Sujet maths Bac Série D 2016

Sujet maths Bac Série D 2016
 
 * Exercice 1  

1- On considère la fonction h dérivable et définie sur l’intervalle [0;1] par: 

h(x)=2x−x2
a) Démontrer que:

 h est strictement croissante sur l’intervalle [0;1]
b) En déduire que:
l’image de l’intervalle [0;1] par h est 1 ‘intervalle [0;1]
2− Soit u la suite définie par:
u0=37 et ∀n∈N,un+1=h(un)
a) Démontrer par récurrence que : ∀n∈N,0<un<1
b) Démontrer que la suite u est croissante.
c) Justifier que la suite u est convergente.
3- On considère la suite v définie par : ∀n∈N,vn=ln⁡(1−un)
a) Démontrer que v est une suite géométrique de raison 2
b) Exprimer vn en fonction de n
c) Calculer la limite de la suite v
d En déduire la limite de la suite u.


 * Exercice 2  

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ;u→,v→ ), 

(unité graphique : 2cm ). 
On considère la transformation S du plan 
qui à tout point M d’affixe z, associe le point M ‘ d’affixe z′ 
telle que : z′=(1−i33)z+2i33
1- a) Soit Ω le point d’affixe 2 Vérifier que : S(Ω)=Ω
b) Justifier que G est une similitude directe
dont on précisera les éléments caractéristiques.
2- a ) Démontrer que: ∀z≠2,z′−z2−z=i33
b) En déduire que le triangle M\OmegaM’est rectangle en M.
c) Donner un programme de construction de l’image M’ par S d’un point Monné.
3- a ) Placer les points A et B d’affixes respectives
 −1+i et 5−i dans le plan muni du repère (O ;u→,v→ ). 
Construire les images respectives A′ et B′ de A et B par S
b) On note zA,zB,zA, et zB, les affixes respectives des points A,B,A′ et B′ 

Démontrer que : zA′−zA=zB−zB′
c) En déduire la nature du quadrilatère AA’BB’.

 
 * Problème   

Partie A
Soit g la fonction dérivable et définie sur R par :g(x)=−1+(2−2x)e−2x+3
1- Calculer: les limites de g en −∞ et en +∞

2- a ) Soit g ‘ la fonction dérivée de g. 
Justifier que : ∀x∈R,g′(x)=(4x−6)e−2x+3
b) Étudier le signe de g′(x) suivant les valeurs de x
c) Justifier que: g(32)=−2
d Dresser le tableau de variations de g
3- a ) Démontrer que:
l’équation g(x)=0 admet dans R une solution unique notée α
b) Vérifier que: 0,86<α<0,87
c) Justifier que:

 ∀x∈]−∞;α[,g(x)>0 et ∀x∈]α;+∞[,g(x)<0

Partie B
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J),

(unité graphique : 2cm ). 
On considère la fonction f dérivable et définie sur R par: 
f(x)=−x+(x−12)e−2x+3 
On note (C) la courbe représentative de f
1- a) Calculer limx→−∞f(x) et limx→−∞f(x)x
b) En déduire que:
( C ) admet une branche parabolique de direction celle de (OJ) en – ∞
2- a) Calculer limx→+∞f(x)x
b) Démontrer que:
 la droite (D) d’équation y=−x est asymptote à (C) en +∞
c) Étudier la position de ( C ) par rapport à ( D ).
3- a) Soit f′ la fonction dérivée de f 
Démontrer que : ∀x∈R,f′(x)=g(x)
b) En déduire les variations de f
c) Dresser le tableau de variations de f. On ne calculera pas f(α)
4- Construire (D) et (C) sur le même graphique. On précisera les points de (C)d ‘abscisses 0;12;32;4 On prendra: a=0,865 et f(a)=0,4
5- Soit t un nombre réel strictement supérieur à 32. 
On désigne par A(t) l’aire en cm2 de la partie du plan limitée par la courbe (φ),
la droite (D) et les droites d’équations x=32 et x=t 
On pose :It=∫32t(x−12)e−2x+3dx
a) Àl’aide d’une intégration par parties, 

justifier que : It=34−t2e−2t+3
b) En déduire A(t)
c) Calculer limt→+∞A(t)

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