Examen Math bac 2 SM 2020 Préparation 02

Examen Math bac 2 Science Math 2020 PDF
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Exercice 1  (4 points )
* Exercice 2  (4.5 points )
* Exercice 3  (8.5 points )
* Exercice 4  (3 points )
 * Exercice 1    (3.5 points )
 
Soit α un nombre complexe non nul.
I. 
On considéré dans C l’équation d’inconnue z définie par:
(Eα): z²+((1-α)i-α)z+α+iα²=0
1)-a) Vérifier que le discriminant de l’équation (Eα) est Δ=[(1+α) i-α]²
b) Résoudre dans C l’équation (Eα)
2) Montrer que:
 l’équation (Eα) admet une unique solution 
si et seulement si α=22et3π4
II. 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u→;v→)
On suppose que m∊C -{- i ; i ; 1 }
On considéré les points A,B,C et D d’affixes respectives:
zA=α;zB=iα;zC=α−ietzD=−i
1) Montrer que les points A , B et C sont alignés 
si et seulement si arg(α)≡3π4[π]
2) On suppose que
α=eiθavec−π<α<πetθ≠3π4etθ≠−π2
a) Montrer que : 
zc−αzB−α=22ei(3π4−θ)
b) En déduire que les points A,B,C et D sont cocycliques 
si et seulement si  arg(α)≡π6[2π3]
3) On suppose que α=ei2π, 
et on considère la rotation R de centre D et R ( C )=B
a) Déterminer la mesure principale de l’angle de rotation R.
b) Déterminer l’affixe 
zA′ du point A′ tel que : R(A)=A′
 
 * Exercice 2     (3 points )
Soit N l’entier naturel dont l’écriture dans la base décimale est : 
N=111…11⏟2020fois
1) Montrer que le nombre N est divisible par 11.
2)-a) Montrer que : 102020−1=9N
b) Montrer que 101 est un diviseur premier de 2020
c) Montrer que: x100≡1[101]
d) Montrer que le nombre 101 divise le nombre N
3) Montrer que le nombre N est divisible par 1111
 
 * Exercice 3     ( 10  points )  
Partie I
Soit x∊] 0 ;+∞[ on pose I(x)=∫0x(x−t)22etdt
1)Montrer que: 
(∀x∊]0;+∞[);0≤I(x)≤x36ex
2) En utilisant la méthode d’intégration par partie deux fois 
montrer que: (I(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}\)
3) En déduire que: 
limx➝0+ex−1−xx2
 
Partie II
On considère  la fonction f définie sur R+ par 
f(x)=xex−1:x>0 et f (0)=1
Et Soit (Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé 
(O;i→;j→)
1) a) Montrer que la fonction f est continue à droite en 0
b) Calculer limx➝+∞f(x), 
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que f est dérivable à droite en 0, 
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3) a) Montrer que ∀t∊R: et≥t+1
b) Déduire que ∀x∊R:  e−x+x−1≥0
4) a) Montrer que f est dérivable sur]0;+∞[ puis vérifier que :
∀x∊] 0 ;+∞[: f ‘(x)=(1−x)ex−1(ex−1)²
b) En déduire que f est strictement décroissante 
sur l’intervalle ]0 ;+∞[
5) Construire la courbe (Cf) 
 
Partie III
Soit (Un) la suite définie par: 
U0=1 et ∀n∊N :  Un+1=f(Un)
1) Montrer que l’équation f ( x )= x admet une solution unique α à déterminer.
2) Montrer que: 
∀x∊] 0 ;+∞[ : |f′(x)|≤12
3) Montrer que: 
∀n∊N : |Un+1−α|≤12|Un−α|
4) En déduire que la suite (Un) est convergente et calculer sa limite.
 
Partie IV
Soit F la fonction définie sur IR par ∀x∊ R*:
F(x)=∫x2xf(t)dt et F(0)=0
1) a) Montrer que ∀x∊ R*:
 2x2e2x−1≤F(x)≤x2ex−1
b) Montrer que la fonction F est dérivable en 0.
c) Calculer limx⟶−∞F(x) et limx⟶+∞F(x)
2) a) Montrer que F est dérivable sur IR 
et que ∀x∊ IR*: F'(x)=x(3−ex)e2x−1
b) Dresser le tableau de variation de la fonction F.
 
 * Exercice 4     ( 3.5 points )
Soit (In) la suite définie par ∀n∊N: In=∫01xnln(x+1)dx 1) Calculer I0 2) Montrer que la suite (In) est décroissante ; et en déduire que la suite (In) est convergente 3) a) Montrer que ∀ n∊N : 0≤In≤ln2n+1 b) En déduire la limite de la suite (In) 4) En utilisant la méthode d’intégration par partie montrer que: In=ln2n+1−1n+1∫01xn+11+xdx 5) Montrer que: limn⟶+∞nIn=0
 
Prof. Younes Baba
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