Examen Bac 2 SM PDF Math 2018 Normal Avec Correction

Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Arithmétique (3.5 points )
* Analyse (10 points )

* Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que

(C, +, \times)

est un corps commutatif
et que

(M_{2} (R), +,)

est unanneau unitaire,
de zéro la matrice nulle

O = (\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

et d’unité la matrice

I = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

et que

(M_{2} (R), +, •)

est un espace vectoriel réel
Pour tout couple

(x, y) \in R^{2},

on pose

M (x, y) = (\begin{array}{cc} x & - 2 y \\ y & x + 2 y \end{array})

et on considère l’ensemble

E = {M (x, y) / (x, y) \in R^{2}}

1- Montrer que

E

est un sous-groupe du groupe

(M_{2} (R), +)

2- a) Montrer que

E

est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel

(M_{2} (R), +, •)

b) On pose

J = M (0, 1) .

Montrer que

(I, J)

est une base de l’espace vectoriel réel

(E, +, •)

3- a) Montrer que

E

est une partie stable de

(M_{2} (R), \times)

b) Montrer que

(E, +, x)

est un anneau commutatif
4- Soit

φ

l’application de

C^{*}

vers

M_{2} (R)

définie par:

(\forall (x, y) \in R^{2} - {(0, 0)}); φ (x + i y) = M (x + y, - y) = (\begin{array}{cc} x + y & 2 y \\ - y & x - y \end{array})

a) Montrer que

φ

est un homomorphisme de

(C^{*}, x)

vers

(M_{2} (R), x)

b) On pose

E^{*} = E - {O} .

Montrer que

φ (C^{*}) = E^{*}

c) En déduire que

(E^{*}, \times)

est un groupe commutatif

5 -

Montrer que

(E, +, x)

est un groupe commutatif.

* Arithmétique (3 points )

Soit $p$ un nombre premier tel que : $p = 3 + 4 k (k \in N^{*})$
1- Montrer que pour tout entier relatif $x,$ si $x^{2} \equiv 1 [p]$ alors $x^{p - 5} \equiv 1 [p]$
2- Soit $x$ un entier relatif vérifiant : $x^{p - s} \equiv 1 [p]$
a) Montrer que $x$ et $p$ sont premiers entre eux
b) Montrer que : $x^{p - 1} \equiv 1 [p]$
c) Vérifier que : $2 + (k - 1) (p - 1) = k (p - 5)$
d) En déduire que : $x^{2} \equiv 1 [p]$
3- Résoudre dans Zl’équation : $x^{62} \equiv 1 [67]$

* Nombres Complexes (3.5 points )

Soit $m$ un nombre complexe.
I- On considère dans l’ensemble complexes $C$

l’équation

(E_{m})

d’inconnue

z :

z^{2} + (i m + 2) z + i m + 2 - m = 0

1- a) Vérifier que

Δ = (i m - 2 i)^{2}

est le discriminant de l’équation

(E_{m})

b) Donner, suivant les valeurs de

m,

l’ensemble des solutions de l’équation

(E_{m})

2- Pour

m = i \sqrt{2},

écrire les deux racines de l’équation

(E_{m})

sous la forme
exponentielle.
II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{u}, \vec{v})

On considère les points

A, Ω, M

M^{'} d

‘affixes

respectifs

a = - 1 - i, ω = i

m

et m^{'} = - i m - 1 + i

1- Soit

R

la rotation d’angle

- \frac{π}{2}

qui transforme

M

M^{'}

a) Vérifier que

Ω

est le centre de

R

b) Déterminer l’affixe

b

B

, où

B

est le point tel que :

A = R (B)

2- a) Vérifier que :

m^{'} - a = \frac{ω - a}{ω - b} (m - b)

b) En déduire que les points

A, M

M^{'}

sont alignés si et seulement si les points

A

B, Ω

M

sont cocycliques
c) Montrer que l’ensemble des points

M

tel que les points

A, M

M^{'}

soient alignés Est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

* Analyse (7.5 points )

1- a) Montrer que : $(\forall x \in] 0, + \infty [); \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t} d t = x - \ln (1 + x)$
b) En utilisant le changement de variable $u = t^{2},$ montrer que :
$(\forall x \in] 0, + \infty [); \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t} d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + \sqrt{u}} d u$
c) En déduire que : $(\forall x \in] 0, + \infty [); \frac{1}{2 (1 + x)} \leq \frac{x - \ln (1 + x)}{x^{2}} \leq \frac{1}{2}$
2- Déterminer $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x - \ln (1 + x)}{x^{2}}$
Partie II :
On considère la fonction $f définie sur] 0, + \infty [: {\begin{matrix} f (x) = (\frac{x + 1}{x}) \ln (1 + x); x \neq 0 \\ f (0) = 1 \end{matrix}$
et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$
1- a) Montrer que: