Examen Math bac 2 Pdf Pc Avec Correction 2018 Normal
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Géométrie dans l’espace (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Calcul des probabilités (3 points )
* Etude d’une fonction numérique, calcul intégral et suites numériques (11 points )
* Géométrie dans l’espace (3 points )
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)
on considère les points \(A(0,-2,-2), B(1,-2,-4) \text { et } C(-3,-1,2)\)
1) Montrer que:
1) Montrer que:
\(\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}\) et en déduire que \(2 x+2 y+z+6=0\) est une équation cartésienne du plan \((A B C)\)
2) On considère la sphère \((S)\) dont une équation est \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 z-23=0\)
Vérifier que:
2) On considère la sphère \((S)\) dont une équation est \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 z-23=0\)
Vérifier que:
la sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1,0,1)\) et pour rayon \(R=5\)
3) a) Vérifier que:
\(\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2 t \quad ;(t \in[)\text { est une représentation paramétrique de la droite } \\ z=1+t\end{array}\right.\) passant par le point \(\Omega\)
et orthogonale au plan \((A B C)\)
b) Déterminer:
b) Déterminer:
les coordonnées de \(H\) point d’intersection de la droite \((\Delta)\) et du plan \((A B C)\)
4) Vérifier que:\(d(\Omega,(A B C))=3,\)
4) Vérifier que:\(d(\Omega,(A B C))=3,\)
puis montrer que:
le plan \((A B C)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle de rayon \(4,\) dont on déterminera le centre.
* Nombres complexes (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes
l’équation: 2z²+2z+5=0
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v}),\)
on considère la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{2 \pi}{3}\)
a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(d=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\)
b) On considère le point \(A\) d’affixe \(a=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i\) et le point \(B\) image du point \(A\) par la rotation \(R\).
a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(d=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\)
b) On considère le point \(A\) d’affixe \(a=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i\) et le point \(B\) image du point \(A\) par la rotation \(R\).
Soit \(b\) l’affixe du point \(B\), montrer que \(b=d . a\)
3) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{O A}\) et \(C\) l’image de \(B\) par la translation \(t\) et \(c\) l’affixe de \(C\)
a) Vérifier que:
3) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{O A}\) et \(C\) l’image de \(B\) par la translation \(t\) et \(c\) l’affixe de \(C\)
a) Vérifier que:
\(c=b+a\) et en déduire que \(c=a\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)\) (on pourra utiliser la question 2 ) \(b\) )
b) Déterminer:
b) Déterminer:
\(\arg \left(\frac{c}{a}\right)\) puis en déduire que le triangle \(O A C\) est équilatéral.
* Calcul des probabilités (3 points )
Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher :
cing boules rouges portant les nombres\(1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2\) et quatre boules blanches portant les nombres \(1 ; 2 ; 2 ; 2\)
On considère I’expérience suivante :
on tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Soient les événements:
\(A:\) « les trois boules tirées sont de même couleur
\(B:\) « les trois boules tirées portent le même nombre »
\(C:\) « les trois boules tirées sont de même couleur et portent le même nombre »
1) Montrer que \(p(A)=\frac{1}{6} \quad, \quad p(B)=\frac{1}{4}\) et \(p(C)=\frac{1}{42}\)
2) On répète l’expérience précédente trois fois avec remise dans l’urne des trois boules tirées après chaque tirage, et on considère la variable aléatoire \(X\) qui est égale au nombre de fois de réalisation de l’événement \(A\)
a) Déterminer les paramètres de la variable aléatoire binomiale \(X\)
b) Montrer que \(p(X=1)=\frac{25}{72}\) et calculer \(p(X=2)\)
\(A:\) « les trois boules tirées sont de même couleur
\(B:\) « les trois boules tirées portent le même nombre »
\(C:\) « les trois boules tirées sont de même couleur et portent le même nombre »
1) Montrer que \(p(A)=\frac{1}{6} \quad, \quad p(B)=\frac{1}{4}\) et \(p(C)=\frac{1}{42}\)
2) On répète l’expérience précédente trois fois avec remise dans l’urne des trois boules tirées après chaque tirage, et on considère la variable aléatoire \(X\) qui est égale au nombre de fois de réalisation de l’événement \(A\)
a) Déterminer les paramètres de la variable aléatoire binomiale \(X\)
b) Montrer que \(p(X=1)=\frac{25}{72}\) et calculer \(p(X=2)\)
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
I) Soit g la fonction numérique définie sur IR par:
\(g(x)=e^{x}-x^{2}+3 x-1\)
Le tableau ci-contre est le tableau de variations de la fonction \(g\)
1) Vérifier que \(g(0)=0\)
2) Déterminer le signe de \(g(x)\) sur chacun des
\(\text { intervalles } ]-\infty, 0] \text { et }[0,+\infty[\)
II) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(R\) par \(: f(x)=\left(x^{2}-x\right) e^{-x}+x\) et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (unité \(: 1 cm\) )
1) a) Vérifier que:
\(f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}-\frac{x}{e^{x}}+x\) pour tout \(x\) de IR
puis montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\)
b) Calculer:\(\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)\)
b) Calculer:\(\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)\)
puis en déduire que \((C)\) admet une asymptote \((D)\) au voisinage de \(+\infty\) d’équation \(y=x\)
c) Vérifier que:
\(f(x)=\frac{x^{2}-x+x e^{x}}{e^{x}}\) pour tout \(x\) de \(R\)
puis calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\)
d) Montrer que:
d) Montrer que:
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=-\infty\) et interpréter le résultat géométriquement.
2) a) Montrer:
2) a) Montrer:
\(f(x)-x\) et \(x^{2}-x\) ont le même signe pour tout \(x\) de \(R\)
\(\text { b) En déduire que }(C) \text { est au dessus de }(D) \text { sur chacun des intervalles }]-\infty, 0]\) et \([1,+\infty[,\text { et en }\) dessous de \((D)\) sur l’intervalle [0,1]
3)a) Montrer que:
\(\text { b) En déduire que }(C) \text { est au dessus de }(D) \text { sur chacun des intervalles }]-\infty, 0]\) et \([1,+\infty[,\text { et en }\) dessous de \((D)\) sur l’intervalle [0,1]
3)a) Montrer que:
\(f^{\prime}(x)=g(x) e^{-x}\) pour tout \(x\) de IR
\(\text { b) En déduire que la fonction }f \text { est décroissante sur }]-\infty, 0]\) et croissante sur \([0,+\infty]\)
c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
4)a) Vérifier que:
\(\text { b) En déduire que la fonction }f \text { est décroissante sur }]-\infty, 0]\) et croissante sur \([0,+\infty]\)
c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
4)a) Vérifier que:
\(f^{\prime \prime}(x)=\left(x^{2}-5 x+4\right) e^{-x}\) pour tout \(x\) de IR
b) En déduire que:
b) En déduire que:
la courbe \((C)\) admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives 1 et 4
5) Construire \((D)\) et \((C)\) dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
5) Construire \((D)\) et \((C)\) dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
(on prend \(: f(4) ≃4.2\) )
6)a) Montrer que:
6)a) Montrer que:
la fonction \(H: x \mapsto\left(x^{2}+2 x+2\right) e^{-x}\) est une primitive de la fonction
\(h: x \mapsto-x^{2} e^{-x}\) sur IR puis en déduire que \(\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} d x=\frac{2 e-5}{e}\)
b) A l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\int_{0}^{1} x e^{-x} d x=\frac{e-2}{e}\)
c) Calculer en \(c m^{2}\) Paire du domaine plan limité par \((C)\)
\(h: x \mapsto-x^{2} e^{-x}\) sur IR puis en déduire que \(\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} d x=\frac{2 e-5}{e}\)
b) A l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\int_{0}^{1} x e^{-x} d x=\frac{e-2}{e}\)
c) Calculer en \(c m^{2}\) Paire du domaine plan limité par \((C)\)
et \((D)\) et les droites d’équations \(x=0\)et \(x=1\)
III) Soit \(\left(u_{n}\right)\) la suite numérique définie par: \(u_{0}=\frac{1}{2}\) et \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\) pour tout \(n\) de \(I N\)
1) Montrer que:
1) Montrer que:
\(0 \leq u_{n} \leq 1\) pour tout \(n\) de \(I N(\text { on pourra utiliser le résultat de la question } I I \text { ) } 3 \text { ) } b\) )
2) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.
3) En déduire que \(\left(u_{n}\right)\) est convergente et déterminer sa limite.
2) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.
3) En déduire que \(\left(u_{n}\right)\) est convergente et déterminer sa limite.
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Feuille de l’examen a obtenu 20/20
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