Examen Math bac 2 Science Math 2020 Pdf
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Exercice 1 (4 points )
* Exercice 2 (4.5 points )
* Exercice 3 (8.5 points )
* Exercice 4 (3 points )
* Exercice 1 ( 4 points )
Soit \(m\) un nombre complexe non nul.
I. On considère dans ℂ l’équation d’inconnue \(z\) définie par:
\(( E_{ m }): z^{3}+(2-i )z^{2}+(m^{2}+ 1-2 i)z -i (m^{2}+1)= 0\)
Et soit \(Z_{0}; Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont les solutions de l’équation \(( E _{ m })\)
1) Vérifier que \(z_{0}=i\) est une solution de l’équation \(\left(E_{m}\right)\)
2) Résoudre dans \) l’équation \(( E _{ m })\)
3) Montrer que \(|z_{1}|=|z_{2}|\) si et seulement si m∊IR*
4) Sachant que \(m =e ^{iθ}\) avec π <θ<\(\frac{3π}{2}\):
mettre les racines de l’équation \(( E_{ m })\) sous la forme exponentielle.
II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(( O;\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})\)
On considère les points A; B et M d’affixes respectives:
\(z_{A}=-1+im ; z_{B}=-1-im \text { et } z_{M}=m\)
1) Déterminer:
l’ensemble des points M d’affixe m pour que les points A,B et M soient alignés.
2) On suppose que \(m\bar{m}+Re(m)≠0\)
et soit \(R\) la transformation du plan reliant lepoint M d’affure \(z\) au point M ‘ d’affixe \(z ‘\)
avec: z ‘= iz-1
a) Montrer que:
\(R\) est une rotation en déterminant d’affixe de son centre Ω et une mesure de son angle.
b) Montrer que:
le nombre complexe \(\frac{z_{B}-m}{z_{B}-z_{A}}\) est imaginaire pur si seulement si
\(m×\bar{m}-Im(m)=0\)
c) En déduire l’ensemble des points M pour lesquels les points A; B;M et Ω sont cocycliques.
* Exercice 2 ( 4.5 points )
I- On considéré dans \(Z^{2}\) l’équatio (E): 13x-162y=1
1) Vérifier que le couple (25;2) est une solution particulière de (E)
2) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E)
II-On considéré dans \(Z\) l’équation (F): \(x^{25}≡3[163]\)
1) Soit x une solution de l’équation (F)
a) Montrer que 163 est premier et que x et 163 sont premier entre eux
b) Montrer que : \(x^{162}≡1[163]\)
c) Montrer que: \(x ≡3^{13}[163]\)
2) Montrer que si l’entier x vérifié la relation \(x≡3^{13}[163]\)
alors : \(x\) est une solutions de l’équation (F)
3) Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation (F) est l’ensemble des entier qui s’écrivent sous la forme 20+163k avec k∊Z
( Remarque que \(3^{8}≡41[163]\)
III- On considère dans \(Z\) le système (S):
\(\left\{\begin{array}{l} x≡a[13] \\ x≡b [162]\end{array}\right.\)
1) Vérifier que \(x_{0}=325 b-324a\) est une solution du système (S)
2) Montrer que \(x\) est solution de (S) si et seulement si \(x ≡x _{0}[ 2106]\)
* Exercice 3 ( 8.5 points )
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par \(f (x)= e^{-2x}ln(1+e ^{x})\)
Soit \(( C _{ f }\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i} ; \vec{j})\)
a) Montrer que:
\(\lim_{x➝+∞} f(x)=0,\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Calculer \(\lim_{x➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que \(f\) est dérivable sur IR puis vérifier que:
∀ x∊IR; \(f ‘(x)=e^{-2x}\frac{e^{x}}{e^{x}+1}-2ln(1+e^{x}))\)
3) Soit x∊]0;+∞[ En utilisant le théorème des accroissement finis
Montrer que: \(\frac{t}{1+t}<\ln (1+t)<t\)
4) En déduire les variations de la fonction \(f\),
puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
5) Construire la courbe \((C_{f})\)
Partie II
On considère la fonction \(F\) définie sur \((IR*_{+})\) par ∀ x > 0:
\(F (x)=\int_{0}^{ x } f (t) dt\)
1) Calculer F ‘ (x) pour tout x>0
En déduire la monotonie de F sur l’intervalle ] 0;+∞[
2) Calculer \(\int_{0}^{x}\frac{e^{-t}}{1+e^{t}} dt\)
(Remarque que \(\frac{1}{t(1+t)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})\)
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
\(\int_{0}^{x} e^{-2 t} \ln(1+e^{t}) dt\)
4) En déduire l’aire du domaine délimité par la courbe \(( C _{f})\) et les droites d’équations x=0 ; x=1 et y=0.
\(F (x)=\int_{0}^{ x } f (t) dt\)
1) Calculer F ‘ (x) pour tout x>0
En déduire la monotonie de F sur l’intervalle ] 0;+∞[
2) Calculer \(\int_{0}^{x}\frac{e^{-t}}{1+e^{t}} dt\)
(Remarque que \(\frac{1}{t(1+t)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})\)
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
\(\int_{0}^{x} e^{-2 t} \ln(1+e^{t}) dt\)
4) En déduire l’aire du domaine délimité par la courbe \(( C _{f})\) et les droites d’équations x=0 ; x=1 et y=0.
* Exercice 4 ( 3 points )
On considère la fonction \(F\) définie sur IR par:
\(F (x)=\int_{x}^{ 2x} \frac{1}{\sqrt{1+ t ^{2}+ t ^{4}}} d t\)
1) Montrer que \(F\) est impaire.
2) Montrer que:
∀ x∊\((IR*_{+})\) ∃ \(c_{x}∊] x;2x[: \;F(x)= \frac{x}{\sqrt{1+c_{x}^{2}+c_{x}^{4}}}\)
3) a) En déduire que: \(\left(\forall x \in R _{+}^{*}\right) ; \quad 0 \leq F(x) \leq \frac{1}{x}\)
b) Calculer: \(\lim_{ x➝+∞}F(x)\) puis en déduire \(\lim _{ x➝-∞} F (x )\)
4) Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur IR
puis déterminer sa fonction dérivée \(F ‘\).
Prof. Younes Baba
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