Examen Bac 2 2020 Math Préparation 13

Examen Bac 2 2020 Math Préparation 13
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle  (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique    ( 3 points )
On considère la suite (un) définie par: 
{u0=6un+1=12un+13 ∀ n∊IN
1) Démontrer par récurrence que:
∀ n∊IN: un>23
2) Montrer que:
la suite (un) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente
3) Soit (vn) la suite définie par ∀ n∊IN:  vn=un−23
a) Montrer que:
la suite (vn) est une suite géométrique  de raison q=12
préciser la valeur de son premier terme v0
b) Exprimer vn en fonction de n
c) En déduire la forme explicite de la suite (un)
d) Calculer \limun
4) Calculer en fonction de n la somme Sn:
 telle que: Sn=u0+u1+…+un
 * Nombre Complexe    (3 points )
1) Résoudre dans I’ensemble C l’équation: z²-6 z+10=0 
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O,u→,v→) 
Les points A, B et C d’affixes respectives : a=3-i ; b=3+i ; c=7-3 i
2) a) vérifier que b-c=4(i-1)
b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe b-c
3) Soit M'(z’) image du point M(z)
  par la rotation R de centre A et d’angle π2
a) Montrer que z’=iz+2-4i
b) Vérifier que:
d=5+3i est l’affixe du point D image du point C par la rotation R
c) Déterminer:
 zE affixe du point E pour que le quadrilatère ADEC soit un carré.
 
 * Fonction logarithmique et exponentielle    ( 3 points )
1) Résoudre les équations suivantes:
(E1):e1−2lnx=1
(E2):x−13=3
(E3):(lnx−1)×lnx=0
2) Résoudre les inéquations suivantes:
a) e2x−1≥e
b) ln(2x−3)≤0
3) Calculer les limites suivantes:
limx➝8x3−2x−8
b) limx➝+∞3x−ex
c) limx➝0e2x−1x
4) Déterminer la fonction dérivée dans chaque cas:
f(x)=(1-lnx)²
g(x)=x2e−x+e3x
h(x)=exln(x)
K(x)=x2−5x3
 
 * Etudes de Fonctions    ( 11 points )
Partie I 
On considère la fonction numérique f définie sur IR par 
:f(x)=1−12x−2ex+1
Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé
(0,i→,j→)unite:||i→‖|=‖|j→‖|=2cm
1) a) vérifier que pour tout x de IR ; 1e−x+1=1−1ex+1
b) En déduire que f est impaire.
2) Montrer que limx➝+∞f(x)=−∞ et limx➝−∞f(x)=+∞
3)a) Montrer que:
∀ x∊IR:  f ‘(x)=−12(ex−1ex+1)²
b) Calculer f ‘(0), puis dresser le tableau de variation de la fonction f
c) En déduire que:
pour tout x∊[0,+∞[ 1−2ex+1≤12x
4) Calculer limx➝+∞[f(x)−(1−12x)] 
puis en déduire que la droite (Δ) d’équation y=−12x+1 
est une asymptote oblique à (Cf) au voisinage de +∞
5) Construire dans le même repère (0,i→,j→), la droite (Δ) et la courbe (Cf)
 
Partie II
1) a) Vérifier que pour tout x dans IR : 
1ex+1=e−xe−x+1
b) Montrer que la fonction x↦ln⁡(e−x+1) 
est une fonction primitive de la fonction x↦1ex+1

c) Montrer que:
∫−ln⁡20−1ex+1dx=ln⁡23
2) Calculer, en cm² l’aire du domine plan limité par la courbe (Cf),
la droite (Δ) et les droites d’équations x=-ln(2) et x=0

 
Partie III 
On considère la suite numérique (un) 
définie par:
 {u0=1un+1=1−2eun+1; ∀n∊N 
1) a) Démontrer par récurrence que pour tout n∊N: u_{n}>0\)
b) Montrer on utilisant le résultat de la question 3)-c) que: 
∀n∊N: un+1≤12un 
puis en déduire que:
pour tout n∊N:  un+1un≤1
c) Montrer que la suite (un) est décroissante et en déduire quelle est convergente.
2) a) Montrer que ∀n∊N: u_{n} ≤ (\frac{1}{2})^{n}\)
b) Calculer limn➝+∞un.

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