Sujet maths Bac Série D 2016
* Exercice 1
1- On considère la fonction (h) dérivable et définie sur l’intervalle ([0;1]) par:
(h(x)=2 x-x^{2})
a) Démontrer que:
(h) est strictement croissante sur l’intervalle ([0 ; 1])
b) En déduire que:
l’image de l’intervalle ([0 ; 1]) par (h) est 1 ‘intervalle ([0 ; 1])
(2-) Soit (u) la suite définie par:
(u_{0}=frac{3}{7}) et (forall n in N , u_{n+1}=hleft(u_{n}right))
a) Démontrer par récurrence que : (forall n in N , 0<u_{n}<1)
b) Démontrer que la suite (u) est croissante.
c) Justifier que la suite (u) est convergente.
3- On considère la suite (v) définie par : (forall n in N , v_{n}=ln left(1-u_{n}right))
a) Démontrer que (v) est une suite géométrique de raison 2
b) Exprimer (v_{n}) en fonction de (n)
c) Calculer la limite de la suite (v)
(d) En déduire la limite de la suite (u).
* Exercice 2
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O (; vec{u}, vec{v}) ),
(unité graphique : (2 cm) ).
On considère la transformation (mathscr{S}) du plan
qui à tout point (M) d’affixe (z,) associe le point (M) ‘ d’affixe (z^{prime})
telle que : (z^{prime}=left(1-i frac{sqrt{3}}{3}right) z+2 i frac{sqrt{3}}{3})
1- (a)) Soit (Omega) le point d’affixe 2 Vérifier que : (mathscr{S}(Omega)=Omega)
b) Justifier que (mathscr{G}) est une similitude directe
dont on précisera les éléments caractéristiques.
2- (a) ) Démontrer que: (forall z neq 2, frac{z^{prime}-z}{2-z}=i frac{sqrt{3}}{3})
b) En déduire que le triangle MOmegaM’est rectangle en M.
c) Donner un programme de construction de l’image M’ par (mathscr{S}) d’un point Monné.
3- (a) ) Placer les points (A) et (B) d’affixes respectives
(-1+i) et (5-i) dans le plan muni du repère (O (; vec{u}, vec{v}) ).
Construire les images respectives (A^{prime}) et (B^{prime}) de (A) et (B) par (mathscr{S})
b) On note (z_{A}, z_{B}, z_{A}), et (z_{B}), les affixes respectives des points (A, B, A^{prime}) et (B^{prime})
Démontrer que : (z_{A^{prime}}-z_{A}=z_{B}-z_{B^{prime}})
c) En déduire la nature du quadrilatère AA’BB’.
* Problème
Partie A
Soit (g) la fonction dérivable et définie sur (R) par (: g(x)=-1+(2-2 x) e^{-2 x+3})
1- Calculer: les limites de (g) en (-infty) et en (+infty)
2- (a) ) Soit (g) ‘ la fonction dérivée de (g).
Justifier que : (forall x in R , g^{prime}(x)=(4 x-6) e^{-2 x+3})
b) Étudier le signe de (g^{prime}(x)) suivant les valeurs de (x)
c) Justifier que: (gleft(frac{3}{2}right)=-2)
(d) Dresser le tableau de variations de (g)
3- (a) ) Démontrer que:
l’équation (g(x)=0) admet dans (R) une solution unique notée (alpha)
b) Vérifier que: (0,86<alpha<0,87)
c) Justifier que:
(forall x in]-infty ; alpha[, g(x)>0 text { et } forall x in] alpha ;+infty[, g(x)<0)
Partie B
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J),
(unité graphique : (2 cm) ).
On considère la fonction (f) dérivable et définie sur (R) par:
(f(x)=-x+left(x-frac{1}{2}right) e^{-2 x+3})
On note ((mathscr{C})) la courbe représentative de (f)
1- a) Calculer (lim _{x rightarrow-infty} f(x)) et (lim _{x rightarrow-infty} frac{f(x)}{x})
b) En déduire que:
( (mathscr{C}) ) admet une branche parabolique de direction celle de (OJ) en – (infty)
2- a) Calculer (lim _{x rightarrow+infty} frac{f(x)}{x})
b) Démontrer que:
la droite ((mathscr{D})) d’équation (y=-x) est asymptote à ((mathscr{C})) en (+infty)
c) Étudier la position de ( (mathscr{C}) ) par rapport à ( (mathscr{D}) ).
3- a) Soit (f^{prime}) la fonction dérivée de (f)
Démontrer que : (forall x in R , f^{prime}(x)=g(x))
b) En déduire les variations de (f)
c) Dresser le tableau de variations de (f). On ne calculera pas (f(alpha))
4- Construire ((mathscr{D})) et ((mathscr{C})) sur le même graphique. On précisera les points de ((mathscr{C}) d) ‘abscisses (0 ; frac{1}{2} ; frac{3}{2} ; 4) On prendra: (a=0,865) et (f(a)=0,4)
5- Soit (t) un nombre réel strictement supérieur à (frac{3}{2} .)
On désigne par (mathscr{A}(t)) l’aire en (cm ^{2}) de la partie du plan limitée par la courbe ((varphi),)
la droite ((mathscr{D})) et les droites d’équations (x=frac{3}{2}) et (x=t)
On pose (: I_{t}=int_{frac{3}{2}}^{t}left(x-frac{1}{2}right) e^{-2 x+3} d x)
a) Àl’aide d’une intégration par parties,
justifier que : (I_{t}=frac{3}{4}-frac{t}{2} e^{-2 t+3})
b) En déduire (mathscr{A}(t))
c) Calculer (lim _{t rightarrow+infty} A (t))
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