Examen Bac 2 Physique chimie Math 2020 Normale
– 7 Juliette 2020 –
Duré de l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: Suites numériques (4 points)
Exercice 1: Suites numériques (4 points)
Exercice 2: Nombres complexes (5 points)
Exercice 3: Limites, dérivabilité et calcul intégral (4 points)
Problème: Etude d’une fonction numérique (7 points)
Exercice 3: Limites, dérivabilité et calcul intégral (4 points)
Problème: Etude d’une fonction numérique (7 points)
* Exercice 1: Suites numériques (4 points) *
Soit
\((u_{n})\) Une suite numérique définie par:
\(u_{0}=\frac{3}{2}\) et \(u_{n+1}=\frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}\) pour tout n de IN
1) Calculer \(u_{1}\). (0.25)
2) Montrer par récurrence que pour tout n de IN: \(u_{n}>0\). (0.5)
3) a) Montrer que pour tout n de IN:
1) Calculer \(u_{1}\). (0.25)
2) Montrer par récurrence que pour tout n de IN: \(u_{n}>0\). (0.5)
3) a) Montrer que pour tout n de IN:
\(0<u_{n+1} ≤\frac{2}{5} u_{n}\)
puis en déduire que pour tout n de IN:
puis en déduire que pour tout n de IN:
\(0<u_{n} ≤ \frac{3}{2}(\frac{2}{5})^{n}\). (1)
b) Calculer \(lim_{n➝+∞}u_{n}\). (0.5)
4) On considère la suite numérique \((v_{n})\) définie par:
\(v_{n}=\frac{4 u_{n}}{2 u_{n}+3}\) pour tout n de IN
a) Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{2}{5}\). (0.75)
b) Déterminer \((v_{n})\) en fonction de n
b) Déterminer \((v_{n})\) en fonction de n
et en déduire \(u_{n}\) en fonction de n pour tout n de IN. (1)
* Exercice 2: Nombres complexes (5 points) *
1) Dans I’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère 1’équation:
\((E): z^{2}-2(\sqrt{2}+\sqrt{6}) z+16=0\)
a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est \(Δ=-4(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}\). (0.5)
b) En déduire les solutions de l’équation (E). (1)
2) Soient les nombres complexes:
\(a=(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})\), \(b=1+i \sqrt{3}\)
et \(c=\sqrt{2}+i \sqrt{2}\)
a) Vérifier que \(b\bar{c}=a\) puis en déduire que \(ac=4b\). (0.75)
b) Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique. (0.5)
c) En déduire que \(a=4(cos\frac{π}{12}+isin\frac{π}{12})\). (0.5)
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
on considère les points B,C et D d’affixes respectives b,c et d
telle que \(d=a^{4}\).
Soient \(z\) d’affixe d’ un point \(M\) du plan
et \(z ‘\) l’affixe de \(M ‘\) image de \(M\) par la rotation \(R\)
de centre O et d’angle \(\frac{π}{12}\)
a) Vérifier que \(z ‘=\frac{1}{4} a z\). (0.75)
b) Déterminer l’image du point C par la rotation \(R\). (0.25)
c) Déterminer la nature du triangle OBC. (0.25)
d. Montrer que \(a^{4}=128b\)
et en déduire que les points O,B et D sont alignés. (0.75)
* Exercice 3: Limites, dérivabilité et calcul intégral (4 points) *
On considère la fonction numérique \(g\) définie sur ]0,+∞[ par:
\(g(x)=2 \sqrt{x}-2-lnx\)
1)a) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[: g ‘(x)=\(\frac{\sqrt{x}-1}{x}\). (0.5)
b) Montrer que \(g\) est croissante sur [1,+∞]. (0.5)
c) en déduire que pour tout x de [1,+∞[: 0 ≤ ln x ≤ 2\(\sqrt{x}\)
(Remarquer que \(2\sqrt{x}-2 ≤ 2\sqrt{x}\)). (0.5)
d) Montrer que pour tout x de [1,+∞[: \(0 ≤ \frac{(ln x)^{3}}{x^{2}}≤ \frac{8}{\sqrt{x}}\)
et en déduire \(\lim_{x➝+∞}\frac{(ln x)^{3}}{x^{2}}\). (1)
2) a) Montrer que la fonction
G: x➝ \(x(-1+\frac{4}{3}\sqrt{x}-ln x)\) est une primitive de \(g\) sur ]0,+∞[. (0.75)
b) Calculer l’intégrale \(\int_{1}^{4} g(x) dx\). (0.75)
* Problème: Etude d’une fonction numérique (7 points) *
On considére la fonction numérique \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=-x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2} e^{x-2}(e^{x-2}-4)\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O,\vec{i};\vec{j})\) (unité: 2cm )
1) Montrer que:
\(\lim_{x➝-∞} f(x)=+∞\) et \(\lim _{x➝+∞} f(x)=-∞\). (0.5)
2) a) Démontrer que la droite (Δ) d’équation:
\(y=-x+\frac{5}{2}\) est une asymptote à la courbe \((C)\) au voisinage de -∞. (0.5)
b) Résoudre l’équation \(e^{x-2}-4=0\)
puis montrer que:
la courbe \((C)\) est au dessus de (Δ) sur l’intervalle \(]-∞,2+ln4]\)
et en dessous de (Δ) sur l’intervalle \([2+ln 4,+∞[\). (0.75)
3) Montrer que: \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=-∞\)
puis interpréter géométriquement le résultat. (0.5)
4) a) Montrer que pour tout x\de IR: \(f ‘(x)=-(e^{x-2}-1)^{2}\). (0.5)
b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). (0.25)
5) Calculer \(f » (x)\) pour tout \(x\) de IR.
puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de \((C)\). (0.75)
6) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique α
telle que: 2+ln3<α<2+ln4. (0.5)
7) Construire(Δ) et \((C)\) dans le même repère \((O,\vec{i};\vec{j})\)
(on prend ln2≃0,7 et ln 3≃1,1). (1)
8) a) Montrer que:
la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur IR. (0.5)
b) Construire dans le môme repère \((O,\vec{i};\vec{j})\)
la courbe représentative de la fonction \(f^{-1}\). (0.75)