Examen National Math 2 Bac Science Math 2019 Normale

Exercice 1:

On rappelle que $(C,+,x)$ est un corps commutatif 
et que $(M_2(IR),+,x\}$ est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle $O=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 
et d’untite i matrice $I=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
Soit $\ast$ la loi de composition interne définie sur $C$ par:
∀(x,y)∈IR²)(∀(a,b)∈IR²) ; (x+y i) *(a+b i)=xa+(x²b+a²y)i

1)

a) Montrer aue la loi $\ast$ est commutative sur $C$
b) Montrer que la loi $\ast$ est associative sur
c) Montrer que la loi $\ast$ admet un élément neutre $e$ que l’on déterminera.
d) Soit $(x,y)\in I{R}^{\ast }\times IR$, 
Montrer que le nombre complexe $x+yi$ admet le nombre complexe
$\frac{1}{x}-\frac{y}{x^4}i$ comme symétrique pour la loi $\ast$

2-

On considère le sous-ensemble $E$ de $C$ défini par: 
E=x+y i / x ∈ IR+* ; y ∈ IR
a) Montrer que $E$ est stable pour la loi $\ast$ dans $C$
b) Montrer que $(E,\ast )$ est un groupe commutatif.

3-

On considère le sous-ensemble $G$ de $E$ défini par: 
G=1+y i / y ∈ IR
Montrer que G est un sous-groupe de $(E,\ast )$

4-

On considere 1 ‘ensemble 
$F=\{M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x\end{array}\right)/x\in I{R}_{+}^{\ast };y\in IR\}$
a) Montrer que $F$ est stable pour la loi $\ast$ dans $M_2(IR)$
b) Soit $\phi$ l’application de $E$ vers $F$ 
qui à tout nombre complexe $x+yi$ de $E$ fait correspondre
la matrice $M(x^2,y)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2& y\\ 0& x^2\end{array}\right)$ de $F$
Montrer que:
$\phi$ est un isomorphisme de $(E,\ast )$ vers $(F,x)$
c) En déduire que $(F,x)$ est un groupe commutatif.

Exercice 2:

Soit $m$ un nombre complexe non réel $(m\in C៶IR)$

I-

On considère dans C, l’équation d’inconnue $z$ définie par
(E): z²-(1+i)(1+m) z+2 i m=0

1-
a) Montrer que le discriminant de l’équation ( $E$ ) est non nul.
b) Déterminer $z_1$ et $z_2,$ les deux solutions de 1 ‘ équation $(E)$

2 –
On suppose dans cette question que $m=e^{iӨ}$ avec $0<Ө<\pi$
a) Déterniner le module et un argument de $z_1+z_2$
b) Montrer que si $z_1{z}_2\in IR$ alors $z_1+z_2=2i$

II-

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
On considère les points suivants :
A le point d’affixe a=1+i
B le point d’affixe b=(1+i)m, 
C le point d’affixe c=1-i, 
D l’image du point B par la rotation de centre O et d’angle $\frac{\pi }{2}$ 
$\mathrm{\Omega }$ le milieu du segment [CD]

1-
a) Montrer que l’affixe du point Ω est $\omega =\frac{(1-i)(1-m)}{2}$
b) Calculer $\frac{b-a}{\omega }$
c) En déduire que $(O\Omega )\perp (AB)$ 
et que AB=2OΩ

2-
I.a droite (OΩ) coupe la droite (A B) au point H d’affixe h
a) Montrer que $\frac{h-a}{b-a}$ est un réel 
et que $\frac{h}{b-a}$ est un imaginaire pur.
b) En déduire h en fonction de m

Exercice 3:

On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels vérifiant : $n^8+m^8\equiv 0$ [2969]

1-
On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n
a) En utilisant le théorème de BEZOUT, montrer que: ∃ u ∈Z ; u×n ≡ 1[2969]
b) En déduire que : $(u\times m{)}^8\equiv -1[2969]$ et que $(u\times m{)}^{2968}\equiv -1[2969]$
(On remarque que : 2968=8×371)
c) Montrer que 2969 ne divise pas $u\times m$
d) En déduire qu’on a aussi $(u\times m{)}^{2968}\equiv 1[2969]$

2-
a) En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise $n$
b) Montrer que: 
$n^8+m^8\equiv 0[2969]$ ⇔ ( n ≡ 0 [2969] et m ≡ 0 [2969] )

Exercice 4:

PARTIE I : 

On considère la fonction $f$ définie sur IR par: 
$f(x)=4x(e^{-x}+\frac{1}{2}x-1)$
et on note $(C)$ sa courbe représentative 
dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1- Calculer $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$

2 – a) Montrer que $f$ est dérivable sur IR et que ∀x∈IR: 
f'(x)=4(e^{-x}-1)(1-x)\)
b) Etudier les variations de $f$ sur IR, 
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique rel $\alpha$:
dans l’intervalle $]\frac{3}{2},2[$ tel que f(α)=0
(On prendra $e^{\frac{3}{2}}=4,5$)
d) Vérifier que : $e^{-\alpha }=1-\frac{\alpha }{2}$

3-a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction $f^{\prime }$, 
montrer qu’il existe un réel $x_0$ de
l’intervalle ]0,1[ tel que : $f^{«}(x_0)=0$
b) En appliquant le théorème des accroissements finis
à la fonction $f^{\prime \prime },$
montrer que:
pour tout réel $x$ différent de $x_0$ de l’intervalle $[0,1],$ 
on a: $\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x-x_0}>0$
c) En déduire que $I(x_0,f(x_0)$ est un point d’inflexion de la courbe ( $C$ )

4-a) Etudier les branches infinies de la courbe (C)
b) Représenter graphiquement la courbe (C) 
dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
(On prendra : |i|=|j|=1cm, f(1)=-0.5)
et. il n’est pas demandé de représenter le point $I$ )
5-a) Vérifier que : $(\forall x\in ]-\infty ,a])$; $f(x)\le 0$
b) Montrer que : ${\int }_0^{\alpha }f(x)dx=\frac{2}{3}\alpha ({\alpha }^2-3),$ 
en déduire que : $\frac{3}{2}<\alpha \le \sqrt{3}$
c) Calculer en fonction de $\alpha ,$ en cm², l’aire du domaine plan limité par la courbe (C) 
et les droites d’équations respectives : $y=0,x=0$ et $x=\alpha$

PARTIE II : 

On considère la suite numérique $(u{)}_{n∊IN}$ définie par:
$u_1<\alpha$ 
$\forall n∊IN{u}_{n+1}=f(u_n)+w_n$

l-a) Montrer par récurrence que :
$(\forall n\in \mathbb{N})u_n<\alpha$ 
(utiliser la question 5-a de la Partie I) 
b) En déduire que la suite $(u_{n∊IN})$ est décroissante.

2- On suppose que $0\le u_0$ 
et on pose ∀x∊IR:
$g(x)=e^x+\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$
a) Montrer que ∀x∊IR: g(x)>0
(On prendra: $\ln 2=0.69)$
b) En utilisant le résultat de la question précédente, 
montrer que ∀n∊IN: $0\le u_n$
(On remarque que: $f(x)+x=4xg(x)$
c) Montrer que:
la suite $(u_n{)}_{n∊IN}$ est convergente.
d) Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$

3 – On suppose que $u_0<0$
a) Montrer que ∀n∊IN: $u_{n+1}-u_n\le f(u_0)$
b) Montrer que ∀n∊IN: $u_n\le u_0+nf(u_0)$
c) En déduire $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$