Examen Bac 2 SM PDF Math 2017 Normal Avec Correction

Examen Bac 2 SM  PDF Math  2017 Normal Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:  * Structures Algébriques (3.5 points ) * Nombres complexes (3.5 points ) * Arithmétique (3 points ) * Analyse  (10 points )
 * Structures Algébriques   (3.5 points ) On rappelle que (C,+,x) est un corps commutatif et (M3(IR),+,x) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre dont le zéro est la matrice nulle 0 et dont l’unité est la matrice identique I et que (M3(IR),+,) est un espace vectoriel réel. On pose A=(100110111) et M(a,b)=(abb000baa) et pour tout couple (a,b)IR2 On considère l’ensemble E={M(a,b)/(a,b)IR2} 1) Montrer que E est un sous-groupe de (M3(IR),+) 2) On définit sur M3( IR ) la loi de composition interne « T » par: ((a,b)IR2)((c,d)IR2);M(a,b)TM(c,d)=M(a,b)×A×M(c,d) Montrer que E est une partie stable de (M2(IR),T) 3) On considère l’application φ de C vers E définie par: ((x,y)IR2);φ(x+iy)=M(x,y) et On pose E=E{M(0,0)} a) Montrer que φ est un homomorphisme de (C,×) vers (E,T) et que φ(C)=E b) En déduire que (E,T) est un groupe commutatif dont on déterminera l’élément neutre J 4) a) Montrer que la loi T est distributive par rapport à la loi « + » dans E. b) En déduire que (E,+,T) est un corps commutatif.  * Nombres Complexes    (3.5 points ) Soit m un nombre complexe non nul. Partie I: On considère dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation (Em) d’inconnue z : (E) :2z22(m+1+i)z+m2+(1+i)m+i=0 1) Vérifier que le discriminant de l’équation (E m ) est Δ=(2im)2 2) Résoudre dans C l’équation (E m ). rtie Π: le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (o,e1,e2) On suppose que mC{0,1,i} et on pose : z1=1+i2(m+1) et z2=1i2(m+i) On considère les points A,B,M,M1 et M2 d’affixes respectifs 1,i,m,z1 et z2 1) a) Vérifier que : z1=iz2+1 bontrer que M1 est 1 ‘image de M2 par la rotation de centre Ω d’affixe ω=1+i2 et d’angle π2 2) Vérifier que : z2mz1m=im1mi 3) Montrer que si les points M et M1 et M2 sont alignés, alors le point M appartient au cercle ( Γ ) dont l’un des diamètres est le segment [AB] Déterminer l’ensemble des points M tels que les points Ω,M,M1 et M2 sont cocycliques.  (remarquer que : z1ωz2ω=i)  
* Arithmétique   (3 points )
On admet que le nombre 2017 est premier et que 2016=25327 Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5 1) Soit le couple (x,y) de IN×IN tel que :px+yp1=2017 a) Vérifier que : p<2017 b) Montrer que: p ne divise pas y c) Montrer que : yp11[p] puis en déduire que p divise 2016 d) Montrer que : p=7 2) Déterminer, suivant les valeurs de p, les couple (x,y) de IN× IN vérifiant : px+yp1=2017  * Analyse   (10 points ) Partie :I Soit la fonction f définie sur l’intervalle I=[0,+[ par: f(0)=0etf(x)=(1+1x)e1x;(x>0) (Cf) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i;j) unité 2cm 1) a) Montrer que la fonction f est continue à droite au point 0.0,25 pes b) Montrer que la fonction f est dérivable à droite au point 0. o,spes c) Montrer que f est dérivable sur ]0,+[, puis calculer f(x) pour tout x]0,+[.0,5pps  2) a) Calculer limx+f(x), puis interpréter analytiquement le résultat obtenu. 0,5 pess b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 0,25 pts 3) a) Montrer que la courbe (Cf) admet un point d’inflexion A qu’on déterminera. 0,75 pts b) Tracer la courbe (Cf) ( On prendra f(1)0,7 et 4e30,2) o, p Partie : II Soit la fonction F définie sur [0,+[ par :F(x)=x1f(t)dt 1) Montrer que F est continue sur [0,+[.0,25 pts  2) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que: (x]0,+[);x1e1tdt=e1xe1xx11te1tdt b) Déterminer : x1(1+1t)e1t dt pour tout x de ]0,+[0,25] c) Montrer que : 01f(x)dx=e10,5 pts 3) Calculer en cm2 l’aire du domaine délimité par la courbe (Cf) et les droites d’équations respectives, x=0 x=2 et y=0,0,5 pts  4) Soit la suite (un)n0 définie par: (nIN);un=F(n)F(n+2) a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout entier naturel n il existe un nombre réel vn appartenant à l’intervalle ]n,n+2[ tel que: un=2(1+1vn)e1vn Montrer que : (nIN);2(1+1n)e1nun2(1+1n+2)e1n+2 c) En déduire limn+un0,25 ps Partie :III 1) a) Montrer que pour tout nIN, il existe un réel anIR tel que :f(an)=e1n o, 5 ps bontrer que la suite (an)n1 est croissante 0,25 ps c) Vérifier que : (nIN);1an+ln(1+1an)=1n0,25s 2) a) Montrer que: (t[0,+]);1t11+t1t+t2,0,25dx Montrer que : (x[0,+]);x22x+ln(1+x)x22+x330,5 pts 3) Soit n un entier naturel tel que n4 Montrer que : 123an2an2n1( Voir questions 3) a) et 3 ) b ) de III ) 0.5ps Montrer que : n6an (Voir questions 1 ) c ) et 2 ) b ) de III ) En déduire limn+an Determiner limn+an2n
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Feuille de l’examen a obtenu 20/20
Examen Bac 2 SM  PDF Math  2019 Normal Avec Correction

Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2017 Normale