Examen Bac 2 Physique chimie Math 2020 Normale

– 7 Juliette 2020 –

Duré de l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: Suites numériques (4 points)

Exercice 2: Nombres complexes (5 points)
Exercice 3: Limites, dérivabilité et calcul intégral (4 points)
Problème: Etude d’une fonction numérique (7 points)

* Exercice 1: Suites numériques (4 points) *

Soit

(u_{n})

Une suite numérique définie par:

u_{0} = \frac{3}{2}

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{2 u_{n} + 5}

pour tout n de IN
1) Calculer

u_{1}

. (0.25)
2) Montrer par récurrence que pour tout n de IN:

u_{n} > 0

. (0.5)
3) a) Montrer que pour tout n de IN:

0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n}

puis en déduire que pour tout n de IN:

0 < u_{n} \leq \frac{3}{2} (\frac{2}{5})^{n}

. (1)

b) Calculer

l i m_{n ➝ + \infty} u_{n}

. (0.5)

4) On considère la suite numérique

(v_{n})

définie par:

v_{n} = \frac{4 u_{n}}{2 u_{n} + 3}

pour tout n de IN

a) Montrer que:

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

\frac{2}{5}

. (0.75)
b) Déterminer

(v_{n})

en fonction de n

et en déduire

u_{n}

en fonction de n pour tout n de IN. (1)

* Exercice 2: Nombres complexes (5 points) *

1) Dans I’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère 1’équation:

(E) : z^{2} - 2 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) z + 16 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est

Δ = - 4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})^{2}

. (0.5)

b) En déduire les solutions de l’équation (E). (1)

2) Soient les nombres complexes:

a = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i (\sqrt{6} - \sqrt{2})

b = 1 + i \sqrt{3}

c = \sqrt{2} + i \sqrt{2}

a) Vérifier que

b \bar{c} = a

puis en déduire que

a c = 4 b

. (0.75)

b) Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique. (0.5)

c) En déduire que

a = 4 (c o s \frac{π}{12} + i s i n \frac{π}{12})

. (0.5)

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère

orthonormé direct

(O, \vec{u}, \vec{v})

on considère les points B,C et D d’affixes respectives b,c et d

telle que

d = a^{4}

Soient

z

d’affixe d’ un point

M

du plan

z ‘

l’affixe de

M ‘

image de

M

par la rotation

R

de centre O et d’angle

\frac{π}{12}

a) Vérifier que

z ‘ = \frac{1}{4} a z

. (0.75)

b) Déterminer l’image du point C par la rotation

R

. (0.25)

c) Déterminer la nature du triangle OBC. (0.25)

d. Montrer que

a^{4} = 128 b

et en déduire que les points O,B et D sont alignés. (0.75)

* Exercice 3: Limites, dérivabilité et calcul intégral (4 points) *

On considère la fonction numérique

g

définie sur ]0,+∞[ par:

g (x) = 2 \sqrt{x} - 2 - l n x

1)a) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[: g ‘(x)=

\frac{\sqrt{x} - 1}{x}

. (0.5)

b) Montrer que

g

est croissante sur [1,+∞]. (0.5)

c) en déduire que pour tout x de [1,+∞[: 0 ≤ ln x ≤ 2

\sqrt{x}

(Remarquer que

2 \sqrt{x} - 2 \leq 2 \sqrt{x}

). (0.5)

d) Montrer que pour tout x de [1,+∞[:

0 \leq \frac{(l n x)^{3}}{x^{2}} \leq \frac{8}{\sqrt{x}}

et en déduire

lim_{x ➝ + \infty} \frac{(l n x)^{3}}{x^{2}}

. (1)

2) a) Montrer que la fonction

G: x➝

x (- 1 + \frac{4}{3} \sqrt{x} - l n x)

est une primitive de

g

sur ]0,+∞[. (0.75)

b) Calculer l’intégrale

\int_{1}^{4} g (x) d x

. (0.75)

* Problème: Etude d’une fonction numérique (7 points) *

On considére la fonction numérique

f

définie sur IR par:

f (x) = - x + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} e^{x - 2} (e^{x - 2} - 4)

(C)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}; \vec{j})

(unité: 2cm )

1) Montrer que:

lim_{x ➝ - \infty} f (x) = + \infty

lim_{x ➝ + \infty} f (x) = - \infty

. (0.5)

2) a) Démontrer que la droite (Δ) d’équation:

y = - x + \frac{5}{2}

est une asymptote à la courbe

(C)

au voisinage de -∞. (0.5)

b) Résoudre l’équation

e^{x - 2} - 4 = 0

puis montrer que:

la courbe

(C)

est au dessus de (Δ) sur l’intervalle

] - \infty, 2 + l n 4]

et en dessous de (Δ) sur l’intervalle

[2 + l n 4, + \infty [

. (0.75)

3) Montrer que:

lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x} = - \infty

puis interpréter géométriquement le résultat. (0.5)

4) a) Montrer que pour tout x\de IR:

f ‘ (x) = - (e^{x - 2} - 1)^{2}

. (0.5)

b) Dresser le tableau de variations de la fonction

f

. (0.25)

5) Calculer

f » (x)

pour tout

x

de IR.

puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de

(C)

. (0.75)

6) Montrer que l’équation

f (x) = 0

admet une solution unique α

telle que: 2+ln3<α<2+ln4. (0.5)

7) Construire(Δ) et

(C)

dans le même repère

(O, \vec{i}; \vec{j})

(on prend ln2≃0,7 et ln 3≃1,1). (1)

8) a) Montrer que:

la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{- 1}$ définie sur IR. (0.5)
b) Construire dans le môme repère $(O, \vec{i}; \vec{j})$
la courbe représentative de la fonction $f^{- 1}$ . (0.75)