Examen Math bac 2 PDF Pc Avec Correction 2017 Normal
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Géométrie dans l’espace (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Calcul des probabilités (3 points )
* Etude d’une fonction numérique, calcul intégral et suites numériques (11 points )
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Géométrie dans l’espace (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Calcul des probabilités (3 points )
* Etude d’une fonction numérique, calcul intégral et suites numériques (11 points )
* Géométrie dans l’espace (3 points )
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \(( O ,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)
on considère le plan \((P)\) passant par le point \(A(0,1,1)\)
\(\vec{u}(1,0,-1)\) est un vecteur normal à \((P)\)
la sphère \((S)\) de centre le point \(\Omega(0,1,-1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\)
1) a) Montrer que:
\(x-z+1=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\)
b) Montrer que:
le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\)
et vérifier que \(B(-1,1,0)\) est le point de contact.
2) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
passant par le point \(A\) et orthogonale au plan \((P)\)
b) Montrer que:
la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) au point \(C(1,1,0)\)
3) Montrer que:
\(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OB}=2 \vec{k}\)
et en déduire l’aire du triangle \(O C B\)
* Calcul des probabilités (3 points )
Une urne contient huit boules indiscernables au toucher portant
chacune un nombre comme indiqué sur la figure ci-contre.
On tire au hasard, simultanément, trois boules de l’urne.
1) Soit:
\(A\) l’événement: \(พ\) Parmi les trois boules tirées, aucune boule ne porte le nombre 0,
\(B\) I’événement: ( Le produit des nombres portés par les trois boules tirées est égal à 8 )
Montrer que:
\(p(A)=\frac{5}{14}\) et que \(p(B)=\frac{1}{7}\)
2) Soit \(X\) la variable aléatoire qui à chaque tirage associe
le produit des nombres portés par les trois boules tirées.
a) Montrer que: \(p(X=16)=\frac{3}{28}\)
b) Le tableau ci-dessous concerne la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)
Recopier sur votre copie et compléter le tableau en justifiant chaque réponse.
* Nombres complexes (3 points )
On considère les nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que:
\(a=\sqrt{3}+i\) et \(b=\sqrt{3}-1+(\sqrt{3}+1) i\)
1) a) Vérifier que: \(b=(1+i) a\)
b) En déduire que:
\(|b|=2 \sqrt{2}\) et que arg \(b \equiv \frac{5 \pi}{12}[2 \pi]\)
c) Déduire de ce qui précède que:
\(\cos \frac{5 \pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
On considère les points:
\(A\) et \(B\) d’affixes respectives \(a\) et \(b\) et le point \(C\) d’affixe \(c\)
telle que \(c=-1+i \sqrt{3}\)
a) Vérifier que:\(c=i a\) et en déduire que \(OA=OC\)
et que \(\overline {(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]\)
b) Montrer que:
le point \(B\) est l’image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\)
c) En déduire que: le quadrilatère \(OABC\) est un carré.
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
Partie I:
\( soit g \text { la fonction numérique définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par:
g(x)=x²+x-2+2lnx.
1) Vérifier que: \(g(1)=0\)
2) A partir du tableau de variations de la fonction \(g\) ci-dessous:
Montrer que : \(g(x) \leq 0\) pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0,1]
et que \(g(x) \geq 0\) pour tout x appartenant à l’intervalle [1,+∞[
Partie II:
On considère la fonction numérique \(f \) définie sur l’intervalle ] 0,+t[ par:
\(f(x)=x+(1-\frac{2}{x})lnx.\)
Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) (unité: 1cm )
1) Montrer que:
\(\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=+∞\) et interpréter géométriquement le résultat.
2) a) Montrer que:
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+∞\)
b) Montrer que:
la courbe \((C)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique
de direction asymptotique celle de la droite \((D)\) d’équation \(y=x\)
3) a) Montrer que:
\(f ‘(x)=\frac{g(x)}{x²}\) pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0,+∞[
b) Montrer que:
\(f\) est décroissante sur l’intervalle ] 0,1] et croissante sur l’intervalle [1,+∞[
c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle ] 0,+∞[
4) a) Résoudre dans l’intervalle \(] 0,+\infty\left[\text { l’équation }\left(1-\frac{2}{x}\right) \ln x=0\right.\)
b) En déduire que: la courbe \((C)\) coupe la droite \((D)\)
en deux points dont on déterminera les coordonnées.
c) Montrer que: \(f(x) \leq x\) pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle [1,2] et en déduire la
position relative de la courbe \((C)\) et la droite \((D)\) sur l’intervalle [1,2]
5) Construire, dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j}),\) la droite \((D)\)
et la courbe \((C)\) (On admettra que Ia courbe \((C)\) possède un seul point d’inflexion
dont l’abscisse est comprise entre } 2,4 \text { et } 2,5\rangle\)
6) a) Montrer que:
\(\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x} d x=\frac{1}{2}(\ln 2)^{2}\)
b) Montrer que:la fonction \(H: x \mapsto 2 \ln x-x\) est une fonction primitive de la fonction
\(h: x \mapsto \frac{2}{x}-1\) sur l’intervalle ] 0,+∞[
c) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que:
\(\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x}-1\right) \ln x d x=(1-\ln 2)^{2}\)
d) Calculer, en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C),\)
la droite \((D)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\)
Partie III:
On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)\) définie par:
\(u_{0}=\sqrt{3}\) et \(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout entier naturel n
1) Montrer par récurrence que:
\(1 \leq u_{n} \leq 2\) pour tout entier naturel \(n\)
2) Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante
(on pourra utiliser le résultat de la question (Partie II – 4c )
3) En déduire que:
la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente et déterminer sa limite.
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Feuille de l’examen a obtenu 20/20
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