Examen math Bac 2 SM 2020 Pdf
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Nombres Complexes
* Structures Algébriques
* Suite Numérique
* Etude d’une fonction numérique
* Nombres Complexes (2019 R)
Soit α un nombre complexe non nul.
partie II
On considère dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation d’inconnue z :
((E_{α}): z²-iαsqrt{3}z-α²=0)
1-a- Vérifier que le discriminant de ((E_{α})) est Δ=α²
b- Résoudre dans ℂ l’équation ((E_{α}))
2- Sachant que (α=|α| e^{iλ})(λ∊IR )
mettre les deux racines de l’équation ((E_{α})) sous la forme exponentielle.
partie II
On suppose que le plan complexe est rapporté
à un repère orthonormé direct ((O ; vec{u}, vec{v}))
On considère les points (Ω, M_{1}) et (M_{2}) d’affixes respectivement
(α, z_{1}=frac{1+i sqrt{3}}{2}α) et (z_{2}=frac{-1+i sqrt{3}}{2}α)
et soit (R) la rotation de centre O et d’angle (frac{π}{3})
1-a-Montrer que:
(R(Ω)=M_{1}) et que (R(M_{1})=M_{2})
b- En déduire que:
les deux triangles (OΩM_{1})) et (OM_{1}M_{2})) sont équilatéraux.
2-a- Vérifier que : (z_{1}-z_{2}=α)
b- Montrer que Les deux droites ((ΩM_{2})) et ((OM_{1})) sont orthogonales.
c- En déduire que (OΩM_{1}M_{2}) est un losange
3- Montrer que pour tout réel θ le nombre:
(Z=frac{z_{2}-α}{z_{1}-α}÷frac{z_{2}-|α| e^{iθ}}{z_{1}-|α| e^{i θ}}) est un réel.
* Structures Algébriques (2019 R)
On considère l’ espace vectoriel de dimension 2 noté ((V_{2},+, .))
Soit ((vec{i}, vec{j})) une base de (V_{2}) On pose:
(vec{e}_{1}=frac{1}{2} vec{i}+frac{1}{2} vec{j})
et (vec{e_{2}}=frac{1}{2} vec{i}-frac{1}{2} vec{j})
Soit * la loi de composition interne définie par: ∀(x,y,x’,y’)∊(R^{4})
((xvec{i}+yvec{j})*(x’vec{i}+y’vec{j})=(xx’+yy’) vec{i}+(xy’+yx’) vec{j})
1-a- Montrer que ((vec{e_{1}}, vec{e_{2}})) est une base de (V_{2})
b-Vérifier que : (vec{e_{1}}*vec{e_{1}}=vec{e_{1}} )
(vec{e_{2}}*vec{e_{2}}=vec{e_{2}})
et (vec{e_{1}}*vec{e_{2}}=vec{e_{2}}*vec{e_{1}}=vec{0})
c- Montrer que ∀(X,X’,Y,Y’)∈(R^{4}):
((X vec{e_{1}}+Y vec{e_{2}})*(X’ vec{e_{1}}+Y’vec{e_{2}})=XX’ vec{e_{1}}+Y Y’vec{e_{2}})
-a- Montrer que la loi * est commutative.
b- Montrer que la loi * est associative.
c- Montrer que la loi * admet un élément neutre.
d- Montrer que ((V_{2},+, *)) est un anneau commutatif unitaire.
– Soit (vec{u} in V_{2}-{vec{0}} .)
On note: (E_{u}={λvec{u}/λ∊R })
a- Montrer que:
((E_{vec{u}},+)) est un sous-groupe du groupe ((V_{2},+))
b- Montrer que:
((E_{u},+, .)) est un sous-espace vectoriel de l’espace ((V_{2},+, .))
c- Montrer que:
(E_{vec{n}}) stable pour *⇔ la famille ((vec{u} * vec{u}, vec{u})) est liée
– On suppose que : (∃α∈IR*) (vec{u} * vec{u}=αvec{u})
On considère l’application φ (IR*⟶E_{vec{u}}):
(x↦frac{x}{α}vec{u})
a- Montrer que:
φ est un isomorphisme de (( R*,×)) vers ((E_{vec{u}},*))
b- En déduire que ((E_{u},+, *)) est un corps commutatif.
* Suite Numérique
Soit (f) la fonction définie sur ([0,+∞[par: f(x)=(x+1) e^{-frac{x}{2}})
1) a) étudier la branche infinie de ((C)) au voisinage de (+∞)
b) étudier le sens de variation de (f) et donner son tableau de variation
2) étudier la concavité de ((C)) puis tracer la courbe
3) montrer que ∀ x∊[0,+∞[ : (f ‘(x)≤frac{1}{2})
4) montrer que l’équation f(x)=x admet une seule solution α et que 1<α <2
5) on considère la suite ((U_{n})_{n}) définie par:
(U_{0}=0) et (U_{n+1}=f(U_{n}))
a) montrer que ∀ n∊IN: (0 ≤ U_{n}<2)
b) montrer que ∀ n∊IN: (|U_{n+1}-α|≤frac{1}{2}|U_{n}-α|)
c) déduire que ((U_{n})) est convergente et (lim _{n⟶+∞} U_{n}=α).
* Analyse Fonction Logarithme (2019 R)
Partie I:
On considère la fonction g définie sur I=]-1,+∞[ par:
g(x)=1+x²-2x(1+x)ln(1+x).
1- a- Montrer que : (lim _{x⟶-1^{+}} g(x)=2)
b- Montrer que : (lim _{x⟶+∞} g(x)=-∞)
2- Montrer que (g) est dérivable sur I et que
(∀x∊I); g'(x)=-2(1+2 x)ln(1+x)
3- On donne le tableau de variations de (g) :
a-Montrer qu’il existe un réel strictement positif α unique tel que : g(α)=0
b- Vérifier que : α<1 (On prendra :ln 2=0.7)
c- En déduire que ∀x∈]-1,α[: 0<g(x)
et que: ∀x∈]α,+∞[ g(x)<0
Partie II :
On considère la fonction f définie sur I=]-1,+∞[ par:
(f(x)=frac{ln (1+x)}{1+x²}.)
Soit (C) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j}))
1-a- Calculer (lim _{x⟶-1^{+}} f(x)) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Calculer (lim _{x⟶+∞} f(x) )
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2- a- Montrer que (f) est dérivable sur I
et que ∀x∈I: (f ‘(x)=frac{g(x)}{(1+x)(1+x²)²})
b- Donner le sens de variation de (f) sur I
c- Vérifier que : (f(α)=frac{1}{2α(1+α)})
et que ∀x∈I: (f(x) ≤ frac{1}{2α(1+α)})
3-a- Donner l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0
b- Montrer que ∀x>0: ln(1+x)<x
c- En déduire que ∀ x>0: f(x)<x
d- Représenter graphiquement (T) et (C)
(On prendra: α=0.8 et (||vec{i}||=||vec{j}||=2 c m))
Partie III :
On pose (J=int_{0}^{1}f(x)dx)
1-a-En utilisant le changement de variable: (t=frac{1-x}{1+x})
montrer que: (J=frac{π}{8}ln2)
b- Déterminer, en cm² l’aire du domaine plan limité par la courbe (C),
la tangente (T), la droite d’équation x=0 et la droite d’équation x=1
2- En utilisant la méthode d’intégration par parties, calculer :
(K=int_{0}^{1} frac{arctan (x)}{1+x}d x)
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Examen Math bac 2 SM 2020 Préparation 03