Examen Bac 2 2020 Math Préparation 13
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique ( 3 points )
On considère la suite \((u_{n})\) définie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=6 \\ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n}+\frac{1}{3}\end{array}\) ∀ n∊IN
1) Démontrer par récurrence que:
∀ n∊IN: \(u_{n}>\frac{2}{3}\)
2) Montrer que:
la suite \((u_{n})\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente
3) Soit \((v_{n})\) la suite définie par ∀ n∊IN: \(v_{n}=u_{n}-\frac{2}{3}\)
a) Montrer que:
la suite \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(q=\frac{1}{2}\)
préciser la valeur de son premier terme \(v_{0}\)
b) Exprimer \(v_{n}\) en fonction de n
c) En déduire la forme explicite de la suite \((u_{n})\)
d) Calculer \(\limu_{n}\)
4) Calculer en fonction de n la somme \(S_{n}\):
telle que: \(S_{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n}\)
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans I’ensemble C l’équation: z²-6 z+10=0
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
Les points A, B et C d’affixes respectives : a=3-i ; b=3+i ; c=7-3 i
2) a) vérifier que b-c=4(i-1)
b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe b-c
3) Soit M'(z’) image du point M(z)
par la rotation \(R\) de centre A et d’angle \(\frac{π}{2}\)
a) Montrer que z’=iz+2-4i
b) Vérifier que:
d=5+3i est l’affixe du point D image du point C par la rotation \(R\)
c) Déterminer:
\(z_{E}\) affixe du point E pour que le quadrilatère ADEC soit un carré.
* Fonction logarithmique et exponentielle ( 3 points )
1) Résoudre les équations suivantes:
\((E_{1}): e^{1-2ln x} = 1\)
\((E_{2}): \sqrt[3]{x-1} = 3\)
\((E_{3}): (lnx-1)×lnx=0\)
2) Résoudre les inéquations suivantes:
a) \(e^{2 x-1} ≥ \sqrt{e}\)
b) \(ln(2x-3) ≤ 0\)
3) Calculer les limites suivantes:
\(\lim_{x➝8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
b) \(\lim_{x➝+∞} 3 x-e^{x}\)
c) \(\lim_{x➝0} \frac{e^{2x}-1}{x}\)
4) Déterminer la fonction dérivée dans chaque cas:
f(x)=(1-lnx)²
g(x)=\(x^{2} e^{-x}+e^{3 x}\)
h(x)=\(e^{xln (x)}\)
K(x)=\(\sqrt[3]{x^{2}-5 x}\)
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Partie I
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur IR par
\(: f(x)=1-\frac{1}{2} x-\frac{2}{e^{x}+1}\)
Soit \((C_{f})\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé
\((0,\vec{i},\vec{j}) unite: ||\vec{i}\||=\||\vec{j}\||=2 cm\)
1) a) vérifier que pour tout x de IR ; \(\frac{1}{e^{-x}+1}=1-\frac{1}{e^{x}+1}\)
b) En déduire que \(f\) est impaire.
2) Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x)=-∞\) et \(\lim _{x➝-∞} f(x)=+∞\)
3)a) Montrer que:
∀ x∊IR: f ‘(x)=\(-\frac{1}{2}(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1})²\)
b) Calculer f ‘(0), puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\)
c) En déduire que:
pour tout x∊[0,+∞[ \(1-\frac{2}{e^{x}+1} ≤ \frac{1}{2}x\)
4) Calculer \(\lim_{x➝+∞}[f(x)-(1-\frac{1}{2} x)]\)
puis en déduire que la droite (Δ) d’équation \(y=-\frac{1}{2} x+1\)
est une asymptote oblique à \((C_{f})\) au voisinage de +∞
5) Construire dans le même repère \((0,\vec{i},\vec{j}),\) la droite (Δ) et la courbe \((C_{f})\)
Partie II
1) a) Vérifier que pour tout \(x\) dans IR :
\(\frac{1}{e^{x}+1}=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\)
b) Montrer que la fonction \(x↦\ln (e^{-x}+1)\)
est une fonction primitive de la fonction \(x↦\frac{1}{e^{x}+1}\)
c) Montrer que:
\(\int_{-\ln 2}^{0} \frac{-1}{e^{x}+1} dx=\ln \frac{2}{3}\)
2) Calculer, en cm² l’aire du domine plan limité par la courbe \((C_{f})\),
la droite (Δ) et les droites d’équations x=-ln(2) et x=0
Partie III
On considère la suite numérique \((u_{n})\)
définie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=1-\frac{2}{e^{u_{n}+1}}\end{array};\) ∀n∊N
1) a) Démontrer par récurrence que pour tout n∊N: u_{n}>0\)
b) Montrer on utilisant le résultat de la question 3)-c) que:
∀n∊N: \(u_{n+1} ≤ \frac{1}{2} u_{n}\)
puis en déduire que:
pour tout n∊N: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}} ≤ 1\)
c) Montrer que la suite \((u_{n})\) est décroissante et en déduire quelle est convergente.
2) a) Montrer que ∀n∊N: u_{n} ≤ (\frac{1}{2})^{n}\)
b) Calculer \(\lim_{n➝+∞} u_{n}\).
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