Exercice 1:
On rappelle que \((C,+, x)\) est un corps commutatif
et que \(\left(M_{2}(IR),+, x\right\}\) est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle \(O=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\)
et d’untite i matrice \(I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\)
Soit \(*\) la loi de composition interne définie sur \(C\) par:
∀(x,y)∈IR²)(∀(a,b)∈IR²) ; (x+y i) *(a+b i)=xa+(x²b+a²y)i
1)
a) Montrer aue la loi \(*\) est commutative sur \(C\)
b) Montrer que la loi \(*\) est associative sur
c) Montrer que la loi \(*\) admet un élément neutre \(e\) que l’on déterminera.
d) Soit \((x, y) ∈ IR^{*}×IR\),
Montrer que le nombre complexe \(x+y i\) admet le nombre complexe
\(\frac{1}{x}-\frac{y}{x^{4}} i\) comme symétrique pour la loi \(*\)
2-
On considère le sous-ensemble \(E\) de \(C\) défini par:
E=x+y i / x ∈ IR+* ; y ∈ IR
a) Montrer que \(E\) est stable pour la loi \(*\) dans \(C\)
b) Montrer que \((E, *)\) est un groupe commutatif.
3-
On considère le sous-ensemble \(G\) de \(E\) défini par:
G=1+y i / y ∈ IR
Montrer que G est un sous-groupe de \((E,*)\)
4-
On considere 1 ‘ensemble
\(F=\left\{M(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x & y \\ 0 & x\end{array}\right) / x ∈ IR_{+}^{*} ; y ∈ IR\right\}\)
a) Montrer que \(F\) est stable pour la loi \(*\) dans \(M_{2}(IR)\)
b) Soit \(\varphi\) l’application de \(E\) vers \(F\)
qui à tout nombre complexe \(x+y i\) de \(E\) fait correspondre
la matrice \(M\left(x^{2}, y\right)=\left(\begin{array}{cc}x^{2} & y \\ 0 & x^{2}\end{array}\right)\) de \(F\)
Montrer que:
\(\varphi\) est un isomorphisme de \((E, *)\) vers \((F, x)\)
c) En déduire que \((F, x)\) est un groupe commutatif.
Exercice 2:
Soit \(m\) un nombre complexe non réel \((m ∈ C៶IR)\)
I-
On considère dans C, l’équation d’inconnue \(z\) définie par
(E): z²-(1+i)(1+m) z+2 i m=0
1-
a) Montrer que le discriminant de l’équation ( \(E\) ) est non nul.
b) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2},\) les deux solutions de 1 ‘ équation \((E)\)
2 –
On suppose dans cette question que \(m=e^{iӨ}\) avec \(0<Ө<π\)
a) Déterniner le module et un argument de \(z_{1}+z_{2}\)
b) Montrer que si \(z_{1} z_{2} ∈ IR\) alors \(z_{1}+z_{2}=2i\)
II-
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\)
On considère les points suivants :
A le point d’affixe a=1+i
B le point d’affixe b=(1+i)m,
C le point d’affixe c=1-i,
D l’image du point B par la rotation de centre O et d’angle \(\frac{π}{2}\)
\(\Omega\) le milieu du segment [CD]
1-
a) Montrer que l’affixe du point Ω est \(ω=\frac{(1-i)(1-m)}{2}\)
b) Calculer \(\frac{b-a}{ω}\)
c) En déduire que \((OΩ) \perp(AB)\)
et que AB=2OΩ
2-
I.a droite (OΩ) coupe la droite (A B) au point H d’affixe h
a) Montrer que \(\frac{h-a}{b-a}\) est un réel
et que \(\frac{h}{b-a}\) est un imaginaire pur.
b) En déduire h en fonction de m
Exercice 3:
On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient \(n\) et \(m\) deux entiers naturels vérifiant : \(n^{8}+m^{8} ≡ 0\) [2969]
1-
On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n
a) En utilisant le théorème de BEZOUT, montrer que: ∃ u ∈Z ; u×n ≡ 1[2969]
b) En déduire que : \((u×m)^{8} ≡-1[2969]\) et que \((u×m)^{2968} ≡-1[2969]\)
(On remarque que : 2968=8×371)
c) Montrer que 2969 ne divise pas \(u×m\)
d) En déduire qu’on a aussi \((u×m)^{2968} ≡ 1 [2969]\)
2-
a) En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise \(n\)
b) Montrer que:
\(n^{8}+m^{8} ≡ 0 [2969] \) ⇔ ( n ≡ 0 [2969] et m ≡ 0 [2969] )
Exercice 4:
PARTIE I :
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=4x(e^{-x}+\frac{1}{2}x-1)\)
et on note \((C)\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\)
1- Calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
2 – a) Montrer que \(f\) est dérivable sur IR et que ∀x∈IR:
f'(x)=4(e^{-x}-1)(1-x)\)
b) Etudier les variations de \(f\) sur IR,
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique rel \(α\):
dans l’intervalle \(]\frac{3}{2}, 2[\) tel que f(α)=0
(On prendra \(e^{\frac{3}{2}}=4,5\))
d) Vérifier que : \(e^{-α}=1-\frac{α}{2}\)
3-a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction \(f’\),
montrer qu’il existe un réel \(x_{0}\) de
l’intervalle ]0,1[ tel que : \(f^{« }(x_{0})=0\)
b) En appliquant le théorème des accroissements finis
à la fonction \(f^{\prime \prime},\)
montrer que:
pour tout réel \(x\) différent de \(x_{0}\) de l’intervalle \([0,1],\)
on a: \(\frac{f^{\prime \prime}(x)}{x-x_{0}}>0\)
c) En déduire que \(I(x_{0}, f(x_{0})\) est un point d’inflexion de la courbe ( \(C\) )
4-a) Etudier les branches infinies de la courbe (C)
b) Représenter graphiquement la courbe (C)
dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\)
(On prendra : |i|=|j|=1cm, f(1)=-0.5)
et. il n’est pas demandé de représenter le point \(I\) )
5-a) Vérifier que : \((∀x \in]-∞, a])\); \(f(x)≤ 0\)
b) Montrer que : \(\int_{0}^{α} f(x) dx=\frac{2}{3} α(α^{2}-3),\)
en déduire que : \(\frac{3}{2}<α≤ \sqrt{3}\)
c) Calculer en fonction de \(α,\) en cm², l’aire du domaine plan limité par la courbe (C)
et les droites d’équations respectives : \(y=0, x=0\) et \(x=α\)
PARTIE II :
On considère la suite numérique \((u)_{n∊IN}\) définie par:
\(u_{1}<α\)
\(∀n∊IN u_{n+1}=f(u_{n})+w_{n}\)
l-a) Montrer par récurrence que :
\((∀n \in \mathbb{N}) u_{n}<α\)
(utiliser la question 5-a de la Partie I)
b) En déduire que la suite \((u_{n∊IN})\) est décroissante.
2- On suppose que \(0≤ u_{0}\)
et on pose ∀x∊IR:
\(g(x)=e^{x}+\frac{1}{2} x-\frac{3}{4}\)
a) Montrer que ∀x∊IR: g(x)>0
(On prendra: \(\ln 2=0.69)\)
b) En utilisant le résultat de la question précédente,
montrer que ∀n∊IN: \(0≤ u_{n}\)
(On remarque que: \(f(x)+x=4 x g(x)\)
c) Montrer que:
la suite \((u_{n})_{n∊IN}\) est convergente.
d) Calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
3 – On suppose que \(u_{0}<0\)
a) Montrer que ∀n∊IN: \(u_{n+1}-u_{n}≤ f(u_{0})\)
b) Montrer que ∀n∊IN: \(u_{n}≤ u_{0}+n f(u_{0})\)
c) En déduire \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)