Examen Bac 2 2020 Math Préparation 13
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique ( 3 points )
On considère la suite ((u_{n})) définie par:
({begin{array}{l}u_{0}=6 \ u_{n+1}=frac{1}{2} u_{n}+frac{1}{3}end{array}) ∀ n∊IN
1) Démontrer par récurrence que:
∀ n∊IN: (u_{n}>frac{2}{3})
2) Montrer que:
la suite ((u_{n})) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente
3) Soit ((v_{n})) la suite définie par ∀ n∊IN: (v_{n}=u_{n}-frac{2}{3})
a) Montrer que:
la suite ((v_{n})) est une suite géométrique de raison (q=frac{1}{2})
préciser la valeur de son premier terme (v_{0})
b) Exprimer (v_{n}) en fonction de n
c) En déduire la forme explicite de la suite ((u_{n}))
d) Calculer (limu_{n})
4) Calculer en fonction de n la somme (S_{n}):
telle que: (S_{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n})
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans I’ensemble C l’équation: z²-6 z+10=0
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ((O, vec{u}, vec{v}))
Les points A, B et C d’affixes respectives : a=3-i ; b=3+i ; c=7-3 i
2) a) vérifier que b-c=4(i-1)
b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe b-c
3) Soit M'(z’) image du point M(z)
par la rotation (R) de centre A et d’angle (frac{π}{2})
a) Montrer que z’=iz+2-4i
b) Vérifier que:
d=5+3i est l’affixe du point D image du point C par la rotation (R)
c) Déterminer:
(z_{E}) affixe du point E pour que le quadrilatère ADEC soit un carré.
* Fonction logarithmique et exponentielle ( 3 points )
1) Résoudre les équations suivantes:
((E_{1}): e^{1-2ln x} = 1)
((E_{2}): sqrt[3]{x-1} = 3)
((E_{3}): (lnx-1)×lnx=0)
2) Résoudre les inéquations suivantes:
a) (e^{2 x-1} ≥ sqrt{e})
b) (ln(2x-3) ≤ 0)
3) Calculer les limites suivantes:
(lim_{x➝8} frac{sqrt[3]{x}-2}{x-8})
b) (lim_{x➝+∞} 3 x-e^{x})
c) (lim_{x➝0} frac{e^{2x}-1}{x})
4) Déterminer la fonction dérivée dans chaque cas:
f(x)=(1-lnx)²
g(x)=(x^{2} e^{-x}+e^{3 x})
h(x)=(e^{xln (x)})
K(x)=(sqrt[3]{x^{2}-5 x})
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Partie I
On considère la fonction numérique (f) définie sur IR par
(: f(x)=1-frac{1}{2} x-frac{2}{e^{x}+1})
Soit ((C_{f})) la courbe représentative de la fonction (f) dans un repère orthonormé
((0,vec{i},vec{j}) unite: ||vec{i}||=||vec{j}||=2 cm)
1) a) vérifier que pour tout x de IR ; (frac{1}{e^{-x}+1}=1-frac{1}{e^{x}+1})
b) En déduire que (f) est impaire.
2) Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x)=-∞) et (lim _{x➝-∞} f(x)=+∞)
3)a) Montrer que:
∀ x∊IR: f ‘(x)=(-frac{1}{2}(frac{e^{x}-1}{e^{x}+1})²)
b) Calculer f ‘(0), puis dresser le tableau de variation de la fonction (f)
c) En déduire que:
pour tout x∊[0,+∞[ (1-frac{2}{e^{x}+1} ≤ frac{1}{2}x)
4) Calculer (lim_{x➝+∞}[f(x)-(1-frac{1}{2} x)])
puis en déduire que la droite (Δ) d’équation (y=-frac{1}{2} x+1)
est une asymptote oblique à ((C_{f})) au voisinage de +∞
5) Construire dans le même repère ((0,vec{i},vec{j}),) la droite (Δ) et la courbe ((C_{f}))
Partie II
1) a) Vérifier que pour tout (x) dans IR :
(frac{1}{e^{x}+1}=frac{e^{-x}}{e^{-x}+1})
b) Montrer que la fonction (x↦ln (e^{-x}+1))
est une fonction primitive de la fonction (x↦frac{1}{e^{x}+1})
c) Montrer que:
(int_{-ln 2}^{0} frac{-1}{e^{x}+1} dx=ln frac{2}{3})
2) Calculer, en cm² l’aire du domine plan limité par la courbe ((C_{f})),
la droite (Δ) et les droites d’équations x=-ln(2) et x=0
Partie III
On considère la suite numérique ((u_{n}))
définie par:
({begin{array}{l}u_{0}=1 \ u_{n+1}=1-frac{2}{e^{u_{n}+1}}end{array};) ∀n∊N
1) a) Démontrer par récurrence que pour tout n∊N: u_{n}>0)
b) Montrer on utilisant le résultat de la question 3)-c) que:
∀n∊N: (u_{n+1} ≤ frac{1}{2} u_{n})
puis en déduire que:
pour tout n∊N: (frac{u_{n+1}}{u_{n}} ≤ 1)
c) Montrer que la suite ((u_{n})) est décroissante et en déduire quelle est convergente.
2) a) Montrer que ∀n∊N: u_{n} ≤ (frac{1}{2})^{n})
b) Calculer (lim_{n➝+∞} u_{n}).
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