Examen Math bac 2 Pdf Pc Avec Correction 2018 Normal

Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Géométrie dans l’espace (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Calcul des probabilités (3 points )
* Etude d’une fonction numérique, calcul intégral et suites numériques (11 points )

* Géométrie dans l’espace (3 points )
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

on considère les points

A (0, - 2, - 2), B (1, - 2, - 4) et C (- 3, - 1, 2)

1) Montrer que:

\vec{A B} \land \vec{A C} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} + \vec{k}

et en déduire que

2 x + 2 y + z + 6 = 0

est une équation cartésienne du plan

(A B C)

2) On considère la sphère

(S)

dont une équation est

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 z - 23 = 0

Vérifier que:

la sphère

(S)

a pour centre

Ω (1, 0, 1)

et pour rayon

R = 5

3) a) Vérifier que:

{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 t; (t \in [) est une représentation paramétrique de la droite \\ z = 1 + t \end{cases}

passant par le point

Ω

et orthogonale au plan

(A B C)

b) Déterminer:

les coordonnées de

H

point d’intersection de la droite

(Δ)

et du plan

(A B C)

4) Vérifier que:

d (Ω, (A B C)) = 3,

puis montrer que:

le plan

(A B C)

coupe la sphère

(S)

selon un cercle de rayon

4,

dont on déterminera le centre.

* Nombres complexes (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes

l’équation: 2z²+2z+5=0

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{u}, \vec{v}),

on considère la rotation

R

de centre

O

et d’angle

\frac{2 π}{3}

a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe

d = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

b) On considère le point

A

d’affixe

a = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

et le point

B

image du point

A

par la rotation

R

Soit

b

l’affixe du point

B

, montrer que

b = d . a

3) Soit

t

la translation de vecteur

\vec{O A}

C

l’image de

B

par la translation

t

c

l’affixe de

C

a) Vérifier que:

c = b + a

et en déduire que

c = a (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)

(on pourra utiliser la question 2 )

b

)
b) Déterminer:

\arg (\frac{c}{a})

puis en déduire que le triangle

O A C

est équilatéral.

* Calcul des probabilités (3 points )
Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher :

cing boules rouges portant les nombres

1; 1; 2; 2; 2

et quatre boules blanches portant les nombres

1; 2; 2; 2

On considère I’expérience suivante :

on tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Soient les événements:

A :

« les trois boules tirées sont de même couleur

B :

« les trois boules tirées portent le même nombre »

C :

« les trois boules tirées sont de même couleur et portent le même nombre »
1) Montrer que

p (A) = \frac{1}{6}, p (B) = \frac{1}{4}

p (C) = \frac{1}{42}

2) On répète l’expérience précédente trois fois avec remise dans l’urne des trois boules tirées après chaque tirage, et on considère la variable aléatoire

X

qui est égale au nombre de fois de réalisation de l’événement

A

a) Déterminer les paramètres de la variable aléatoire binomiale

X

b) Montrer que

p (X = 1) = \frac{25}{72}

et calculer

p (X = 2)

* Etude d’une fonction numérique (11 points )
I) Soit g la fonction numérique définie sur IR par:
$g (x) = e^{x} - x^{2} + 3 x - 1$
Le tableau ci-contre est le tableau de variations de la fonction $g$
1) Vérifier que $g (0) = 0$
2) Déterminer le signe de $g (x)$ sur chacun des
$intervalles] - \infty, 0] et [0, + \infty [$

II) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $R$ par $: f (x) = (x^{2} - x) e^{- x} + x$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité $: 1 c m$ )
1) a) Vérifier que:

f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}} - \frac{x}{e^{x}} + x

pour tout

x

de IR

puis montrer que

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

b) Calculer:

lim_{x \to + \infty} (f (x) - x)

puis en déduire que

(C)

admet une asymptote

(D)

au voisinage de

+ \infty

d’équation

y = x

c) Vérifier que:

f (x) = \frac{x^{2} - x + x e^{x}}{e^{x}}

pour tout

x

R

puis calculer

lim_{x \to - \infty} f (x)

d) Montrer que:

lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = - \infty

et interpréter le résultat géométriquement.
2) a) Montrer:

f (x) - x

x^{2} - x

ont le même signe pour tout

x

R

b) En déduire que (C) est au dessus de (D) sur chacun des intervalles] - \infty, 0]

[1, + \infty [, et en

dessous de

(D)

sur l’intervalle [0,1]
3)a) Montrer que:

f^{'} (x) = g (x) e^{- x}

pour tout

x

de IR

b) En déduire que la fonction f est décroissante sur] - \infty, 0]

et croissante sur

[0, + \infty]

c) Dresser le tableau de variations de la fonction

f

4)a) Vérifier que:

f^{''} (x) = (x^{2} - 5 x + 4) e^{- x}

pour tout

x

de IR
b) En déduire que:

la courbe

(C)

admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives 1 et 4
5) Construire

(D)

(C)

dans le même repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

(on prend

: f (4) ≃ 4.2

)
6)a) Montrer que:

la fonction

H : x \mapsto (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x}

est une primitive de la fonction

h : x \mapsto - x^{2} e^{- x}

sur IR puis en déduire que

\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x} d x = \frac{2 e - 5}{e}

b) A l’aide d’une intégration par parties montrer que

\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = \frac{e - 2}{e}

c) Calculer en

c m^{2}

Paire du domaine plan limité par

(C)

(D)

et les droites d’équations

x = 0

x = 1

III) Soit

(u_{n})

la suite numérique définie par:

u_{0} = \frac{1}{2}

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout

n

I N

1) Montrer que:

0 \leq u_{n} \leq 1

pour tout

n

I N (on pourra utiliser le résultat de la question I I) 3) b

)
2) Montrer que la suite

(u_{n})

est décroissante.
3) En déduire que

(u_{n})