Sujet maths Bac Série D 2017
* Exercice 1
Dans le cadre d’un recensement portant sur le nombre de travailleurs dans les champs d’hévéa, un agent à visité huit (8) exploitations.
Un exploitant voudrait estimer le nombre de travailleurs que prendrait une exploitation de 16 ha d’hévéa.
Pour cela, l’agent recenseur a recueilli les informations consignées dans le tableau ci -dessous.
1. Représente le nuage de points correspondant à la série statistique double (X,Y) dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On prendra sur l’axe des abscisses 1cm pour 1 travailleur et sur l’axe des ordonnées 1cm pour une superficie de 1ha.
Pour les questions 2 ), 3) , 4) et 5, les résultats seront arrondis à l’ordre 2 .
2. Justifie que le point moyen à pour couple de coordonnées (5,63 ; 7,75)
3. On note V( X ) la variance de X, V( Y ) la variance de Y
et Cov(X,Y) la covariance de X et Y.
Justifie que: V(X)=4,18 ; V (Y)=8,44 et Cov(X,Y)=5,37
4. a) Calcule le coefficient de corrélation linéaire \(r\) de la série (X,Y)
b) Interprète le résultat obtenu précédemment.
5. a) Justifie qu’une équation de la droite (D) d’ajustement de Y en X, par la méthode des moindres carrées est: y=1,28 x+0,54
b) Trace (D) sur le graphique précédent.
6. Utilise l’ajustement précédent pour répondre à la préoccupation de l’exploitant.
On donnera l’arrondi d’ordre zéro du résultat.
* Exercice 2
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (\(O;\vec{u},\vec{v}\) ).
L’unité graphique est 2 cm
1. Résous l’équation:
z ∊ℂ , z²+(1-3 i) z-4=0
2. Soit z∊ℂ On pose :
\( P(z)=z^{3}+(1-i)z^{2}+(2+2 i)z-8 i\)
a) Justifie que: P(-2 i)=0
b) Détermine les nombres complexes a et b tels que pour tout z∊ℂ :
\(P(z)=(z+2 i)(z^{2}+a z+b)\)
c) Déduis des questions précédentes les solutions de l’équation:
z∊ℂ, P(z)=0
3. Soit A, B et C les points d’affixes respectives -2 i;-2+2 i et 1+i
On note D le symétrique de A par rapport au point O.
a) Place les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C.
c) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques.
* Problème
Partie A
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par: \(f(x)=(1-x^{2}) e^{-x}\)
On note (C) la courbe représentative de \(f\)
dans le plan muni d’un repère orthonormé (\(O;\vec{i},\vec{j}\)).
L’unité graphique est 2 cm
1. a) Justifie que : \(\lim_{x ⟶+∞} f(x)=0\)
b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.
2. a) Calcule \(\lim_{x⟶-∞ } f(x)\) et \(\lim_{x⟶-∞} \frac{f(x)}{x}\)
b) Donne une interprétation graphique des résultats obtenus précédemment.
3. On suppose que \(f\) est dérivable sur IR et on note \(f ‘\) sa fonction dérivée.
a) Démontre que: \(∀x∊IR , f'(x)=(x^{2}-2x-1) e^{-x}\)
b) Justifie que:
\(∀x∊]-∞;1-\sqrt{2}[∪]1+\sqrt{2};+∞[: f ‘(x)>0\)
\(∀x∊] 1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}[: f ‘(x)<0\)
c) Dresse le tableau de variation de \(f\)
On ne calculera pas \(f(1-\sqrt{2})\) et \(f(1+\sqrt{2})\)
4. Démontre qu’une équation de la tangente (T) à (C) point d’abscisse 0 est: y=-x+1
5. Soit \(h\) la fonction définie sur IR par: \(h(x)=(1+x)e^{-x}-1\)
On suppose que \(h\) est dérivable sur IR et on note \(h’\) sa fonction dérivée.
a) Calcule \(h ‘(x)\)
b) Étudie les variations de \(h\)
c) Calcule \(h(0)\) et dresse le tableau de variation de \(h\)
On ne demande pas de calculer les limites de \(h\)
d) Justifie que ∀x∊IR: h(x)≤0
e) Vérifie que ∀x∊IR: f(x)+x-1=(1-x) h(x)
f) Déduis des questions précédentes la position relative de (C) et (T).
6. Trace la tangente (T) et la courbe (C).
On prendra: \(f(1-\sqrt{2})=1,3\) et \(f(1+\sqrt{2})=-0,4\)
Partie B
Soit λ un nombre réel de l’intervalle ]1;+∞[
A(λ) l’aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d’équations x=1 et x=λ
1. Démontre, en utilisant deux intégrations par parties, que :
\(A(λ)=(\frac{16}{e}-\frac{4(1+\lambda)^{2}}{e^{\lambda}}) cm²\)
2. Détermine la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire