Examen Math bac 2 SM 2020 Préparation 01

Examen Math bac 2 Science Math 2020 Pdf

Durée de l’épreuve 4h

L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Exercice 1  (4 points )
* Exercice 2  (4.5 points )
* Exercice 3  (8.5 points )
* Exercice 4  (3 points )
 * Exercice 1    ( 4  points )
Soit m un nombre complexe non nul.
I. On considère dans ℂ l’équation d’inconnue z définie par:
(Em):z3+(2−i)z2+(m2+1−2i)z−i(m2+1)=0
Et soit Z0;Z1 et Z2 sont les solutions de l’équation (Em)
1) Vérifier que z0=i est une solution de l’équation (Em)
2) Résoudre dans \) l’équation (Em)
3) Montrer que |z1|=|z2| si et seulement si m∊IR*
4) Sachant que m=eiθ avec π <θ<3π2:
mettre les racines de l’équation (Em) sous la forme exponentielle.
II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u→;v→)
On considère les points A; B et M d’affixes respectives:
zA=−1+im;zB=−1−im et zM=m
1) Déterminer:
 l’ensemble des points M d’affixe m pour que les points A,B et M soient alignés.
2) On suppose que mm¯+Re(m)≠0 
et soit R la transformation du plan reliant lepoint M d’affure z au point M ‘ d’affixe z‘
avec: z ‘= iz-1
a) Montrer que:
 R est une rotation en déterminant d’affixe de son centre Ω et une mesure de son angle.
b) Montrer que:
 le nombre complexe zB−mzB−zA est imaginaire pur si seulement si
m×m¯−Im(m)=0
c) En déduire l’ensemble des points M pour lesquels les points A; B;M et Ω sont cocycliques.
 
 * Exercice 2    ( 4.5  points )
I- On considéré dans Z2 l’équatio (E): 13x-162y=1
1) Vérifier que le couple (25;2) est une solution particulière de (E)
2) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E)
II-On considéré dans Z l’équation (F): x25≡3[163]
1) Soit x une solution de l’équation (F)
a) Montrer que 163 est premier et que x et 163 sont premier entre eux
b) Montrer que : x162≡1[163]
c) Montrer que: x≡313[163]
2) Montrer que si l’entier x vérifié la relation x≡313[163]
alors : x est une solutions de l’équation (F)
3) Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation (F) est l’ensemble des entier qui s’écrivent sous la forme 20+163k avec k∊Z 
( Remarque que 38≡41[163]
III- On considère dans Z le système (S):
{x≡a[13]x≡b[162]
1) Vérifier que x0=325b−324a est une solution du système (S)
2) Montrer que x est solution de (S) si et seulement si x≡x0[2106]
 
 * Exercice 3    ( 8.5  points )
Partie I
On considère la fonction f définie sur IR par f(x)=e−2xln(1+ex)
Soit (Cf la représentation graphique de f dans un repère orthonormé (O;i→;j→)
a) Montrer que:
 limx➝+∞f(x)=0, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Calculer limx➝−∞f(x) et limx➝−∞f(x)x 
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que f est dérivable sur IR puis vérifier que:
∀ x∊IR; f‘(x)=e−2xexex+1−2ln(1+ex)) 
3) Soit x∊]0;+∞[ En utilisant le théorème des accroissement finis
Montrer que: t1+t<ln⁡(1+t)<t 
4) En déduire les variations de la fonction f, 
puis dresser le tableau de variation de la fonction f.
5) Construire la courbe (Cf)
 
Partie II
On considère la fonction F définie sur (IR∗+) par ∀ x > 0:
F(x)=∫0xf(t)dt
1) Calculer F ‘ (x) pour tout x>0
En déduire la monotonie de F sur l’intervalle ] 0;+∞[
2) Calculer ∫0xe−t1+etdt
(Remarque que 1t(1+t)=1t−1t+1)
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
∫0xe−2tln⁡(1+et)dt
4) En déduire l’aire du domaine délimité par la courbe (Cf) et les droites d’équations x=0 ; x=1 et y=0.

 
 * Exercice 4     ( 3  points )
On considère la fonction F définie sur IR par: 
F(x)=∫x2x11+t2+t4dt
1) Montrer que F est impaire.
2) Montrer que: 
 ∀ x∊(IR∗+) ∃ cx∊]x;2x[:F(x)=x1+cx2+cx4
3) a) En déduire que: (∀x∈R+∗);0≤F(x)≤1x
b) Calculer: limx➝+∞F(x) puis en déduire limx➝−∞F(x)
4) Montrer que la fonction F est dérivable sur IR
puis déterminer sa fonction dérivée F‘.
Prof. Younes Baba
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