Examen Bac 2 Economie Générale et Statistiques 2020 Normale

– 7 juillet 2020 – Session Normale

Partie I

Obligatoire: Exercice 1 et Exercice 2

* Exercice 1: (6 pts) *

Soit

(u_{n})_{n \in I N}

la suite numérique définie par:

u_{0} = 0

u_{n + 1} = \frac{1}{4} u_{n} - \frac{9}{2}

pour tout n de IN

1. Calculer

u_{1}

u_{2}

. (0.5)

2. a. Montrer par récurrence que:

pour tout n de IN,

u_{n} > - 6

. (0.75)

2. b. Montrer que pour tout n de IN:

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{- 3}{4} (u_{n} + 6)

. (0.75)

2.c. En déduire que:

(u_{n})_{n \in I N}

, est une suite décroissante. (0.25)

3. Montrer que

(u_{n})_{n \in I N}

, est une suite convergente. (0.25)

4. On pose pour tout n de IN:

v_{n} = \frac{1}{3} u_{n} + 2

4.a. Calculer

v_{0}

. (0.25)

4.b. Montrer que:

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

\frac{1}{4}

. (1)

4.c. Donner

v_{n}

en fonction de n. pour tout n de . (0.5)

5. Vérifier que pour tout n de IN:

u_{n} = 3 (v_{n} - 2)

. (0.5)

5. b. En déduire que pour tout n de IN:

u_{n} = (6 ((\frac{1}{4})^{n} - 1)

. (0.5)

5.c. Calculer

l i m_{n ➝ + \infty} u_{n}

. (0.5)

* Exercice 2: (10 pts) *

Partie A:

On considère la fonction numérique

g

définie sur ]0;+∞[ par: g(x)=x-1+ln(x)

1. Montrer que:

g ‘ (x) = 1 + \frac{1}{x}

pour tout x de ]0;+∞[. (0.5)

2. Donner le signe de g ‘(x) sur ]0;+∞[. (0.5)

3. Calculer g(1) et dresser le tableau de variations de

g

(sans calculer les limites). (1)

4. En déduire que g(x)≤0 sur ]0;1] et que g(x)≥0 sur [1;+∞[. (1)

Partie B:

On considère la fonction numérique

f

définie sur ]0;+∞[par:

f (x) = (1 - \frac{1}{x}) l n x

et soit

(C_{f})

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O; \vec{i}; \vec{j})

1. Calculer

lim_{\binom{x ➝ 0}{x > 0}} f (x)

et puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1.25)

2. Calculer

lim_{x ➝ + \infty} f (x)

lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x}

puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1.5)

3.a. Montrer que

f ‘ (x) = \frac{g (x)}{x^{2}}

pour tout x de ]0;+∞[. (1)

3.b. En déduire le signe de f ‘(x) sur ]0;1] et sur [1;+∞[. (1)

3.c. Calculer f(1) et dresser le tableau de variations de

f

. (0.75)

4. Dans ta figure ci-dessous

(C_{f})

est la courbe représentative de

f

et (D) la droite d’équation y=x-1 dans le repère orthodromie

(O; \vec{i}; \vec{j})

4.a Résoudre graphiquement sur ]0;+∞[ l’inéquation: f(x)≥x-1. (1)

4.b, Déterminer graphiquement sur ]0;+∞[

l’ensemble des solutions de l’équation: f(x)=1. (0.5)

PARTIE II :

Le candidat a le choix de répondre exclusivement:

Soit a l’exercice 3 Soit a l’exercice 4

* Exercice 3: (4 pts) *

On considère la fonction numérique

h

définie sur IR par:

h (x) = e^{x} - x - 1

1. Calculer h ‘ (x) pour tout x de . (0.5)

2. Etudier le signe de h ‘(x) sur . (1)

3. Calculer h(0) et dresser le tableau de variations de

h

(sans calculer les limites). (1.5)

4. En déduire que h(x)≥0 sur . (1)

* Exercice 4: (4 pts) *

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:

f_{1} (x) = x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

définie sur ]0;+∞[. (1)

f_{2} (x) = 2 \frac{\ln x}{x} + 2 x

définie sur ]0;+∞[. (1)

f_{3} (x) = \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

définie sur . (1)

f_{4} (x) = \frac{- 1}{x (l n x)^{2}}

définie sur ]1;+∞[. (1)

Corrigé Examen National Maths 2 Bac Eco-SGC 2020 Normale

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