Exercice 1:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par
\(f(x)=x+2-2 \sqrt{x+2}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
et montrer que \(∀x ∈D_{f}\): f(x) ≥-1
2) a-Montrer que pour tous a et b de \(D_{f}\) tels que \(a≠b\) :
\(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}-2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}\)
b- En déduire les variations de \(f\) sur [-2,-1] et sur [-1,+∞[
c- En déduire l’extremum de \(f\).
Exercice 2:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=x-\sqrt{4-x^{2}}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \((Min)_{D_{f}} f(x)=-2 \sqrt{2}\).
Exercice 3:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}}-2\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Vérifier que pour tout x de \(D_{f}\):
\(f(x)=4+\frac{(\sqrt{x}-3)^{2}}{\sqrt{x}}\)
3) En déduire que : \((Min)_{D_{f}} f(x)=4\).
Exercice 4:
Soit la fonction définie sur IR par: \(f(x)=x \sqrt{1+x^{2}}-x^{2}\).
1) Montrer que pour tout \(x\) de IR:\( \sqrt{1+x^{2}} ≥|x|\).
2) Vérifier que pour tout \(x\) de IR:
\(f(x)-\frac{1}{2}=\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{2(x+\sqrt{x^{2}+1})}\)
3) En déduire que \(f\) est majorée par \(\frac{1}{2}\)
Exercice 5:
Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{4 x+3}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
1) a- Calculer pour tout réel x:
\((4 x+3)^{2}+(3 x-4)^{2}\).
b-En déduire que pour tout réel x on a:
\((4 x+3)^{2}≤ 25(x^{2}+1)\).
2) Montrer que pour tout réel x : |f(x)|≤ 5
Exercice 6:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x,\) définie par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est bornée.
3) Etudier les variations \(f\) sur [-2,2[)sur ] 2,+∞[
Exercice 7:
Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
1) Montrer que pour tout réel x:|f(x)|<1
2) a- Vérifier que pour tout réel x:
\((f(x))^{2}=1-\frac{1}{x^{2}+1}\)
b- Vérifier que \(x\) et \(f(x)\) ont le même signe.
c- En déduire les variations de \(f\) sur ]+∞, 0] et sur [0,+∞[
Exercice 8:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\), définie par:
\(f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\)
1) a- Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
b- Montrer que \(∀x ∈ D f\): 0<f(x)≤ 1
c- Etudier les variations de \(f\) sur \(D_{f}\).
2) Soit \(g\) la fonction définie par:
\(g(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{1-x}}\)
3) a- Déterminer \(D_{g}\) l’ensemble de définition de \(g\).
b- Montrer que ∀x ∈] 0,1]: \(g(x)=f(\frac{1}{x})\)
c- En déduire les variations de \(g\) sur ] 0,1]
Exercice 9:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-x\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur ]+∞,-2].
3) a- Montrer que pour tout \(x\) de [2,+∞[: -2≤ f(x)<0
b- Vérifier que pour tous \(a\) et \(b\) de [2,+∞[ tels que \(a≠b\) On a :
\(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=-\frac{f(a)+f(b)}{\sqrt{a^{2}-4}+\sqrt{b^{2}-4}}\)
c- En déduire les variations de sur [2,+∞[
puis dresser le tableau de variations de \(f\).
Exercice 10:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x,\) définie par:
\(f(x)=\frac{1}{2}+x+\frac{1}{x^{2}+1}\)
1) a- Vérifier que pour tous \(a\) et \(b\) de IR :
\(f(a)-f(b)=\frac{(a-b)[(a-\frac{1}{2})^{2}+(b-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}+a^{2} b^{2}]}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}\)
b- En déduire que \(f\) est strictement croissante sur IR
2) En déduire que ∀x ∈[0,+∞[:
\(\frac{1}{x+2}+\sqrt{x+1} ≥ \frac{3}{2}\)
Exercice 11:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x,\) définie par:
\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\)
et étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Montrer que \(∀x ∈ D_{f}\): |f(x)|>1.
3) Soit \(g\) la fonction définie par \(∀x ∈ D_{f}\) ; g(x)=(f(x))²
a- Etudier les variations de \(g\) sur ] 1,+∞[
b- En déduire les variations de \(f\) sur ] 1,+∞[ puis sur ]+∞,-1[
Exercice 12:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x,\) par:
\(f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\)
1) a- Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
b- Etudier la parité de la fonction \(f\).
2) Soit \(g\) la fonction définie par:
\(g(x)=4+\frac{4}{x^{2}-1}\)
a- Montrer que ∀x ∈ D_{f}: g(x)=(f(x))²
b- Etudier les variations de \(g\) sur ] 1,+∞[
c- En déduire les variations de \(f\) sur ] 1,+∞[ puis sur ]+∞,-1[
Exercice 13:
Soient \(f, g\) et \(h\) les fonctions d’une variable réelle \(x,\) définie par:
\(f(x)=\frac{1}{x^{3}}(x^{3}+3 x^{2}-3 x+1)\)
\(g(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 x+1\)
\(h(x)=\frac{1}{x}\)
1) Montrer que \(g\) est strictement croissante sur IR.
2) a- Montrer que: f=goh
b- Déduire les variations de \(f\) sur ]+∞, 0[ et ] 0,+∞[
Exercice 14:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\), définie par:
\(f(x)=x^{3}+x^{2}+x\)
1) a- Montrer que ∀(x,y) ∈ IR² / x≠y :
\(2\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=2 x^{2}+2 x y+2 y^{2}+2 x+2 y+2\)
b- Déduire que \(f\) est strictement croissante sur IR
2) soit \(g\) la fonction définie:
\(g(x)=\frac{1+\sqrt{x}+x}{x \sqrt{x}}\)
a- Déterminer \(D_{g}\) l’ensemble de définition de \(g\)
et montrer que:
\(∀x ∈ D_{g}, g(x)=f(\frac{1}{\sqrt{x}})\)
b- En déduire les variations de \(g\) sur ] 0,+∞[
Exercice 15:
Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}\)
1) a- Montrer que \∀x ∈ IR: \(-1≤ f(x)≤ \frac{1}{3}\).
b- En déduire les extremums de la fonction \(f\).
2) Etudier les variations de \(f\) sur ]+∞,-1],[-1,1] et [1,+∞[
3) Soient \(g\) et \(h\) les fonctions définies par:
\(g(x)=\sqrt{x+1}\) et h(x)=(gof)(x)
Vérifier que \(h\) est définie sur IR et étudier les variations de sur IR
Exercice 16:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x,\) définie par:
\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\) et étudier sa parité.
2) Soit \(g\) la fonction définie par:
\(g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}\)
a- Vérifier que pour tout \(x ∈ D_{f}\):
\(g(x)=1+\frac{4}{x^{2}-4}\)
b- Etudier les variations de \(g\) sur ] 2,+∞[
3) En déduire les variations de \(f\) sur ]+∞,-2[ et sur ] 2,+∞[
Exercice 17:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\), définie par:
\(f(x)=\frac{|x|}{\sqrt{|x|-1}}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\) et étudier sa parité.
2) a- Montrer que pour tous \(a\) et \(b\) de \(D_{f}\) tels que \(a≠b\):
\(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{(a-1)(b-1)-1}{(a-1)(b-1)(f(a)+f(b))}\)
b- Etudier les variations de \(f\) sur ] 1,2] et sur [2,+∞[
3) En déduire les variations de \(f\) sur ]+∞,-2] et sur [-2,-1[
4) a- Dresser le tableau de variations de \(f\).
b- En déduire les extremums de \(f\)
Exercice 18:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\), définie par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}+x-2}}\)
1) a- Vérifier que pour tout réel x:
\(x^{3}+x-2=(x-1)(x^{2}+x+2)\)
b- En déduire que: \(D_{f}=]1,+∞[\).
2) a-Montrer que pour tout réel x de ]1,+∞[ on a:
\(\frac{1}{f(x)})^{2}=x^{2}-\frac{2}{x}+1\)
b- Soit \(g\) la fonction définie par:
\(g(x)=x^{2}-\frac{2}{x}+1\)
Etudier les variations de \(g\) sur ]1,+∞[
3) En déduire les variations de \(f\) sur ]1,+∞[
Exercice 19:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle x, définie par:
\(f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\)
1) a- Déterminer \(D_{f}\) et vérifier que \(∀x ∈ D_{f}\): f(x)>0
b- Montrer que \(∀x ∈ D_{f}\): \(f(x)≤ \sqrt{2}\)
2) Etudier les variations de \(f\) sur \(D_{f}\)
3) a- Montrer que \(f\) est injective de [1,+∞[ vers IR
b-Montrer que \(f\) est bijective de [1,+∞[ vers ] 0,\(\sqrt{2}]\)
et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
4) soit \(g\) la fonction définie par:
\(g(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\)
a- Déterminer \(D_{g}\) et vérifier que pour tout x de \(D_{g}\):
\(g(x)=f(\frac{1}{x})\)
b- En déduire que \(g\) est bijective de ]0,1] vers ]0,\(\sqrt{2}]\)
c- Etudier les variations de \(g\) sur ]0,1]
5) On considère les ensembles suivants:
\(E=\{(x, f(x)) / x ≥ 1\}\)
\(F=\{(\frac{y^{4}+4}{4 y^{2}}, y) / 0<y≤ \sqrt{2}\}\)
Montrer que: E=F
Exercice 20:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle x, définie par:
\(f(x)=x+\sqrt{x^{2}-x}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur [1,+∞[
et en déduire que ∀x∈[1,+∞[: f(x) ≥ 1
3) a- Montrer que ∀x∈]+∞,0]: \(f(x)<\frac{1}{2}\).
b- Vérifier quelque soient \(a\) et \(b\) distincts, de ]-∞,0] :
\(f(a)-f(b)=(a-b) \times \frac{f(a)+f(b)-1}{\sqrt{a^{2}-a}+\sqrt{b^{2}-b}}\)
c-En déduire les variations de \(f\) sur \(]-∞, 0]\)
4) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]-∞, 0]\)
a- Montrer que \(g\) est injective (utiliser en question 3 ) b).
b-Montrer que \(g\) est bijective de \(]-∞,0]\) vers \([0,\frac{1}{2}[\)
et déterminer sa bijection réciproque \(g^{-1}\)