Exercice 1: (3 pts)
On a deux boites (U) et (V).
La boite (U) contient 4 boules rouges et 4 boules bleues.
La boite (V) contient deux boules rouges 4 boules bleues.
On considère l’épreuve suivante :
On tire au hasard une boule de la boite (U):
Si elle est rouge, on la remet dans la boite (V) puis on tire au hasard une boule de la boite (V);
si elle est bleue on la pose de coté puis on tire une boule de la boite (V).
Soient les événements suivants:
(R_{U}) « La boule tirée de la boite (U) est rouge »
(B_{U}) « La boule tirée de la boite (U) est bleue »
(R_{V}) « La boule tirée de la boite (V) est rouge »
(B_{V}) « La boule tirée de la boite (V) est bleue »
1- Calculer la probabilité de chacun des deux événements (R_{U}) et (B_{U}).
2- a) Calculer la probabilité de l’événement (B_{V}) sachant que l’événement (R_{U}) est réalisé.
b) Calculer la probabilité de l’événement (B_{V}) sachant que l’événement (B_{U}) est réalisé.
3- Montrer que:
la probabilité de l’événement (B_{V}) est: (frac{13}{21})
4- En déduire la probabilité de l’événement (R_{V}).
Exercice 2: (3 pts)
On rappelle que ((M_{3}(mathbb{R}),+, ×)) est un anneau unitaire d’unité:
(I=left(begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1end{array}right))
et que ((mathbb{C},+,×)) est un corps commutatif.
Pour chaque nombre complexe (z=x+iy) où ((x, y) in mathbb{R}^{2},)
on pose :
(M(z)=left(begin{array}{ccc}x+2 y & 0 & 5 y \ 0 & 1 & 0 \ -y & 0 & x-2 yend{array}right))
et on considère l’ensemble (E={M(z) / z in mathbb{C}})
1- On munit (E) de la loi de composition interne (^{*}) définie par :
((forall z in mathbb{C}) quadleft(forall z^{prime} in mathbb{C}right): M(z)^{*} Mleft(z^{prime}right)=M(z)+Mleft(z^{prime}right)-M(0))
Montrer que:
(left(E,^{*}right)) est un groupe commutatif.
2- On considère l’application:
(varphi: mathbb{C}^{*} rightarrow E)
qui associe au nombre complexe (z) de (mathbb{C}^{*}) la matrice (M(z)) de (E)
a) Montrer que:
(varphi) est un homomorphisme de (left(mathbb{C}^{*}, mathrm{x}right)) dans ((E, *))
b) En déduire que:
((E-{M(0)}, ×)) est un groupe commutatif.
3- Montrer que ((E,^{*},^{prime})) est un corps commutatif.
Exercice 3: (3.5 pts)
On considère dans l’ensemble (mathbb{Z}) l’équation:(E):
(z^{2}-(1+sqrt{3})(1+i) z+4 i=0)
1-a) Vérifier que:
le discriminant de l’équation ((E)) est (mathrm{D}=((sqrt{3}-1)(1-i))^{2})
b) Ecrire sous forme trigonométrique les deux solutions de ((E))
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O, u, v)).
On considère les deux points (A) et (B)
d’affixes respectives (a=1+i sqrt{3}) et (b=sqrt{3}+i)
a) Montrer que:
l’ensemble ((D)) des points du plan complexe dont l’affixe (z) vérifie:
(z=frac{1}{2} a bar{z}) est une droite qui passe par le point (B)
b)Soient (M) et (M) ‘deux points d’affixes respectives (z) et (z’)
tels que: (z’=a bar{z}-b) et (z≠b)
Montrer que:
(frac{b^{2}}{left(z’-bright)(z-b)}=frac{2}{|z-b|^{2}})
c) En déduire que:
la droite ((D)) est une bissectrice de l’angle ((vec{BM},vec{BM’}))
Exercice 4: (6.5 pts)
(n) est un entier naturel non nul.
Soit (f_{n}) la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0,+∞[par:
(f_{n}(x)=ln (x)-frac{n}{x})
et soit ((C_{n})) la courbe représentative de la fonction (f_{n})
dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
1-a) Etudier les deux branches infinies de la courbe ((C_{n})).
b) Etudier les variations de la fonction (f_{n}) sur ]0,+∞[
puis donner son tableau de variation.
c) Construire ((C_{n})).
2- Montrer que:
la fonction (f_{n}) est une bijection de ] 0,+∞[ dans IR.
3-a) Montrer que:
pour tout entier naturel (n) supérieur ou égal à 1
il existe un unique nombre réel (alpha_{n}) de l’intervalle ]0,+∞[
tel que: (f_{n}left(alpha_{n}right)=0)
b) Comparer (f_{n}(x)) et (f_{n+1}(x)) pour tout (x) de ]0,+∞[
c) Montrer que:
la suite ((alpha_{n})_{n geq 1}) est strictement croissante.
4-a) Montrer que (∀ x>0: ln (x)<x).
b) Montrer que:
(lim _{n➝+∞} alpha_{n}=+∞)
5- Pour tout entier naturel (n) supérieur ou égal à 1
on pose:
(I_{n}=frac{1}{alpha_{n+1}-alpha_{n}} int_{alpha_{n}}^{alpha_{n+1}} f_{n}(x) dx)
a) Montrer que:
(∀n∈IN*) ((∃ c_{n}∈[alpha_{n},alpha_{n+1}])): (quad I_{n}=f_{n}(c_{n}))
b) Montrer que ∀n∈IN*: (quad 0≤I_{n}≤frac{1}{alpha_{n+1}})
c) Déterminer (lim _{n➝+∞} I_{n})
Exercice 5: (3.5 pts)
(n) est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction numérique (g_{n}) à variable réelle (x)
définie sur l’intervalle [n,+∞[ par :
(g_{n}(x)=int_{n}^{x} frac{1}{ln t} dt)
1-a) Montrer que:
la fonction (g_{n}) est dérivable sur l’intervalle [n,+∞[
puis déterminer sa fonction dérivée première (g_{n}’)
b) Montrer que:
la fonction (g_{n}) est strictement croissante sur l’intervalle [n,+∞[
2-a) Montrer que (∀ x ≥ n):
(g_{n}(x) ≥ ln(frac{x-1}{n-1}))
( On pourra utiliser l’inégalité: ((∀ t ≥ 0) ; ln (1+t) ≤ t))
b) En déduire que : (lim _{x➝+∞} g_{n}(x)=+∞)
3-a) Montrer que:
(g_{n}) est une bijection de l’intervalle ([n,+∞[) dans l’intervalle ([0,+∞[).
b) En déduire que:
((∀ n ≥ 2) (∃! u_{n} ≥ n)):
(int_{n}^{u_{n}} frac{1}{ln t} dt=1)
4- On considère la suite numérique ((u_{n})_{n ≥ 2})
définie dans la question (3-b).
a) Montrer que (∀ n ≥ 2):
(int_{u_{n}}^{u_{n+1}} frac{1}{ln t} dt=int_{n}^{n+1} frac{1}{ln t} dt)
b) En déduire que:
la suite ((u_{n})_{n ≥ 2}) est strictement croissante.
c) Déterminer (lim_{n➝+∞} u_{n}).
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2016 Rattrapage
