Examen National Mathématiques Sciences Maths 2016 Rattrapage

Exercice 1: (3 pts)

On a deux boites $U$ et $V$.
La boite $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues.
La boite $V$ contient deux boules rouges 4 boules bleues.
On considère l’épreuve suivante :
On tire au hasard une boule de la boite $U$:
Si elle est rouge, on la remet dans la boite $V$ puis on tire au hasard une boule de la boite $V$;
si elle est bleue on la pose de coté puis on tire une boule de la boite $V$.
Soient les événements suivants:
$R_U$ « La boule tirée de la boite $U$ est rouge »
$B_U$ « La boule tirée de la boite $U$ est bleue »
$R_V$ « La boule tirée de la boite $V$ est rouge »
$B_V$ « La boule tirée de la boite $V$ est bleue »
1- Calculer la probabilité de chacun des deux événements $R_U$ et $B_U$.

2- a) Calculer la probabilité de l’événement $B_V$ sachant que l’événement $R_U$ est réalisé.
b) Calculer la probabilité de l’événement $B_V$ sachant que l’événement $B_U$ est réalisé.
3- Montrer que:
la probabilité de l’événement $B_V$ est: $\frac{13}{21}$
4- En déduire la probabilité de l’événement $R_V$.

Exercice 2: (3 pts)

On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times )$ est un anneau unitaire d’unité:
$I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
et que $(\mathbb{C},+,\times )$ est un corps commutatif.
Pour chaque nombre complexe $z=x+iy$ où $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,$
on pose :
$M(z)=\left(\begin{array}{ccc}x+2y& 0& 5y\\ 0& 1& 0\\ -y& 0& x-2y\end{array}\right)$
et on considère l’ensemble $E=\{M(z)/z\in \mathbb{C}\}$

1- On munit $E$ de la loi de composition interne ${}^{\ast }$ définie par :
$(\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C})(\mathrm{\forall }{z}^{\prime }\in \mathbb{C}):M(z{)}^{\ast }M\left(z^{\prime }\right)=M(z)+M\left(z^{\prime }\right)-M(0)$
Montrer que:
$\left(E{,}^{\ast }\right)$ est un groupe commutatif.
2- On considère l’application:
$\phi :{\mathbb{C}}^{\ast }\to E$
qui associe au nombre complexe $z$ de ${\mathbb{C}}^{\ast }$ la matrice $M(z)$ de $E$
a) Montrer que:
$\phi$ est un homomorphisme de $({\mathbb{C}}^{\ast },\mathrm{x})$ dans $(E,\ast )$
b) En déduire que:
$(E-\{M(0)\},\times )$ est un groupe commutatif.
3- Montrer que $(E{,}^{\ast }{,}^{\prime })$ est un corps commutatif.

Exercice 3: (3.5 pts)

On considère dans l’ensemble $\mathbb{Z}$ l’équation:(E):
$z^2-(1+\sqrt{3})(1+i)z+4i=0$
1-a) Vérifier que:
le discriminant de l’équation $(E)$ est $\mathrm{D}=((\sqrt{3}-1)(1-i){)}^2$
b) Ecrire sous forme trigonométrique les deux solutions de $(E)$
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,u,v)$.
On considère les deux points $A$ et $B$
d’affixes respectives $a=1+i\sqrt{3}$ et $b=\sqrt{3}+i$
a) Montrer que:
l’ensemble $(D)$ des points du plan complexe dont l’affixe $z$ vérifie:
$z=\frac{1}{2}a\overline{z}$ est une droite qui passe par le point $B$
b)Soient $M$ et $M$ ‘deux points d’affixes respectives $z$ et $z^{\prime }$
tels que: $z^{\prime }=a\overline{z}-b$ et $z\ne b$
Montrer que:
$\frac{b^2}{(z^{\prime }-b)(z-b)}=\frac{2}{|z-b{|}^2}$
c) En déduire que:
la droite $(D)$ est une bissectrice de l’angle $(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{B{M}^{\prime }})$

Exercice 4: (6.5 pts)

$n$ est un entier naturel non nul.
Soit $f_n$ la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0,+∞[par:
$f_n(x)=\ln (x)-\frac{n}{x}$
et soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$
dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
1-a) Etudier les deux branches infinies de la courbe $(C_n)$.
b) Etudier les variations de la fonction $f_n$ sur ]0,+∞[
puis donner son tableau de variation.
c) Construire $(C_n)$.
2- Montrer que:
la fonction $f_n$ est une bijection de ] 0,+∞[ dans IR.

3-a) Montrer que:
pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1
il existe un unique nombre réel ${\alpha }_n$ de l’intervalle ]0,+∞[
tel que: $f_n\left({\alpha }_n\right)=0$
b) Comparer $f_n(x)$ et $f_{n+1}(x)$ pour tout $x$ de ]0,+∞[
c) Montrer que:
la suite $({\alpha }_n{)}_{n\ge 1}$ est strictement croissante.
4-a) Montrer que $\forall x>0:ln(x)<x$.
b) Montrer que:
$\underset{n➝+\infty }{lim}{\alpha }_n=+\infty$
5- Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1
on pose:
$I_n=\frac{1}{{\alpha }_{n+1}-{\alpha }_n}{\int }_{{\alpha }_n}^{{\alpha }_{n+1}}{f}_n(x)dx$
a) Montrer que:
(∀n∈IN*) $(\exists c_n\in [{\alpha }_n,{\alpha }_{n+1}])$: $I_n=f_n(c_n)$
b) Montrer que ∀n∈IN*: $0\le I_n\le \frac{1}{{\alpha }_{n+1}}$
c) Déterminer $\underset{n➝+\infty }{lim}{I}_n$

Exercice 5: (3.5 pts)

$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction numérique $g_n$ à variable réelle $x$
définie sur l’intervalle [n,+∞[ par :
$g_n(x)={\int }_n^x\frac{1}{lnt}dt$
1-a) Montrer que:
la fonction $g_n$ est dérivable sur l’intervalle [n,+∞[
puis déterminer sa fonction dérivée première $g_n^{\prime }$
b) Montrer que:
la fonction $g_n$ est strictement croissante sur l’intervalle [n,+∞[
2-a) Montrer que (∀ x ≥ n):
$g_n(x)\ge ln(\frac{x-1}{n-1})$
( On pourra utiliser l’inégalité: $(\forall t\ge 0);ln(1+t)\le t)$
b) En déduire que : $\underset{x➝+\infty }{lim}{g}_n(x)=+\infty$

3-a) Montrer que:
$g_n$ est une bijection de l’intervalle $[n,+\infty [$ dans l’intervalle $[0,+\infty [$.
b) En déduire que:
$(\forall n\ge 2)(\exists !u_n\ge n)$:
${\int }_n^{u_n}\frac{1}{\ln t}dt=1$
4- On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\ge 2}$
définie dans la question (3-b).
a) Montrer que (∀ n ≥ 2):
 ${\int }_{u_n}^{u_{n+1}}\frac{1}{lnt}dt={\int }_n^{n+1}\frac{1}{lnt}dt$
b) En déduire que:
la suite $(u_n{)}_{n\ge 2}$ est strictement croissante.
c) Déterminer $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$.