Suites Numériques Exercices 2 Bac Sciences Mathématiques Série 6

Exercice 1:

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0,2] par:
$f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

1)
a) Donner les variation de $f$ sur l’intervalle [0,2]
b) Montrer que si x∈[1,2] alors f(x)∈[1,2]
c) Tracer la représentation graphique de $f$
dans un R.O.N $(o, \vec{i}, \vec{j})$
(unité graphique 4cm)

2) Soit $u_{n \in I N}$ la suite définie sur IN par:
$u_{0} = 1$
$u_{n + 1} = f (u_{n}) : n > 0$
a) Construire sur l’axe des abscisses les trois
premiers termes de la suite $(u_{n})$
b) à partir du graphique que peut on conjecturer
concernant le sens de variation et la convergence de la suite $(u_{n})$

3)
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n:
$1 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 2$
c) Montrer que u converge vers $Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Exercice 2:

Soit la suite définie sur IN par:
$u_{0} = 3$
∀ n∊IN: $u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 1}$
1) Montrer par récurrence que:
la suite $(u_{n})$ est décroissante
2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est convergente
3) Calculer $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$

Exercice 3:

Soit u la suit réelle définie sur IN par:
$u_{0} = 0$
∀ n∊IN: $u_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{4-u_{n}^{2}}$

1)
a- Montrer que pour tout n∊IN on a :
$0 \leq u_{n} < \sqrt{2}$
b- Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
c- En déduire que $(u_{n})$ est convergente
et calculer sa limite

2)
Soit la suite $(v_{n})$ définie sur IN par:
$v_{n} = \frac{u_{n}^{2}}{2 - u_{n}^{2}}$
a- Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison 1
b- Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c- Retrouver la limite de $u_{n}$ lorsque $n$ tend vers +∞

3)
Pour tout n∊IN* on pose :
$: s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + \sqrt{v_{k}}}$
a- Montrer que pour tout n∊IN* :
$\frac{n}{n + \sqrt{n}} \leq s_{n} \leq \frac{n}{n + 1}$
b- En déduire:
la limite de $s_{n}$ lorsque $n$ tend vers +∞

Exercice 4:

On considère la suite définie par:
$u_{0} = 0$
pour tout n∊IN: $u_{n + 1} = \sqrt{2 u_{n} + 3}$

1)
a) A l’aide de votre calculatrice,
calculer les quatre premiers termes de cette suite.
b) Faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .

2)
On considère la fonction définie pour x∊[0;3] par:
$f (x) = \sqrt{2 x + 3}$
a) Calculer la dérivée de la fonction $f$ .
b) En déduire que la fonction $f$ est strictement
croissante sur [0;3] et dresser son tableau de variations.
Préciser les valeurs de de la fonction aux bornes de cet intervalle.
c) Démontrer que: si x∊[0;3] alors f(x)∊[0;3]
d) Démontrer par récurrence que:
pour tout entier n:
$0 \leq u_{n} \leq 3$
e) Démontrer par récurrence que:
la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
f) En déduire que:
la suite $(u_{n})$ est convergente.
g) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Nombres de Fermat

Exercice 5:

1) Pour tout entier naturel $n,$ on note:
$F_{n} = 2^{(2^{n})} + 1$ .
Calculer $F_{0}, F_{1}, F_{2}, F_{3}$
2) Démontrer par récurrence que pour tout n>1 on a:
$F_{0} \times F_{1} \times F_{2} \times \dots \times F_{n} = F_{n + 1} - 2$
3) Montrer que:
la suite $(F_{n})$ est croissante et non majorée.
Quelle est sa limite?

Exercice 6:

1) Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 0 on a:
$3^{n} \geq n^{2} (n - 1)$

2) On définit, pour n ≥ 1 la suite $(u_{n})$ par:
$u_{n} = \frac{1}{3^{1}} + \frac{2}{3^{2}} + \dots + \frac{n}{3^{n}}$
a. Quel est le sens de variation de $(u_{n})$ ?
b. Montrer par récurrence que pour tout entier k ≥ 1:
$k - (\frac{3}{2})^{k} \leq 0$
En déduire que, pour tout k ≥ 1:
$\frac{k}{3^{k}} \leq \frac{1}{2^{k}}$
puis un majorant de $u_{n}$ Que peut-on en conclure pour $(u_{n}) ?$

3) On définit pour $n \geq 1$ la suite $(v_{n})$ par $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n}$
En utilisant la question 1 ), montrer que:
$(v_{n})$ est décroissante. Quelle est la limite de $(v_{n} - u_{n})$ ?
Que peut-on en conclure pour $(v_{n})$ ?

(Les lettres de Gaston)

Exercice 7:

On définit la suite $(u_{n})$ par:
$u_{0} = 2000$
$u_{n + 1} = \frac{3}{4} u_{n} + 200$

1) Dans un repère de votre choix,
représenter les droites d’équation respectives:
$y = x$ et $y = \frac{3}{4} x + 200$
puis les premiers termes de la suite $(u_{n})$ .

2) On pose pour tout $n v_{n} = u_{n} - 800$ .
Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique.
En déduire l’expression de
$u_{n}$ en fonction de $n$ et la limite de $(u_{n})$
Au bout de combien de temps a-t-on $u_{n} < 810 ?$

3) Gaston $L$ , garçon de bureau aux éditions
Dupuis, se plaint à sa dulcinée:
« Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier
en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin »
« Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution,
vous êtes si intelligent…»
Oui, mais quelle solution,
sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros?

4) La question a. est indépendante de ce qui précède a.
Si $(x_{n})$ est une suite croissante, on définit $(y_{n})$ par:
$y_{n} = \frac{x_{0} + x_{1} \dots + x_{n}}{n + 1}$
Montrer que $(y_{n})$ est croissante
et que pour tout $n$ on a $y_{n} \leq x_{n}$
Que peut-on dire pour une suite $(x_{n})$ décroissante
(on ne justifiera pas ses affirmations).
b. On appelle $M_{n}$ la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne
sur le bureau de Gaston pendant les $n$ premiers jours
(en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres).
Exprimer $M_{n}$ en fonction de $n$
Quel est le sens de variation de $(M_{n})$ .
La suite $(M_{n})$
est-elle convergente?

Généralisation :

On considère une suite $(v_{n})$ donnée
et la suite $(u_{n})$ dont le terme général $u_{n}$ est la moyenne
arithmétique :
$u_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} v_{k}$ .
A partir du calcul des premiers termes
et d’une représentation graphique,
on demande de conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n,$
que l’on demande de démontrer.

Exercice 8:

On considère la suite $u_{n}$ définie par:
$u_{0} = a$
$u_{n + 1} = u_{n} (2 - u_{n})$
où $a$ est un réel donné avec 0<a<1

1) On suppose que $a = \frac{1}{8}$ ;
a. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
b. Tracer dans un repère orthonormal
la courbe représentative $P$ de la fonction f: f(x)=x(2-x)
ainsi que la droite $d (y = x)$
c. Utiliser $P$ et $d$ pour construire sur l’axe des abscisses les points:
$A_{1}, A_{2}, A_{3}$ d’abscisses respectives $u_{1}, u_{2}, u_{3}$

2) On suppose dans cette question que $a$ est quelconque 0<a<1
a. Montrer par récurrence que $0 < u_{n} < 1$ .
b. Montrer que $u_{n}$ est croissante.
c. Que peut-on en déduire?

3) On suppose de nouveau $a = \frac{1}{8}$
et on considère la suite $v_{n} = 1 - u_{n}$
a. Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$
b. En déduire l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .
c. Déterminer la limite de $v_{n}$ puis celle de $u_{n}$

(Suite de Syracuse)

Exercice 9:

On considère la suite $u_{n}$ définie par!
la donnée de son premier terme $u_{0} = p$
et par la relation
Si $u_{n}$ est pair:
$u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n}$
si $u_{n}$ est impair:
$u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$

1) Que devient $u_{n}$ :
pour p=1,2,3,7,8,11,27,28
Constatation(s)?

2) On appelle vol de $p$ le nombre $V (p)$ de termes de la
suite $u_{n}$ et hauteur de $p$ le nombre $H (p),$ plus grand terme de la suite $u_{n}$ .
Déterminer $V (11)$ et $H (11)$ .
2. Calculer de même $V$ et $H$ pour $p = 2^{k}$ , k entier.
Donnez un autre exemple où le calcul est simple
3. On suppose que la conjecture est vérifiée pour tous les nombres jusqu’à p
Que dire si $H (p + 1) < p$ ?
4. Les nombres entiers peuvent être rangés dans quatre groupes :
ceux de la forme 4 k de la forme 4 k+1, de la forme 4 k+2
ou de la forme 4 k+3 avec k entier.
Que pouvez-vous dire dans les trois premiers cas ?

Exercice 10:

On se propose d’étudier une suite définie par:
une relation de récurrence. Les réels $a, b$ et $c$ étant donnés,
la suite $(u_{n})$ est ici définie par:
$u_{0} = a$
$u_{n + 1} = b u_{n} - \frac{1}{3 c} (u_{n})^{3}$ pour tout entier n

1) On choisit b=c=1
Étudier les variations de la fonction $f$ définie par:
$f (t) = t - \frac{1}{3} t^{3}$ sur [0 ;+∞[
Représenter le graphe de cette fonction.
En déduire ensuite le graphe de $f$ lorsque la variable parcourt la
totalité de IR.

2) On suppose b=c=1.
À l’aide de la première bissectrice des axes tracés
dans un repère sur lequel on reproduira le graphique précédent,
définir des tracés qui permettent la détermination des quatre premiers
termes de la suite précédente
lorsque le premier terme est défini par a=1.
Quelle conclusion sur la suite vous Suggèrent ces tracés ?
À l’aide du même procédé,
décrire ce qui se passe lorsque a>1
(on ne demande pas une discussion complète).

3) On suppose encore: a=b=c=1
Montrer que la
suite $(u_{n})$ est décroissante et que tous ses termes sont positifs.
En déduire que la suite admet une limite et montrer que cette limite est nulle.

4) On suppose à présent que a=6, b=2, c=18
Déterminer le graphe de la fonction $g$ définie par:
$g (t) = 2 t - \frac{t^{3}}{54}$
Déterminer les solutions des équations g(t)=t et g(t)=0
En choisissant les unités des axes les plus grandes possibles,
dessiner la partie du graphique correspondant au cas
où la variable parcourt le segment [0;11].
Dessiner également la première bissectrice des axes
et définir des tracés qui permettent la détermination
des quatre premiers termes de la suite.
Calculer ces quatre premiers termes.
Quelles sont vos remarques en ce qui concerne le comportement de cette suite?

Exercice 11:

Soit $I$ l’intervalle [0;1].
On considère la fonction $f$
définie sur $I$ par:
$f (x) = \frac{3 x + 2}{x + 4}$ .

1) Etudier les variations de $f$ et en déduire que,
pour tout $x$ élément de I, $f (x)$ appartient à $I$ .

2) On considère la suite $(u_{n})$ définie par:
$u_{0} = 0$
$u_{n + 1} = f (u_{n}) = \frac{3 u_{n} + 2}{u_{n} + 4}$
Montrer que, pour tout $n$ entier,
$u_{n}$ appartient à $I$ .
On se propose d’étudier la suite $(u_{n})$ par deux
méthodes différentes.
Première méthode:

3)
a. Représenter graphiquement $f$ dans un repère
orthonormal d’unité graphique 10 cm
b. En utilisant le graphique précédent, placer les points
$A_{0}, A_{1}, A_{2}$ et $A_{3}$
d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives
$u_{0}, u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$
Que suggère le graphique concernant le sens de variation de
$(u_{n})$ et sa convergence ?
c. Établir la relation
$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(1 - u_{n}) (u_{n} + 2)}{u_{n} + 4}$
et en déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
d. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est convergente.
e. Prouver que la limite $l$ de la suite $(u_{n})$
vérifie $l = f (l)$ et calculer $l$ .
Deuxième méthode :
On considère la suite $(v_{n})$ définie par:
$v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$

4)
a. Prouver que:
$(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$
b. Calculer $v_{0}$ et exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
c. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$ , puis en fonction de $n$ .
d. En déduire la convergence de la suite $(u_{n})$ et sa limite $l$