Sujet Bac Ancien Exercices études des fonctions
terminale S n° 2
Groupe II bis 1997 Dans tout le problème,
on se place dans un repère orthonormal ( \(O ; \vec{i}, \vec{j}\) ).
L’unité graphique est 2cm.
Partie I : Etude d’une fonction \(g \).
Soit \(g \) la fonction définie sur ]0;+∞[ par:
\(g(x)=x lnx-x+1\)
et \(C\) sa représentation graphique
dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
1. Etudier les limites de \(g\) en 0 et +∞.
2. Etudier les variations de \(g\).
En déduire le signe de \(g(x)\) en fonction de x.
3. On note \(C ‘\) la représentation graphique de la fonction x➝lnx
dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j}) \).
Montrer que \(C\) et \(C ‘\) ont deux points communs
d’abscisses respectives 1 et e.
et que pour tout x élément de [1,e],
on a : xlnx-x+1≤lnx.
On ne demande pas de représenter \(C\) et \(C ‘\)
4. a) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale:
\(J=\int_{1}^{e}(x-1) lnx dx\)
b) Soit \(Δ\) le domaine plan défini par:
Δ={M(x, y) ; 1≤x≤e et g(x)≤y≤lnx}
Déterminer, en cm², l’aire de \(Δ\).
Donner une valeur décimale approchée à \(10^{-2}\) prés de cette aire.
Partie II : Etude d »une fonction \(f\).
Soit \(f\) la fonction définie sur ]1;+∞[ par:
\(f(x)=\frac{1}{x-1}lnx\).
1. Etudier les limites de \(f\) en +∞ et en 1.
Pour l’étude de la limite en 1, on pourra utiliser un taux d’accroissement.
2. Déterminer le tableau de variation de \(f \).
On pourra remarquer que:
\(f ‘(x)\) s’écrit facilement en fonction de \(g(x)\).
3. Tracer la courbe représentative de \(f\)
dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).
Partie III:
Etude de l’équation \(f(x)=\frac{1}{2}\)
1. Montrer que l’équation \(f(x)=\frac{1}{2}\)
admet une unique solution notée \(a\) et que 3,5<α<3,6.
2. Soit \(h\) la fonction définie sur ]1;+∞[ par:
\(h(x)=lnx+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\).
(a) Montrer que a est solution de l’équation h(x)=x.
(b) Etudier le sens de variation de \(h\).
(c) On pose I=[3,4] .
Montrer que:
pour tout x élément de I on a h(x) ∈ I
et \(|h ‘(x)|≤\frac{5}{6}\).
3. On définit la suite \((u_{n})\) par:
\(u_{0}=3\) et pour tout n≥0 \(u_{n+1}=h(u_{n})\)
Justifier successivement les trois propriétés suivantes:
a) Pour tout entier naturel n:
\(|u_{n+1}-α|≤\frac{5}{6}|u_{n}-α|\)
b) Pour tout entier naturel n:
\(|u_{n}-α|≤\frac{5}{6})^{n}\).
c) La suite \((u_{n})\) converge vers α.
4. Donner un entier naturel p, tel que des majorations précédentes
on puisse déduire que \(u_{p}\) est une valeur approchée de α à \(10^{-3}\) près.
Indiquer une valeur décimale approchée à \(10^{-3}\) près de α.
Antilles 1997 Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
\(f(x)=ln(\frac{x+1}{x})-\frac{1}{x+1}\)
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction \(f\)
et étudier le sens de variation de \(f\).
2. Calculer la limite de \(f(x)\) lorsque x tend vers 0.
et lorsque x tend vers +∞.
3. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\)
et en déduire le signe de \(f(x)\) pour tout x appartenant à ]0,+∞[.
4. Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct
(\(O,\vec{i}, \vec{j}\) ), l’unité graphique est 5cm.
Tracer la courbe \(C\) représentative de la fonction \(f\)
Partie II
On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle]0,+∞[ par:
\(g(x)=xln(\frac{x+1}{x})\)
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction \(g\).
Déduire de la partie I le sens de variation de n sur ] 0,+∞[
2. Vérifier que g=hok
avec \(h\) et \(k\) les fonctions définies sur ]0,+∞[ par:
\(h(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}\) et \(k(x)=\frac{1}{x}\)
En déduire la limite de \(g\) en +∞ et en 0 .
3. Donner le tableau des variations de \(g\) sur ]0,+∞[.
Partie III
1. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1.
On note \(A(λ)\) l’aire en cm²
du domaine ensemble des points \(M\) du plan dont les coordonnées vérifient:
1≤x≤λ et 0≤y≤f(x).
En utilisant les résultats de la partie II,
a) Calculer A(λ) en fonction de λ.
b) Déterminer la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
c) Justifier l’affirmation:
« L’équation A(λ)=5 admet une solution unique notée \(λ_{0}\) »
Puis donner un encadrement de \(λ_{0}\) d’amplitude \(10^{-2}\).
Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie sur IN* par:
\(u_{n}=(\frac{n+1}{n})^{n}\)
Montrer, en remarquant que \(ln(u_{n})=g(n),\) que:
a) La suite \((u_{n})\) est une suite croissante.
b) La suite \((u_{n})\) est convergente, et préciser sa limite.
Polynésie 1997 Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=x-1+(x^{2}+2) e^{-x}\)
On note \((C)\) la courbe représentative de \(f\)
dans un repère orthonormal \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
(unité graphique 2cm).
Partie I: Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit \(g\) la fonction définie sur IR par:
\(g(x)=1-(x^{2}-2 x+2) e^{-x}\)
1. Etudier les limites de \(g\) en -∞ et en +∞.
2. Calculer la dérivée de \(g\) et déterminer son signe.
3. En déduire le tableau de variation de \(g\).
Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution α dans IR
puis justifier que 0,35≤α≤0,36.
En déduire le signe de \(g\).
Partie II:Etude de \(f\)
1. Etudier les limites de \(f\) en -∞ et en +∞.
2. Déterminer \(f ‘(x)\) pour tout x réel.
3. En déduire, à l’aide de la partie I, les variations de \(f\)
et donner son tableau de variation.
4. a) Démontrer que: \(f(α)=α(1+2 e^{-α})\)
b) A l’aide de l’encadrement de a
déterminer un encadrement de f(α) d’amplitude 4×10².
5.Démontrer que la droite \(Δ\) d’équation \(y=x-1\) est asymptote à \((C)\) en +∞.
Préciser la position de \((C)\) par rapport à \(Δ\).
6. Donner une équation de la tangente \(T\) à \((C)\) au point d’abscisse 0.
7. Tracer \(Δ, T\) puis \((C)\)
8. a) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction \(P\) définie sur IR par:
\(P(x)=(a x^{2}+b x+c) c^{-x}\)
soit une primitive sur IR de la fonction x➝(x^{2}+2) e^{-x}\)
b) Calculer en fonction de a l’aire A en cm²
de la partie du plan limitée par \((C)\) Δ et les droites d’équations x=-a et x=0.
c) Justifier que: \(A=4 e^{2 n}+8 e^{a}-16\).
Partie III: Etude d’une suite
1. Démontrer que pour tout x de [1 ; 2]: 1≤f(x)≤2
2. Démontrer que pour tout \(x\) de [1 ; 2]: 0≤f’ ‘(x)≤\(\frac{3}{4}\).
3. En utilisant le sens de variation de la fonction \(h\)
définie sur [1;2] par: h(x)=f(x)-x
démontrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique \(β\) dans [1;2]
4. Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par \(u_{0}=1\)
et pour tout entier naturel n, \(u_{n+1}=f(u_{n})\)
a) Démontrer que pour tout entier naturel n:
\(1≤u_{n}≤2\)
(b) Démontrer que pour tout entier naturel n:
\(|u_{n+1}-β|≤\frac{3}{4}|u_{n}-3|\)
c) Démontrer que pour tout entier naturel n:
\(|u_{n}-β| ≤(\frac{3}{4})^{n}\)
d) En déduire que:
la suite \((u_{n})\) est convergente et donner sa limite.
e) Trouver un entier \(n_{0}\)
tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à \(n_{0},\)
on ait: \(|u_{n}-β|≤10^{-2}\).
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