Examen Math bac 2 Science Math 2020 Pdf
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Exercice 1 (4 points )
* Exercice 2 (4.5 points )
* Exercice 3 (8.5 points )
* Exercice 4 (3 points )
* Exercice 1 ( 4 points )
Soit (m) un nombre complexe non nul.
I. On considère dans ℂ l’équation d’inconnue (z) définie par:
(( E_{ m }): z^{3}+(2-i )z^{2}+(m^{2}+ 1-2 i)z -i (m^{2}+1)= 0)
Et soit (Z_{0}; Z_{1}) et (Z_{2}) sont les solutions de l’équation (( E _{ m }))
1) Vérifier que (z_{0}=i) est une solution de l’équation (left(E_{m}right))
2) Résoudre dans ) l’équation (( E _{ m }))
3) Montrer que (|z_{1}|=|z_{2}|) si et seulement si m∊IR*
4) Sachant que (m =e ^{iθ}) avec π <θ<(frac{3π}{2}):
mettre les racines de l’équation (( E_{ m })) sous la forme exponentielle.
II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (( O;overrightarrow{u} ; overrightarrow{v}))
On considère les points A; B et M d’affixes respectives:
(z_{A}=-1+im ; z_{B}=-1-im text { et } z_{M}=m)
1) Déterminer:
l’ensemble des points M d’affixe m pour que les points A,B et M soient alignés.
2) On suppose que (mbar{m}+Re(m)≠0)
et soit (R) la transformation du plan reliant lepoint M d’affure (z) au point M ‘ d’affixe (z ‘)
avec: z ‘= iz-1
a) Montrer que:
(R) est une rotation en déterminant d’affixe de son centre Ω et une mesure de son angle.
b) Montrer que:
le nombre complexe (frac{z_{B}-m}{z_{B}-z_{A}}) est imaginaire pur si seulement si
(m×bar{m}-Im(m)=0)
c) En déduire l’ensemble des points M pour lesquels les points A; B;M et Ω sont cocycliques.
* Exercice 2 ( 4.5 points )
I- On considéré dans (Z^{2}) l’équatio (E): 13x-162y=1
1) Vérifier que le couple (25;2) est une solution particulière de (E)
2) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E)
II-On considéré dans (Z) l’équation (F): (x^{25}≡3[163])
1) Soit x une solution de l’équation (F)
a) Montrer que 163 est premier et que x et 163 sont premier entre eux
b) Montrer que : (x^{162}≡1[163])
c) Montrer que: (x ≡3^{13}[163])
2) Montrer que si l’entier x vérifié la relation (x≡3^{13}[163])
alors : (x) est une solutions de l’équation (F)
3) Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation (F) est l’ensemble des entier qui s’écrivent sous la forme 20+163k avec k∊Z
( Remarque que (3^{8}≡41[163])
III- On considère dans (Z) le système (S):
(left{begin{array}{l} x≡a[13] \ x≡b [162]end{array}right.)
1) Vérifier que (x_{0}=325 b-324a) est une solution du système (S)
2) Montrer que (x) est solution de (S) si et seulement si (x ≡x _{0}[ 2106])
* Exercice 3 ( 8.5 points )
Partie I
On considère la fonction (f) définie sur IR par (f (x)= e^{-2x}ln(1+e ^{x}))
Soit (( C _{ f }) la représentation graphique de (f) dans un repère orthonormé ((O;vec{i} ; vec{j}))
a) Montrer que:
(lim_{x➝+∞} f(x)=0,) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Calculer (lim_{x➝-∞} f(x)) et (lim _{x➝-∞} frac{f(x)}{x})
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que (f) est dérivable sur IR puis vérifier que:
∀ x∊IR; (f ‘(x)=e^{-2x}frac{e^{x}}{e^{x}+1}-2ln(1+e^{x})))
3) Soit x∊]0;+∞[ En utilisant le théorème des accroissement finis
Montrer que: (frac{t}{1+t}<ln (1+t)<t)
4) En déduire les variations de la fonction (f),
puis dresser le tableau de variation de la fonction (f).
5) Construire la courbe ((C_{f}))
Partie II
On considère la fonction (F) définie sur ((IR*_{+})) par ∀ x > 0:
(F (x)=int_{0}^{ x } f (t) dt)
1) Calculer F ‘ (x) pour tout x>0
En déduire la monotonie de F sur l’intervalle ] 0;+∞[
2) Calculer (int_{0}^{x}frac{e^{-t}}{1+e^{t}} dt)
(Remarque que (frac{1}{t(1+t)}=frac{1}{t}-frac{1}{t+1}))
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
(int_{0}^{x} e^{-2 t} ln(1+e^{t}) dt)
4) En déduire l’aire du domaine délimité par la courbe (( C _{f})) et les droites d’équations x=0 ; x=1 et y=0.
* Exercice 4 ( 3 points )
On considère la fonction (F) définie sur IR par:
(F (x)=int_{x}^{ 2x} frac{1}{sqrt{1+ t ^{2}+ t ^{4}}} d t)
1) Montrer que (F) est impaire.
2) Montrer que:
∀ x∊((IR*_{+})) ∃ (c_{x}∊] x;2x[: ;F(x)= frac{x}{sqrt{1+c_{x}^{2}+c_{x}^{4}}})
3) a) En déduire que: (left(forall x in R _{+}^{*}right) ; quad 0 leq F(x) leq frac{1}{x})
b) Calculer: (lim_{ x➝+∞}F(x)) puis en déduire (lim _{ x➝-∞} F (x ))
4) Montrer que la fonction (F) est dérivable sur IR
puis déterminer sa fonction dérivée (F ‘).
Prof. Younes Baba
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