Exercice 1:
On rappelle que ((C,+, x)) est un corps commutatif
et que (left(M_{2}(IR),+, xright}) est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle (O=left(begin{array}{ll}0 & 0 \ 0 & 0end{array}right))
et d’untite i matrice (I=left(begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right))
Soit (*) la loi de composition interne définie sur (C) par:
∀(x,y)∈IR²)(∀(a,b)∈IR²) ; (x+y i) *(a+b i)=xa+(x²b+a²y)i
1)
a) Montrer aue la loi (*) est commutative sur (C)
b) Montrer que la loi (*) est associative sur
c) Montrer que la loi (*) admet un élément neutre (e) que l’on déterminera.
d) Soit ((x, y) ∈ IR^{*}×IR),
Montrer que le nombre complexe (x+y i) admet le nombre complexe
(frac{1}{x}-frac{y}{x^{4}} i) comme symétrique pour la loi (*)
2-
On considère le sous-ensemble (E) de (C) défini par:
E=x+y i / x ∈ IR+* ; y ∈ IR
a) Montrer que (E) est stable pour la loi (*) dans (C)
b) Montrer que ((E, *)) est un groupe commutatif.
3-
On considère le sous-ensemble (G) de (E) défini par:
G=1+y i / y ∈ IR
Montrer que G est un sous-groupe de ((E,*))
4-
On considere 1 ‘ensemble
(F=left{M(x, y)=left(begin{array}{cc}x & y \ 0 & xend{array}right) / x ∈ IR_{+}^{*} ; y ∈ IRright})
a) Montrer que (F) est stable pour la loi (*) dans (M_{2}(IR))
b) Soit (varphi) l’application de (E) vers (F)
qui à tout nombre complexe (x+y i) de (E) fait correspondre
la matrice (Mleft(x^{2}, yright)=left(begin{array}{cc}x^{2} & y \ 0 & x^{2}end{array}right)) de (F)
Montrer que:
(varphi) est un isomorphisme de ((E, *)) vers ((F, x))
c) En déduire que ((F, x)) est un groupe commutatif.
Exercice 2:
Soit (m) un nombre complexe non réel ((m ∈ C៶IR))
I-
On considère dans C, l’équation d’inconnue (z) définie par
(E): z²-(1+i)(1+m) z+2 i m=0
1-
a) Montrer que le discriminant de l’équation ( (E) ) est non nul.
b) Déterminer (z_{1}) et (z_{2},) les deux solutions de 1 ‘ équation ((E))
2 –
On suppose dans cette question que (m=e^{iӨ}) avec (0<Ө<π)
a) Déterniner le module et un argument de (z_{1}+z_{2})
b) Montrer que si (z_{1} z_{2} ∈ IR) alors (z_{1}+z_{2}=2i)
II-
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O;vec{u},vec{v}))
On considère les points suivants :
A le point d’affixe a=1+i
B le point d’affixe b=(1+i)m,
C le point d’affixe c=1-i,
D l’image du point B par la rotation de centre O et d’angle (frac{π}{2})
(Omega) le milieu du segment [CD]
1-
a) Montrer que l’affixe du point Ω est (ω=frac{(1-i)(1-m)}{2})
b) Calculer (frac{b-a}{ω})
c) En déduire que ((OΩ) perp(AB))
et que AB=2OΩ
2-
I.a droite (OΩ) coupe la droite (A B) au point H d’affixe h
a) Montrer que (frac{h-a}{b-a}) est un réel
et que (frac{h}{b-a}) est un imaginaire pur.
b) En déduire h en fonction de m
Exercice 3:
On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient (n) et (m) deux entiers naturels vérifiant : (n^{8}+m^{8} ≡ 0) [2969]
1-
On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n
a) En utilisant le théorème de BEZOUT, montrer que: ∃ u ∈Z ; u×n ≡ 1[2969]
b) En déduire que : ((u×m)^{8} ≡-1[2969]) et que ((u×m)^{2968} ≡-1[2969])
(On remarque que : 2968=8×371)
c) Montrer que 2969 ne divise pas (u×m)
d) En déduire qu’on a aussi ((u×m)^{2968} ≡ 1 [2969])
2-
a) En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise (n)
b) Montrer que:
(n^{8}+m^{8} ≡ 0 [2969] ) ⇔ ( n ≡ 0 [2969] et m ≡ 0 [2969] )
Exercice 4:
PARTIE I :
On considère la fonction (f) définie sur IR par:
(f(x)=4x(e^{-x}+frac{1}{2}x-1))
et on note ((C)) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((O;vec{i},vec{j}))
1- Calculer (lim _{x➝-∞} f(x)) et (lim _{x➝+∞} f(x))
2 – a) Montrer que (f) est dérivable sur IR et que ∀x∈IR:
f'(x)=4(e^{-x}-1)(1-x))
b) Etudier les variations de (f) sur IR,
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique rel (α):
dans l’intervalle (]frac{3}{2}, 2[) tel que f(α)=0
(On prendra (e^{frac{3}{2}}=4,5))
d) Vérifier que : (e^{-α}=1-frac{α}{2})
3-a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction (f’),
montrer qu’il existe un réel (x_{0}) de
l’intervalle ]0,1[ tel que : (f^{« }(x_{0})=0)
b) En appliquant le théorème des accroissements finis
à la fonction (f^{prime prime},)
montrer que:
pour tout réel (x) différent de (x_{0}) de l’intervalle ([0,1],)
on a: (frac{f^{prime prime}(x)}{x-x_{0}}>0)
c) En déduire que (I(x_{0}, f(x_{0})) est un point d’inflexion de la courbe ( (C) )
4-a) Etudier les branches infinies de la courbe (C)
b) Représenter graphiquement la courbe (C)
dans le repère ((O;vec{i},vec{j}))
(On prendra : |i|=|j|=1cm, f(1)=-0.5)
et. il n’est pas demandé de représenter le point (I) )
5-a) Vérifier que : ((∀x in]-∞, a])); (f(x)≤ 0)
b) Montrer que : (int_{0}^{α} f(x) dx=frac{2}{3} α(α^{2}-3),)
en déduire que : (frac{3}{2}<α≤ sqrt{3})
c) Calculer en fonction de (α,) en cm², l’aire du domaine plan limité par la courbe (C)
et les droites d’équations respectives : (y=0, x=0) et (x=α)
PARTIE II :
On considère la suite numérique ((u)_{n∊IN}) définie par:
(u_{1}<α)
(∀n∊IN u_{n+1}=f(u_{n})+w_{n})
l-a) Montrer par récurrence que :
((∀n in mathbb{N}) u_{n}<α)
(utiliser la question 5-a de la Partie I)
b) En déduire que la suite ((u_{n∊IN})) est décroissante.
2- On suppose que (0≤ u_{0})
et on pose ∀x∊IR:
(g(x)=e^{x}+frac{1}{2} x-frac{3}{4})
a) Montrer que ∀x∊IR: g(x)>0
(On prendra: (ln 2=0.69))
b) En utilisant le résultat de la question précédente,
montrer que ∀n∊IN: (0≤ u_{n})
(On remarque que: (f(x)+x=4 x g(x))
c) Montrer que:
la suite ((u_{n})_{n∊IN}) est convergente.
d) Calculer (lim _{n➝+∞} u_{n})
3 – On suppose que (u_{0}<0)
a) Montrer que ∀n∊IN: (u_{n+1}-u_{n}≤ f(u_{0}))
b) Montrer que ∀n∊IN: (u_{n}≤ u_{0}+n f(u_{0}))
c) En déduire (lim _{n➝+∞} u_{n})