Cours Complet Suites Numériques

– Suites arithmétiques

– Suites géométriques

– Suites du type

u_{n + 1} = f (n)

– Suites définies par des sommes

– Suites du type

u_{n + 1} = f (u_{n})

– Suites homographiques

– Suites adjacentes

-Suites du type

u_{n + 1} = (a u_{n} + b u_{n - 1})

– Suites définies a l’aide d’intégrales

– Suites extraites

– Suites de nombres complexes

? Définition

Une suite

(u_{n})

est une application de l’ensemble I ⊂ℕ ⟶ ℝ
qui à chaque élément n de I associe un unique élément noté

u_{n}

appelé terme d’indice n de la suite

(u_{n})

.
Exemple:
n∈IN*:

u_{n} = n ² + 2 n + 5

.
n≥5 :

u_{n + 1} = u_{n} - 5

? Suite croissante / décroissante / stationnaire
La suite $(u_{n})$ est croissante ⇔ $u_{n + 1} \geq u_{n}$ .
La suite $(u_{n})$ est décroissante ⇔ $u_{n + 1} \leq u_{n} $ .
La suite $(u_{n})$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite $(u_{n})$ est stationnaire

s’il existe un rang

n_{0}

à partir du quel tous les termes de la suite sont égaux.

\exists n_{0} \in I N

\forall n \geq n_{0} \Rightarrow u_{n + 1} = u_{n} ​

Méthodes pour étudier la monotonie d’une suite
1-

(u_{n})

est croissante si et seulement si

u_{n + 1} - u_{n} \geq 0

.
2- on suppose que

(u_{n})

est à termes positifs;

(u_{n})

est croissante si et seulement si

\frac{u_{n} + 1}{u_{n}} \geq 1

.
3- on suppose qu’il existe une fonction f croissante sur IR+ tel que:

u_{n + 1} = f (u_{n})

alors

(u_{n})

est croissante.
Exemple:
*

u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} \geq 0

.
⇒

(u_{n})

est croissante.
*

u_{n} = \frac{5^{n}}{n!}

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5}{n + 1} \geq 1

⇒

(u_{n})

est croissante.
*

u_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 3}

f (x) = \frac{2 x + 5}{x + 3}

f^{'} (x) = \frac{6}{(x + 3)^{2}} > 0

; f est croissante sur IR+.
⇒

(u_{n})

est croissante.

Exercice:

Étudier le sens de variation des suites

u_{n}

définies sur IN* on pourra, selon le cas:

soit raisonner par récurrence,

soit étudier le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

soit étudier le signe de

1 - \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

(suites à termes strictement positifs),

soit étudier la fonction

f

telle que

u_{n} = f (n)

u_{n} = \frac{n}{n + 1}

u_{n} = \frac{e^{n}}{n!}

u_{n} = \frac{3 n - 1}{2 n - 1}

d) $u_{n}=\sqrt[n]{n}$

u_{n} = n^{2} - 2^{n}

u_{n} = n - \ln (1 + n)

u_{n} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1)}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n}

u_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n}

? Raisonnement par récurrence

Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier naturel n.
Si P(n₀) est vraie (initialisation)
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀.

Exemple:

Démontrer par récurrence:

P(n):

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

* Initialisation: pour n=1

1^{2} = \frac{1 (1 + 1) (2.1 + 1)}{6}

⇒P(1) est vraie

* Hérédité: On suppose que p(n) est vraie.

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

* Montrons que p(n+1) est vraie.

p(n+1)⇔

1^{2} + 2^{2} + \dots + (n + 1)^{2} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 (n + 1) + 1)}{6}

⇔

1^{2} + 2^{2} + \dots + (n + 1)^{2} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

Soit n∈IN:

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} + (n + 1)^{2}

d’après hérédité

\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + (n + 1)^{2}

\frac{(n + 1) [n (2 n + 1) + 6 (n + 1)]}{6}

\frac{(n + 1) [2 n ² + 7 n + 6)]}{6}

\frac{(n + 1) [2 n ² + 4 n + 3 n + 6)]}{6}

\frac{(n + 1) [2 n (n + 2) + 3 (n + 2))]}{6}

\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}

Donc: P(n):

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Exercice:
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
1)

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}

S_{n} = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \dots + (2 n - 1)^{3} = 2 n^{4} - n^{2}

3) ∀ n ≥ 4:

2^{n} \leq n!

4) ∀ n ≥ 5:

3^{n} > n^{3}

5) ∀ n ≥ 7:

3^{n} < n!

? Majorée /Minorée / Bornée
une suite $(u_{n})$ est majorée par un réel M si ∀ n∊ℕ $u_{n} \leq M$ .
une suite $(u_{n})$ est minorée par un réel m si ∀ n∊ℕ $u_{n} \geq m$ .
une suite $(u_{n})$ est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M
tels que: ∀ n∊ℕ $m \leq u_{n} \leq M$ .

Exercice:
① La suite $u$ est définie par:

{\begin{cases} u_{0} = - 2 \\ u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n}} \end{cases}

a) Démontrer par récurrence que la suite

u

est minorée par

\frac{3}{2}

et majorée par 2 .

② La suite

u_{n}

est définie par:

{\begin{cases} u_{0} = - 2 \\ u_{n + 1} = \frac{9}{6 - u_{n}} \end{cases}

a) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel

n, u_{n} < 3

b) Étudier le sens de variation de la suite $u_{n}$ .

? Suite Périodique

Une suite périodique s’il existe un entier naturel non nul p tel que:

u_{n} ​ = u_{p}

. p est appelé une période de

(u_{n})

Exemple:

u_{n} ​ = S i n (\frac{n π}{3})

u_{n + 6} ​ = S i n (\frac{(n + 6) π}{3}) = S i n (\frac{n π}{3} + 2 π)

⇒

u_{n + 6} = u_{n}

.
⇒

(u_{n})

est périodique de période p=6.

? Suite convergente / divergente

Une suite

(u_{n})

a pour limite un nombre

l

∈IR.
lorsque les nombres

u_{n}

se rapprochent indéfiniment de

l

pour des entiers n de plus en plus grands.
On dit alors que la suite

(u_{n})

converge vers

l

(convergente de limite

l

).
Ceci se note par:

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l

.
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
* Composition de limites

① f est une fonction définie sur I,

(u_n) une suite d’éléments de I.

Soit a et l des réels.

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = a

lim_{x ⟶ a} f (x) = l

alors

lim_{n ⟶ + \infty} f (u_{n}) = l

Exemple :

Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par :

v_{n} = \frac{2 n ² + 3}{n ² + 2}

On a :

lim_{n ⟶ + \infty} v_{n} = 2

v_{n} = f (u_{n})

avec

f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 2}

u_{n} = n^{2}

② f est une fonction définie sur I,

(u_n) une suite d’éléments de I.

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = + \infty

lim_{x ⟶ + \infty} f (x) = + \infty

alors

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = + \infty

Exemple : Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par :

u_{n} = \frac{n ² + 1}{n + 2}

On a :

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = + \infty

③ Si deux suites convergentes (u_n) et (v_n)

telles que, à partir d’un certain indice, u_n>v_n

alors

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} \geq lim_{n ⟶ + \infty} v_{n}

Exemple :

① Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par :

u_{n} = \frac{1}{n} + n

u_{n} \geq n

lim_{n ⟶ + \infty} n = + \infty

On a :

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = + \infty

② Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par :

u_{n} = - 1 - n ²

u_{n} \leq - 2 n

car (-1-n²-(-2n)=-(n-1)²)) et

lim_{n ⟶ + \infty} - 2 n = - \infty

On a :

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = - \infty

④ passage à la limite dans les inégalités larges.

(u_{n}), (v_{n}) e t (w_{n})

trois suites telles que :

v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}

(∀n⩾n₀).
et si:

lim_{n ⟶ + \infty} v_{n} = w_{n} = l

alors on a :

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l

Exemple :

1- Soit le suite $(u_{n})$ .
tel que pour tout entier n on a:
$| u_{n} - 2 | \leq \frac{1}{n}$
⇒ $2 - f r a c 1 n \leq u_{n} - 2 \leq 2 + \frac{1}{n}$
on a: $lim_{n ⟶ + \infty} 2 - \frac{1}{n} = 2$ et $lim_{n ⟶ + \infty} 2 + \frac{1}{n} = 2$
donc $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = 2$ .

⑤ Limite de la suite géométrique

q^{n}

Si q>1 alors

lim_{n ⟶ + \infty} q^{n} = + \infty

Si q =1 alors

lim_{n ⟶ + \infty} q^{n} = 1

Si −1< q<1 alors

lim_{n ⟶ + \infty} q^{n} = 0

Si q≤ −1 alors

q^{n}

n’a pas de limite.

⑥ Limite de la suite $n^{a}$
Si a>0 alors $lim_{n ⟶ + \infty} n^{a} = + \infty$
Si a<0 alors $lim_{n ⟶ + \infty} n^{a} = 0$

Exemples de suites numériques

① Suites arithmétiques

Définition
Une suite

u_{n}

est arithmétique s’il existe un réel r tel que

u_{n + 1} = u_{n} + r

.
Le réel r est appelé la raison de la suite.

Exemple:

u_{n} = 3 n + 2

: n∈ℕ

u_{n + 1} - u_{n} = 3 (n + 1) + 2 - 3 n - 2 = 3 \in ℝ

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite arithmétique

de raison 3∈ℝ et son premier terme

u_{0} = 3 \times 0 + 2 = 2

Expression de

u_{n}

en fonctions de n (Terme général)

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite arithmétique de raison r∈ℝ.

alors: ∀n⩾p⩾n₀,

u_{n} = u_{p} + (n - p) \times r

.
pour p=0:

u_{n} = u_{0} + n \times r

avec n⩾0.
pour p=1:

u_{n} = u_{1} + (n - 1) \times r

avec n⩾1.
Somme de termes successifs d’une suite arithmétique

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite arithmétique alors:

S_{n} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots . + u_{n} = \frac{(u_{p} + u_{n}) \times (n - p + 1)}{2}

avec n⩾p⩾n₀,

S_{n} = \frac{((1 e r t e r m e + d e r n i e r t e r m e) \times (n b r e d e t e r m e s)}{2}

(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0:

S_{n} = u_{0} + u_{p + 1} + \dots . + u_{n}

⇒

S_{n} = \frac{(u_{0} + u_{n}) \times (n + 1)}{2}

Exercice:

Soit

u_{n}

une suite arithmétique

de raison

r = 6

et de premier terme

u_{1} = 1

Calculer n pour que

u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = 280

Calculer

u_{n}

pour la valeur trouvée de n.

② Suite géométrique

Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q

tel que

u_{n + 1} = q \times u_{n}

Exemple:

u_{n} = 2^{n}

: n∈ℕ

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{2^{n}} = 2^{n + 1 - n} = 2 \in ℝ

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite géométrique

de raison 2∈ℝ et son premier terme

u_{0} = 2^{0} = 1

.
Expression de un en fonctions de n (Terme général)

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite géométrique raison q∈ℝ

alors: ∀n⩾p⩾n₀,

u_{n} = u_{p} \times q^{(n - p)}

⇒ pour p=0:

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

avec n⩾0.

⇒ pour p=1:

u_{n} = u_{1} \times q^{(n - 1)}

avec n⩾1..

Somme de termes successifs d’une suite géométrique

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀

S_{n} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots . + u_{p} = \frac{1 - q^{(n - p + 1)}}{1 - q} \times u_{p}

S_{n} = \frac{1 - q^{(n b r e d e t e r m e s)}}{1 - q} \times (1 e r t e r m e)

.
pour p=0:

S_{n} = \frac{1 - q^{(n + 1)}}{1 - q} \times u_{0}

.
pour p=1:

S_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \times u_{1}

Exercice:

① Soit

(u_{n})

une suite arithmétique croissante telle que :

{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 9 \\ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 35 \end{cases}

1) Calculer le premier terme

u_{0}

et la raison r de cette suite,

puis exprimer le terme général

u_{n}

en fonction de n.

2) Soit

(v_{n})

la suite définie par:

v_{n} = 2^{u_{n}}

a) Montrer que

(v_{n})

est une suite géométrique

pour laquelle on déterminera

v_{0}

et la raison.

b) Calculer

P_{n} = v_{0} \times v_{1} \times \dots \times v_{n}

②On considère deux suites numériques définies par pour tout n de IN:

u_{n} = \frac{3^{n} - 6 n + 4}{3}

v_{n} = \frac{3^{n} + 6 n - 4}{3}

1) Soit

a_{n} = u_{n} - v_{n}

Montrer que la suite de terme général

a_{n}

est une suite arithmétique.

Calculer

a_{0} + a_{1} + \dots + a_{10}

2) Soit

b_{n} = u_{n} + v_{n}

Montrer que la suite de terme général

b_{n}

est une suite géométrique.

Calculer

b_{0} + b_{1} + \dots + b_{10}

3) En déduire les sommes :

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}

v_{0} + v_{1} + \dots + v_{10}

③ Suites du type

u_{n} = f (n)

A toute fonction f définie sur un intervalle de IR, du type ]b;+∞[ ,

on peut associer une suite (un) telle que

u_{n} = f (n)

– le sens de variation de f implique celui de la suite.
– si f est majorée, minorée, bornée sur ]b;+∞[ , il en est de même de la suite.

– si f a une limite

l

en +∞, alors la suite a aussi pour limite

l

Exemple:

monotonie et limite de:

u_{n} = \frac{n}{n ² + n}

avec

f (x) = \frac{x}{x ² + x}

v_{n} = n - l n (n)

avec f(x)=x-ln(x).

Exercice:

Étudier le comportement de la suite de terme général

u_{n}

quand n tend vers +∞.

u_{n} = \frac{5 n + 1}{2 n + 3}

u_{n} = \frac{7 n - 1}{3 n - 1}

u_{n} = \frac{5 n^{2} + 3 n + 1}{n^{2} + n + 1}

u_{n} = \frac{- 2 n^{2} + 3 n + 1}{3 n^{2} - n + 7}

u_{n} = \frac{2 n + 1}{3 n^{2} + 2 n + 1}

u_{n} = \frac{5 n^{2} + 3}{2 n + 1}

u_{n} = \frac{4 n + (- 1)^{n}}{3 n + 2}

u_{n} = \frac{2 n^{2} + (- 1)^{n} \cdot n + 1}{n^{3} + 1}

u_{n} = 2 n + 1 - \sqrt{n^{2} + n + 1}

10)

u_{n} = n + 3 - \sqrt{n^{2} - n + 1}

11)

u_{n} = \sqrt{2 n^{2} + n + 1} - \sqrt{2 n^{2} + 5}

12)

u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + n + 1}}

13)

u_{n} = \frac{\sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n + 1}}

14)

u_{n} = \frac{n + 1}{\sqrt{n + 2}} - \frac{n + 1}{\sqrt{n + 2}}

15)

u_{n} = \frac{n - \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} + n + 3}}

16)

u_{n} = \frac{10^{n} - 1}{10^{n} + 3}

④ Suites du type

u_{n + 1} = f (u_{n})

a) Représentation graphique
On trace dans un repère orthonormal, la courbe C de la fonction f.

Le réel $u_{0}$ étant donné,

– on obtient

u_{1} = f (u_{0})

comme ordonnée du point de (C) d’abscisse

u_{0}

;

soit

A_{0} (u_{0}, u_{1})

ce point.

On place

u_{1}

sur l’axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite (Δ) d’équation y = x;

le point d’intersection de (Δ) et de la droite horizontale

y = u_{1}

a pour abscisse

u_{1}

: ayant ainsi placé

u_{1}

sur l’axe des abscisses.

on obtient

u_{2} = f (u_{1})

de la même manière que

u_{1})

(voir figure)

et on continue …

Plan d’étude des suites

u_{n + 1} = f (u_{n})

Soient

(u_{n})_{n ⩾ n ₀}

une suite numérique définie par :

u_{n + 1} = f (u_{n})

.
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que

f (I) \subset I

.
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.
3)

(u_{n})_{n ⩾ n ₀}

est une suite convergente.
Aors

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l

avec

l

est la solution de l’équation : f (x) = x

(les points fixes de f ).

Exemple:
f(x)= $\frac{5 x - 4}{x + 1}$ I= [2,5]
$u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $u_{n}$ converge.
Calculer $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n}$
Ona :
* f est continue sur [2,5] ①
* f est croissante

⟶ f(2)=2 et f(5) =

\frac{21}{6}

⟶

f ([2, 5]) = [2, \frac{21}{6}]

f ([2, 5]) \subset [2, 5]

②
*

u_{n}

converge ③
Alors

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l

avec f(

l

l)

résoudre de l’équation : f (x) = x

\frac{5 x - 4}{x + 1}

=x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = 2

⑤ Suites définies par des sommes

On pose, pour tout n de IN*:

u_{n} = \sum_{k = 1}^{k = n} \frac{1}{k ²}

– Montrer que

u_{n}

est croissante.
– Montrer que pour k≥2:

\frac{1}{k ²} \leq \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}

– En déduire que

(u_{n})

est majorée par 2.

– Montrer alors la convergence de la suite

u_{n}

⑥ Suites homographiques

u_{n + 1} = \frac{a u_{n} + b}{c u_{n} + d}

avec ad-bc≠0

Soit f une fonction tel que: f x➝

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

On montre que :
– Si f(x) = x a deux solutions α et β la suite définie par:

$v_{n} = \frac{u_{n} - β}{u_{n} - α}$ est géométrique.

– Si f(x) = x a une solution unique α, la suite définie par:

v_{n} = \frac{1}{u_{n} - α}

est arithmétique.

Exemple 1.

Soit la suite (un) définie par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 2}{u_{n}}

On a : (a=1,b=2,c=1,d=0 et ad-bc=-2≠0).

la fonction f: x➝

f (x) = \frac{x + 2}{x}

– Vérifier que α=-1 et β=2 sont les solutions de f(x)=x.
– On pose:

v_{n} = \frac{u_{n} - 2}{u_{n} + 1}

Démontrer que

(v_{n})

est une suite géométrique.
– Exprimer

v_{n}

, puis

v_{n}

en fonction de n.

En déduire

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n}

Exemple 2.

Soit la suite (un) définie par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{4 u_{n} - 1}{u_{n} + 2}

On a : (a=4,b=-1,c=1,d=2 et ad-bc=9≠0).

la fonction f: x➝

f (x) = \frac{4 x - 1}{x + 2}

– Vérifier que α=1 l’unique solution de f(x)=x.
– On pose:

v_{n} = \frac{1}{u_{n} - 1}

Démontrer que

(v_{n})

est une suite arithmétique.
– Exprimer

v_{n}

, puis

v_{n}

en fonction de n.

En déduire

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n}

Exercice:

Une suite

(U_{n})

est définie par son premier terme

U_{1} = \frac{2}{7}

et par la relation:

U_{n + 1} = \frac{U_{n}}{3 - U_{n}}

(on admettra que quel que soit n de IN*,

U_{n} \neq 0

U_{n} \neq 3

1) Calculer

U_{2}

U_{3}

2) Soit

(V_{n})

la suite définie par:

V_{n} = \frac{1}{U_{n}}

Calculer

V_{1}

Montrer que pour tout n de IN,

V_{n + 1} = 3 V_{n} - \frac{1}{2}

3) Soit

(W_{n})

la suite définie par:

W_{n} = V_{n} - \frac{1}{2}

Déterminer

W_{n + 1}

en fonction de

W_{n}

et calculer le premier terme

W_{n}

Quelle est la nature de la suite

(W_{n}) ?

Calculer le terme

W_{n}

en fonction de n.

4) En déduire l’expression générale de

U_{n}

en fonction de n.

⑦ Suites adjacentes

On dit que deux suites $u_{n}$ et $v_{n}$ sont adjacentes lorsque:

* l’une est croissante et l’autre est décroissante

* la limite

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} - v_{n} = 0

Si deux suites

u_{n}

v_{n}

sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont même limite.

Exercice:

On définit les deux suites

u_{n}

v_{n}

par:

u_{0} = 1

et pour tout n de IN:

u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 2 v_{n}}{3}

v_{0} = 12

et pour tout n de IN:

v_{n + 1} = \frac{u_{n} + 3 v_{n}}{4}

– On pose

w_{n} = v_{n} - u_{n}

, pour tout n de IN.

Démontrer que

(w_{n})

est une suite géométrique

et exprimer

w_{n}

en fonction de n.
En déduire la limite de

(w_{n})

.
– Démontrer que

u_{n}

est croissante et que

v_{n}

est décroissante.

Que peut-on conclure sur les suites

u_{n}

v_{n}

.
– On pose

t_{n} = 3 u_{n} + 8 v_{n}

Démontrer que:

t_{n}

est une suite stationnaire.

En déduire la limite de

u_{n}

v_{n}

⑧ Suites du type

u_{n + 1} = (a u_{n} + b u_{n - 1})

On résoudre l’équation r²-a r- b=0:

* l’équation r²-a r- b=0 a deux racines distinctes r1 et r2,

les solutions sont de la forme:

u_{n} = α r_{1}^{n} + β r_{2}^{n}

où α et β sont des constantes.

* l’équation r²-a r- b=0 a une racine double r,

les solutions sont de la forme:

u_{n} = (α + β n) \times r_{2}^{n}

où α et β sont des constantes.

Exemples :

Etudier les suites

u_{n}

v_{n}

définies par :

u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 2}

u_{0} = u_{n} = 1

v_{n + 1} = 2 v_{n} + v_{n - 1}

v_{0} = 7

v_{1} = 3

⑨ Suites définies a l’aide d’intégrales

On pose

I_{0} = \int_{1}^{e} x d x

et pour tout n de IN*:

I_{n} = \int_{1}^{e} x l n (x)^{n} d x

a) Calculer

I_{1}

I_{2}

b) Pour tout n de IN:

établir la relation de récurrence

2 I_{n} + n I_{n - 1} = e^{2}

2) Calculer

I_{2}

3) Montrer que la suite

I_{n}

est décroissante.
4) En utilisant la relation de récurrence, montrer l’encadrement:

\frac{e ²}{n + 3} \leq I_{n} \leq \frac{e ²}{n + 2}

5)Calculer

lim_{n ⟶ + \infty} I_{n}

lim_{n ⟶ + \infty} n I_{n}

⑩ Suites extraites

*Une suite $v_{n}$ est dite extraite de la suite $u_{n}$

si elle est définie par

v_{n} = u_{n^{'}}

avec n’=g(n) où g est une application croissante de IN dans IN.

*Si la suite

u_{n}

est convergente, toute suite extraite

v_{n}

est convergente et a la même limite.

La réciproque de cette propriété est inexacte, c’est-à-dire qu’il existe des suites non convergentes dont on peut extraire des suites convergentes.

Par exemple:

la suite

u_{n} = (- 1)^{n}

n’est pas convergente,

alors que les suites extraites:

v_{n} = (- 1)^{2 n}

w_{n} = (- 1)^{2 n + 1}

sont convergentes.

⑪ Suites de nombres complexes

Une suite de nombres complexes est une application de IN dans ℂ.
Le terme général est donc un nombre complexe:

u_{n} = a_{n} + i b_{n}

où

a_{n}

∈IR ,

b_{n}

∈IR.

lim_{n ⟶ + \infty} a_{n} = a

lim_{n ⟶ + \infty} b_{n} = b

alors la suite

u_{n}

est dite convergente.