
(f ‘(x)) s’écrit facilement en fonction de (g(x)).
3. Tracer la courbe représentative de (f)
dans le repère ((O;vec{i},vec{j})).
Partie III:
Etude de l’équation (f(x)=frac{1}{2})
1. Montrer que l’équation (f(x)=frac{1}{2})
admet une unique solution notée (a) et que 3,5<α<3,6.
2. Soit (h) la fonction définie sur ]1;+∞[ par:
(h(x)=lnx+frac{1}{2} x+frac{1}{2}).
(a) Montrer que a est solution de l’équation h(x)=x.
(b) Etudier le sens de variation de (h).
(c) On pose I=[3,4] .
Montrer que:
pour tout x élément de I on a h(x) ∈ I
et (|h ‘(x)|≤frac{5}{6}).
3. On définit la suite ((u_{n})) par:
(u_{0}=3) et pour tout n≥0 (u_{n+1}=h(u_{n}))
Justifier successivement les trois propriétés suivantes:
a) Pour tout entier naturel n:
(|u_{n+1}-α|≤frac{5}{6}|u_{n}-α|)
b) Pour tout entier naturel n:
(|u_{n}-α|≤frac{5}{6})^{n}).
c) La suite ((u_{n})) converge vers α.
4. Donner un entier naturel p, tel que des majorations précédentes
on puisse déduire que (u_{p}) est une valeur approchée de α à (10^{-3}) près.
Indiquer une valeur décimale approchée à (10^{-3}) près de α.
Antilles 1997
Partie I
On considère la fonction (f) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
(f(x)=ln(frac{x+1}{x})-frac{1}{x+1})
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction (f)
et étudier le sens de variation de (f).
2. Calculer la limite de (f(x)) lorsque x tend vers 0.
et lorsque x tend vers +∞.
3. Donner le tableau de variations de la fonction (f)
et en déduire le signe de (f(x)) pour tout x appartenant à ]0,+∞[.
4. Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct
((O,vec{i}, vec{j}) ), l’unité graphique est 5cm.
Tracer la courbe (C) représentative de la fonction (f)
Partie II
On considère la fonction (g) définie sur l’intervalle]0,+∞[ par:
(g(x)=xln(frac{x+1}{x}))
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction (g).
Déduire de la partie I le sens de variation de n sur ] 0,+∞[
2. Vérifier que g=hok
avec (h) et (k) les fonctions définies sur ]0,+∞[ par:
(h(x)=frac{ln (1+x)}{x}) et (k(x)=frac{1}{x})
En déduire la limite de (g) en +∞ et en 0 .
3. Donner le tableau des variations de (g) sur ]0,+∞[.
Partie III
1. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1.
On note (A(λ)) l’aire en cm²
du domaine ensemble des points (M) du plan dont les coordonnées vérifient:
1≤x≤λ et 0≤y≤f(x).
En utilisant les résultats de la partie II,
a) Calculer A(λ) en fonction de λ.
b) Déterminer la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
c) Justifier l’affirmation:
« L’équation A(λ)=5 admet une solution unique notée (λ_{0}) »
Puis donner un encadrement de (λ_{0}) d’amplitude (10^{-2}).
Soit ((u_{n})) la suite numérique définie sur IN* par:
(u_{n}=(frac{n+1}{n})^{n})
Montrer, en remarquant que (ln(u_{n})=g(n),) que:
a) La suite ((u_{n})) est une suite croissante.
b) La suite ((u_{n})) est convergente, et préciser sa limite.
Polynésie 1997
Soit (f) la fonction définie sur IR par:
(f(x)=x-1+(x^{2}+2) e^{-x})
On note ((C)) la courbe représentative de (f)
dans un repère orthonormal ((O ; vec{i}, vec{j}))
(unité graphique 2cm).
Partie I: Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit (g) la fonction définie sur IR par:
(g(x)=1-(x^{2}-2 x+2) e^{-x})
1. Etudier les limites de (g) en -∞ et en +∞.
2. Calculer la dérivée de (g) et déterminer son signe.
3. En déduire le tableau de variation de (g).
Démontrer que l’équation (g(x)=0) admet une unique solution α dans IR
puis justifier que 0,35≤α≤0,36.
En déduire le signe de (g).
Partie II:Etude de (f)
1. Etudier les limites de (f) en -∞ et en +∞.
2. Déterminer (f ‘(x)) pour tout x réel.
3. En déduire, à l’aide de la partie I, les variations de (f)
et donner son tableau de variation.
4. a) Démontrer que: (f(α)=α(1+2 e^{-α}))
b) A l’aide de l’encadrement de a
déterminer un encadrement de f(α) d’amplitude 4×10².
5.Démontrer que la droite (Δ) d’équation (y=x-1) est asymptote à ((C)) en +∞.
Préciser la position de ((C)) par rapport à (Δ).
6. Donner une équation de la tangente (T) à ((C)) au point d’abscisse 0.
7. Tracer (Δ, T) puis ((C))
8. a) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction (P) définie sur IR par:
(P(x)=(a x^{2}+b x+c) c^{-x})
soit une primitive sur IR de la fonction x➝(x^{2}+2) e^{-x})
b) Calculer en fonction de a l’aire A en cm²
de la partie du plan limitée par ((C)) Δ et les droites d’équations x=-a et x=0.
c) Justifier que: (A=4 e^{2 n}+8 e^{a}-16).
Partie III: Etude d’une suite
1. Démontrer que pour tout x de [1 ; 2]: 1≤f(x)≤2
2. Démontrer que pour tout (x) de [1 ; 2]: 0≤f’ ‘(x)≤(frac{3}{4}).
3. En utilisant le sens de variation de la fonction (h)
définie sur [1;2] par: h(x)=f(x)-x
démontrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique (β) dans [1;2]
4. Soit ((u_{n})) la suite numérique définie par (u_{0}=1)
et pour tout entier naturel n, (u_{n+1}=f(u_{n}))
a) Démontrer que pour tout entier naturel n:
(1≤u_{n}≤2)
(b) Démontrer que pour tout entier naturel n:
(|u_{n+1}-β|≤frac{3}{4}|u_{n}-3|)
c) Démontrer que pour tout entier naturel n:
(|u_{n}-β| ≤(frac{3}{4})^{n})
d) En déduire que:
la suite ((u_{n})) est convergente et donner sa limite.
e) Trouver un entier (n_{0})
tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à (n_{0},)
on ait: (|u_{n}-β|≤10^{-2}).
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Sujet Bac Ancien études des fonctions 2
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