Examen Math bac 2 Science Math 2020 PDF
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Exercice 1 (4 points )
* Exercice 2 (4.5 points )
* Exercice 3 (8.5 points )
* Exercice 4 (3 points )
* Exercice 1 (3.5 points )
Soit α un nombre complexe non nul.
I.
On considéré dans (C) l’équation d’inconnue z définie par:
(( E_{ α })): z²+((1-α)i-α)z+α+iα²=0
1)-a) Vérifier que le discriminant de l’équation ((E_{α})) est Δ=[(1+α) i-α]²
b) Résoudre dans (C) l’équation (( E _{α}))
2) Montrer que:
l’équation ((E _{α})) admet une unique solution
si et seulement si (α =frac{sqrt{2}}{2} e^{t frac{3 pi}{4}})
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O;vec{u};vec{v}))
On suppose que m∊(C) -{- i ; i ; 1 }
On considéré les points A,B,C et D d’affixes respectives:
(z_{A}=α ; z_{B}=iα; z_{C}=α-i et z_{D}=-i)
1) Montrer que les points A , B et C sont alignés
si et seulement si arg(α)≡(frac{3π}{4}[π])
2) On suppose que
[α=e^{i theta}avec -π<α<π et theta≠frac{3π}{4}et theta neq-frac{π}{2}]
a) Montrer que :
(frac{z c^{-α}}{z_{B}-α}=frac{sqrt{2}}{2} e^{i(frac{3π}{4}-θ)})
b) En déduire que les points A,B,C et D sont cocycliques
si et seulement si (arg(α)≡frac{π}{6}[frac{2π}{3}])
3) On suppose que (α = e ^{ i ^{2π}}),
et on considère la rotation (R) de centre D et R ( C )=B
a) Déterminer la mesure principale de l’angle de rotation (R).
b) Déterminer l’affixe
(z_{A’}) du point (A’) tel que : (R(A)=A’)
* Exercice 2 (3 points )
Soit (N) l’entier naturel dont l’écriture dans la base décimale est :
(N=underbrace{111…11}_{2020 fois })
1) Montrer que le nombre (N) est divisible par 11.
2)-a) Montrer que : (10^{2020}-1=9 N)
b) Montrer que 101 est un diviseur premier de 2020
c) Montrer que: (x^{100}≡1[101])
d) Montrer que le nombre 101 divise le nombre (N)
3) Montrer que le nombre (N) est divisible par (1111)
* Exercice 3 ( 10 points )
Partie I
Soit x∊] 0 ;+∞[ on pose (I(x)=int_{0}^{x} frac{(x-t)^{2}}{2} e^{t} d t)
1)Montrer que:
((∀x∊] 0 ;+∞[) ; 0≤I(x)≤frac{x^{3}}{6} e^{x})
2) En utilisant la méthode d’intégration par partie deux fois
montrer que: (I(x)=e^{x}-1-x-frac{x^{2}}{2})
3) En déduire que:
(lim _{x➝ 0^{+}} frac{e^{x}-1-x}{x^{2}})
Partie II
On considère la fonction (f) définie sur (R ^{+}) par
(f(x)=frac{x}{e^{x}-1} : x >0) et f (0)=1
Et Soit ((C_{f}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(( O ; vec{i} ; vec{j}))
1) a) Montrer que la fonction (f) est continue à droite en (0)
b) Calculer (lim _{x➝+∞} f(x),)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que (f) est dérivable à droite en 0,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3) a) Montrer que ∀t∊R: (;e^{t}≥t+1)
b) Déduire que ∀x∊R: (e^{-x}+x-1≥0)
4) a) Montrer que (f) est dérivable sur]0;+∞[ puis vérifier que :
∀x∊] 0 ;+∞[: f ‘(x)=(frac{(1-x) e^{x}-1}{(e^{x}-1)²})
b) En déduire que (f ) est strictement décroissante
sur l’intervalle ]0 ;+∞[
5) Construire la courbe ((C_{f}))
Partie III
Soit (( U _{n})) la suite définie par:
(U _{0}= 1) et ∀n∊N : (U_{n +1}= f (U _{n}))
1) Montrer que l’équation f ( x )= x admet une solution unique α à déterminer.
2) Montrer que:
∀x∊] 0 ;+∞[ : (|f'(x)|≤frac{1}{2})
3) Montrer que:
∀n∊N : ( |U_{ n +1}-α|≤frac{1}{2} |U_{n}-α|)
4) En déduire que la suite (( U_{n})) est convergente et calculer sa limite.
Partie IV
Soit (F) la fonction définie sur IR par ∀x∊ R*:
(F (x)=int_{x}^{2 x} f(t) d t) et (F(0)=0)
1) a) Montrer que ∀x∊ R*:
(frac{2 x^{2}}{e^{2 x}-1}≤ F(x) ≤frac{x^{2}}{e^{x}-1})
b) Montrer que la fonction (F) est dérivable en 0.
c) Calculer (lim_{x⟶-∞} F(x)) et (lim _{x⟶+∞} F(x))
2) a) Montrer que (F) est dérivable sur IR
et que ∀x∊ IR*: F'(x)=(frac{x(3-e^{x})}{e^{2 x}-1})
b) Dresser le tableau de variation de la fonction (F).
* Exercice 4 ( 3.5 points )
Soit ((I_{n})) la suite définie par ∀n∊N:
(I _{n}=int_{0}^{1} x^{n}ln(x+1)dx)
1) Calculer (I_{0})
2) Montrer que la suite ((I_{n})) est décroissante ;
et en déduire que la suite (( I_{n})) est convergente
3) a) Montrer que ∀ n∊N : (0≤ I_{n} ≤frac{ln2}{n+1})
b) En déduire la limite de la suite ((I_{n}))
4) En utilisant la méthode d’intégration par partie montrer que:
(I_{n}=frac{ln 2}{n+1}-frac{1}{n+1} int_{0}^{1} frac{x^{n+1}}{1+x} d x)
5) Montrer que: (lim_{n⟶+∞} n I_{n}=0)
Prof. Younes Baba
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Examen Math bac 2 SM 2020 Préparation 02
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