Examen Bac 2 SM PDF Math 2017 Normal Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Arithmétique (3 points )
* Analyse (10 points )
* Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que (( C ,+, x )) est un corps commutatif et (left( M _{3}( I R ),+, x right)) est un anneau unitaire non commutatif et
non intègre dont le zéro est la matrice nulle 0 et dont l’unité est la matrice identique (I) et que (left( M _{3}( I R ),+, cdotright)) est un espace vectoriel réel. On pose (A =left(begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 end{array}right)) et (M ( a , b )=left(begin{array}{rrr} a & b & – b \ 0 & 0 & 0 \ b & – a & a end{array}right)) et pour tout couple (( a , b ) in I R ^{2})
On considère l’ensemble (E =left{ M ( a , b ) /( a , b ) in I R ^{2}right})
1) Montrer que (E) est un sous-groupe de (left( M _{3}( I R ),+right))
2) On définit sur (M _{3}(text { IR })) la loi de composition interne « T » par:
(left(forall( a , b ) in I R ^{2}right)left(forall( c , d ) in I R ^{2}right) quad ; quad M ( a , b ) operatorname{T} M ( c , d )= M ( a , b ) times A times M ( c , d ))
Montrer que (E) est une partie stable de (left( M _{2}( I R ), T right))
3) On considère l’application (varphi) de (C ^{*}) vers (E) définie par:
(left(forall( x , y ) in I R ^{2}right) quad ; quad varphi( x + i y )= M ( x , y )) et On pose (E ^{*}= E -{ M ( 0 , 0 )})
a) Montrer que (varphi) est un homomorphisme de (left( C ^{*}, timesright)) vers (( E , T )) et que (varphileft( C ^{*}right)= E ^{*})
b) En déduire que (left( E ^{*}, T right)) est un groupe commutatif dont on déterminera l’élément neutre (J)
4) a) Montrer que la loi T est distributive par rapport à la loi « + » dans E.
b) En déduire que (( E ,+, T )) est un corps commutatif.
* Nombres Complexes (3.5 points )
Soit m un nombre complexe non nul. Partie I:
On considère dans l’ensemble des nombres complexes (C) l’équation (left( E _{ m }right)) d’inconnue (z) :
(E) (: 2 z^{2}-2(m+1+i) z+m^{2}+(1+i) m+i=0)
1) Vérifier que le discriminant de l’équation (E (_{ m }) ) est (Delta=(2 im )^{2})
2) Résoudre dans C l’équation (E (_{ m }) ). rtie (Pi:) le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (( o , overrightarrow{ e _{1}}, overrightarrow{ e _{2}})) On suppose que (m in C -{ 0 , 1 , i }) et on pose : (z _{1}=frac{ 1 + i }{ 2 }( m + 1 )) et (z _{2}=frac{ 1 – i }{ 2 }( m + i ))
On considère les points (A , B , M , M _{1}) et (M _{2}) d’affixes respectifs (1 , i , m , z _{1}) et (z _{2})
1) a) Vérifier que : (z _{1}= i z _{2}+ 1)
bontrer que (M _{1}) est 1 ‘image de (M _{2}) par la rotation de centre (Omega) d’affixe (omega=frac{ 1 + i }{ 2 }) et d’angle (frac{pi}{2})
2) Vérifier que : (frac{ z _{2}- m }{ z _{1}- m }= i frac{ m – 1 }{ m – i })
3) Montrer que si les points (M) et (M _{1}) et (M _{2}) sont alignés, alors le point (M) appartient au cercle ( (Gamma) ) dont l’un des diamètres est le segment ([ AB ]) Déterminer l’ensemble des points (M) tels que les points (Omega, M , M _{1}) et (M _{2}) sont cocycliques.
(text { (remarquer que : }left.frac{ z _{1}-omega}{ z _{2}-omega}= i right))
* Arithmétique (3 points )
On admet que le nombre 2017 est premier et que (2016=2^{5} 3^{2} 7) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5
1) Soit le couple (( x , y )) de (I N ^{*} times I N ^{*}) tel que (: p x + y ^{ p – 1 }= 2 0 1 7)
a) Vérifier que : (p < 2 0 1 7)
b) Montrer que: (p) ne divise pas (y)
c) Montrer que : (y ^{ p -1} equiv 1 [ p ]) puis en déduire que p divise (2 0 1 6)
d) Montrer que : (p = 7)
2) Déterminer, suivant les valeurs de (p), les couple (( x , y )) de (I N ^{*} times) IN (^{*}) vérifiant : (p x + y ^{ p -1}= 2 0 1 7)
* Analyse (10 points )
Partie :I Soit la fonction (f) définie sur l’intervalle (I =left[ 0 ,+inftyleft[text { par: } quad f ( 0 )= 0 quad e t quad f ( x )=left(1+frac{ 1 }{ x }right) e ^{-frac{1}{ x }} ; quad( x > 0 )right.right.)
(left( C _{ f }right)) est la courbe représentative de (f) dans un repère orthonormé (( O ; overrightarrow{ i } ; overrightarrow{ j })) unité (2 cm)
1) a) Montrer que la fonction (f) est continue à droite au point (0 . quad 0,25) pes
b) Montrer que la fonction (f) est dérivable à droite au point (0 .) o,spes
c) Montrer que (f text { est dérivable sur }] 0 ,+inftyleft[, text { puis calculer } f ^{prime}( x ) text { pour tout } x inright] 0 ,+inftyleft[.0,5 p_{text {ps }}right.)
2) a) Calculer (lim _{x rightarrow+infty} f(x),) puis interpréter analytiquement le résultat obtenu. 0,5 pess
b) Dresser le tableau de variations de la fonction (f). 0,25 pts
3) a) Montrer que la courbe (left( C _{ f }right)) admet un point d’inflexion A qu’on déterminera. 0,75 pts
b) Tracer la courbe (left( C _{ f }right)) ( On prendra (left. f ( 1 ) approx 0 , 7 quad text { et } quad 4 e ^{-3} approx 0 , 2right)) o, (_{ p })
Partie : II
Soit la fonction (F) définie sur (left[ 0 ,+inftyleft[text { par }: F ( x )=int_{ x }^{1} f ( t ) d t right.right.)
1) Montrer que (F) est continue sur ([ 0 ,+infty[.0,25text { pts })
2) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que:
((forall x in] 0 ,+infty[) quad ; quad int_{ x }^{1} e ^{-frac{1}{t}} d t = e ^{-1}- x e ^{-frac{1}{x}}-int_{ x }^{1} frac{ 1 }{ t } e ^{-frac{1}{t}} d t)
b) Déterminer : (left.int_{x}^{1}left(1+frac{1}{t}right) e^{-frac{1}{t}} text { dt pour tout } x text { de }right] 0,+infty[0,25])
c) Montrer que : (int_{0}^{1} f ( x ) d x = e ^{-1} quad 0,5) pts
3) Calculer en (cm ^{2}) l’aire du domaine délimité par la courbe (left( C _{ f }right)) et les droites d’équations respectives, (x = 0)
(x =2 text { et } y = 0 , quad 0,5 text { pts })
4) Soit la suite (left( u _{ n }right)_{ n geq 0}) définie par: ((forall n in I N ) ; u _{ n }= F ( n )- F ( n + 2 ))
a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout entier naturel n il existe un
nombre réel (left. v _{ n } text { appartenant à l’intervalle }right] n , n +2left[text { tel que: } u _{ n }=2left(1+frac{1}{ v _{ n }}right) e ^{-frac{1}{v_{ n }}}right.)
Montrer que : (left(forall n in I N^{*}right) ; quad 2left(1+frac{1}{n}right) e^{-frac{1}{n}} leq u_{n} leq 2left(1+frac{1}{n+2}right) e^{-frac{1}{n+2}})
c) En déduire (lim _{n rightarrow+infty} u_{n} 0,25) ps
Partie :III
1) a) Montrer que pour tout (n in I N ^{*},) il existe un réel (a _{ n } in I R ^{*}) tel que (: f left( a _{ n }right)= e ^{-frac{1}{n}}) o, 5 ps
bontrer que la suite (left(a_{n}right)_{n geq 1}) est croissante 0,25 ps
c) Vérifier que : (left(forall n in I N^{*}right) ; quad-frac{1}{a_{n}}+ln left(1+frac{1}{a_{n}}right)=-frac{1}{n} 0,25 not p_{s})
2) a) Montrer que: ((forall t in[0,+infty]) ; 1-t leq frac{1}{1+t} leq 1-t+t^{2}, 0,25 d x)
Montrer que : ((forall x in[0,+infty]) ;-frac{x^{2}}{2} leq-x+ln (1+x) leq-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3} 0,5) pts
3) Soit (n) un entier naturel tel que (n geq 4)
Montrer que : (left.1-frac{2}{3 a_{n}} leq frac{2 a_{n}^{2}}{n} leq 1 quad(text { Voir questions } 3) text { a) et } 3 text { ) } b text { ) de III }right)) (0.5 ps)
Montrer que : (sqrt{frac{ n }{6}} leq a _{ n } quad) (Voir questions 1 ) (c) ) et 2 ) (b) ) de (III) )
En déduire (lim _{n rightarrow+infty} a_{n})
Determiner (lim _{n rightarrow+infty} a_{n} sqrt{frac{2}{n}})
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Feuille de l’examen a obtenu 20/20
Examen Bac 2 SM PDF Math 2019 Normal Avec Correction
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2017 Normale
