Etude des Fonctions
Exercice 1:
1) Montrer que pour tout t∊IR:
\(\frac{(1+t)^{2}}{(1+t^{2})(3+t^{2})}=\frac{t}{1+t^{2}}-\frac{t}{3+t^{2}}+\frac{1}{3+t^{2}}\)
2) Montrer que pour tout α∊IR:
\(\int_{0}^{α} \frac{1}{3+t^{2}} dt=\frac{1}{\sqrt{3}} Arctan(\frac{α}{\sqrt{3}})\)
3) On considère la fonction \(F\) définie sur [0; π] par:
\(F(x)=\int_{0}^{x} \frac{1+sin u}{2+cosu} du\)
a) Montrer que \(F\) est dérivable sur [0;π].
b) En utilisant une intégration par changement de variable
et en posant \(t=\tan \frac{u}{2},\)
montrer que ∀x∊[0; π[:
\(F(x)=2 \int_{0}^{\tan \frac{x}{2}} \frac{(1+t)^{2}}{(1+t^{2})(3+t^{2})}dt\)
c) En utilisant les questions (1) et (2),
montrer que pour tout x∊[0;π[:
\(F(x)=\ln3+\frac{2}{\sqrt{3}} Arctan(\frac{tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}})+\ln(\frac{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}{3+tan ^{2} \frac{x}{2}})\)
d) En utilisant la continuité de \(F\),
montrer que :
\(\int_{0}^{x} \frac{1+sin u}{2+cos u} du=ln3+\frac{π}{\sqrt{3}}\)
Exercice 2:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur [1;+∞[ par:
\(f(x)=e^{-\sqrt{x-1}}\)
et soit \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O ; \vec{i}, \vec{j})\) avec : \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2 cm\)
On pose ∀ x∈]0;1]:
\(F(x)=\int_{1}^{1+(\ln x)^{2}} f(t) dt\)
1) a) Montrer que∀ x∈] 0;1]: F'(x)=2 lnx
b) Calculer \(F(x)\) pour tout \(x \in] 0;1]\)
2) Pour tout \(\alpha \geq 1,\)
on note \(S(\alpha)\) l’aire du domaine
délimité par la courbe \(e_{f}\), l’axe des abscisses et les
droites d’équations \(x=1\) et \(x=\alpha\).
a) Montrer que :
\(S(\alpha)=F(f(\alpha))\) (en unité d’aire)
b) Calculer \(S(\alpha)\) et \(\lim _{\alpha➝+∞} S(\alpha)\)
Aires et Volumes
Exercice 3:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe de
la fonction \(f\) définie par: f(x)=x²Arctan x,
l’axe des abscisses et les droites d’équations:
\(x=-1\) et \(x=\sqrt{3}\).
Exercice 4:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal
\((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
avec \(\|\vec{i}\|\)=2 cm et \(\|\vec{i}\|\)=4 cm
Calculer l’aire du domaine délimité par:
les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) définies sur [e;e²] par:
\(f(x)=\frac{x+1}{xln x}\) et \(g(x)=\frac{1}{ln x}\)
Exercice 5:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
tel que \(|\vec{i}|\)=2 cm
Soit \(C\) la courbe représentative de la restriction
de la fonction x➝tan x
sur \([-\frac{π}{4} ; \frac{π}{4}]\).
Calculer le volume du solide engendré par la rotation
de la courbe \(\&\) autour de l’axe des abscisses.
Exercice 6:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
Soit \(C\) la courbe représentative de la restriction de la fonction
cos sur I=[2π;3π]
1) Vérifier que la fonction x➝cosx
réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.
2) Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \(C\)
autour de l’axe des ordonnées.
Exercice 7:
1) Soit p∊IN On pose:
\(I_{p}=\int_{1}^{e} x(\ln (x)+1)^{p} dx \quad\)
a) En utilisant une intégration par parties
montrer que ∀p∊IN*:
\(2 I_{p}=e^{2} 2^{p}-p I_{p-1}-1\)
b) En déduire que:
\(I_{2}=e^{2}+\frac{1}{2} I_{0}\)
2) Calculer le volume du solide engendré par
la rotation de la courbe \(C_{f}\) de la fonction:
\(f: x➝\sqrt{x}(1+\ln x)\)
autour de l’axe des abscisses sur[1;e].
Exercice 8:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
si x≤0:
\(f(x)=e^{x}\sqrt{1-e^{x}}\)
si x>0:
\(f(x)=1-\frac{\ln x}{x}+(\frac{\ln x}{x})^{2}\)
\(C\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1) Étudier la continuité de \(f\) en 0 .
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0 .
3) Déterminer les branches infinies de la courbe \(C\).
4) Étudier les variations de la fonction \(f\).
5) Ecrire l’équation de la tangente à la courbe \(C\)
au point d’abscisse 1 .
6) Construire la courbe \(C\).
7) On considère les intégrales:
\(I=\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^{2}} dx\)
\(J=\int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^{2}}{x^{2}} dx\)
\(K=\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx\)
a) Calculer \(I\) et \(K\) puis montrer que : \(J=e^{-1}+2 I\)
b) Calculer l’aire du domaine délimité par \(C\)
et les droites d’équations \(x=1, x=e\) et \(y=1\)
8) Soit \(\lambda ∊IR-*\)
On note \(V(\lambda)\) le volume engendré par
la rotation de la courbe la restriction de \(f\) sur \([\lambda, 0]\)
autour de l’axe des abscisses (un tour complet)
a) Calculer \(V(\lambda)\) en fonction de \(\lambda\).
b) Calculer \(\lim _{\lambda➝-∞} V(\lambda)\)