Examen National Math 2 Bac Science Math 2015 Rattrapage

Exercice 1: (4 points)

Première partie:

On munit IR de la loi de composition interne (*)
définie par :
∀(x, y) ∈IR² (quad x*y=x+y-e^{x y}+1)
1-a) Montrer que la loi (*) est commutative dans IR
b) Montrer que la loi (*) admet un élément neutre que l’on déterminera.
2- Sachant que l’équation: (3+x-e^{2x}=0)
admet dans ‘ deux solutions distinctes (a) et (b).
Montrer que: la loi (*) n’est pas associative.

Deuxième partie :

On rappelle que:
((M_{2}(IR),+,×)) est un anneau unitaire dont le zéro est la matrice nulle 0
et dont l’unité (I) est la matrice identique
(I=left(begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 end{array}right))
et ((ℂ^{*},+, ×)) est un corps commutatif
et ((M_{2}(IR),+, .)) est espace vectoriel réel
Pour tout couple (x, y) ∈IR² on pose:
(M(x)=left(begin{array}{cc} x & -2x \ frac{y}{2} & x end{array}right))
1- Montrer que:
(F) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel ((M_{2}(IR),+, .))
Montrer que: (F) est stable dans ((M_{2}(IR),×))
3- On considère l’application (φ): (ℂ^{*}) ➝ (F)
qui associe à tout nombre complexe (x+yi)
(x,y sont deux réels) à la matrice (M(x,y))
(φ(x+yi)=M(x,y))
a) Montrer que:
(φ) est un homomorphisme de ((ℂ^{*},×)) vers (F,×)
b) On pose (F^{*}=F-M(0,0))
Montrer que (φ(ℂ^{*})=F^{*})
c) Montrer que ((F^{*},×))est un groupe commutatif.
4- Montrer que ((F,+,×)) est un corps commutatif.

Exercice 2: (3 points)

I-
1- (a) étant un entier, montrer que:
si (a) et 13 sont premiers entre eux alors (a^{2016})≡ 1 [13]
2- On considère dans IN* l’équation (E):
(x^{2015})≡ 2 [13]
et soit (x) une solution de l’équation (E).
a) Montrer que (x) et 13 sont premiers entre eux.
b) Montrer que x ≡ 7 [13]
3- Montrer que:
l’ensemble des solutions de l’équation (E) est S={7+13k / k∈Z}

II-
Une urne contient 50 boules portant les numéros de 1 à 50
(les boules sont indiscernables au toucher)
1- On tire au hasard une boule de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir:
une boule portant un numéro qui est solution de l’équation (E)?
2- On tire au hasard une boule de l’urne,
on note son numéro, puis on la remet dans l’urne.
On répète l’expérience précédente 3 fois.
* Quelle est la probabilité d’obtenir exactement
deux fois une boule portant un numéro
qui est solution de l’équation (E) ?

Exercice 3: (3 points)

On considère dans l’ensemble (ℂ) l’équation suivante:
((E): z^{2}-(1+i) z+2+2 i=0)
1-a) Vérifier que:
((1-3 i)^{2}) est le discriminant de l’équation ((E))
b) Déterminer (z_{1}) et (z_{2}):
les deux solutions de l’équation ((E)) dans l’ensemble (ℂ)
(on prendra (z_{1}) imaginaire pur )
c) Montrer que:
(frac{z_{1}}{z_{2}}=sqrt{2} e^{i frac{3 p}{4}})
2- Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère le point (A) d’affixe (z_{1})
et le point (B) d’affixe (z_{2})
a) Déterminer le nombre complexe (e)
affixe du point E milieu du segment [AB]
b) Soit (R) la rotation de centre (A) et d’angle (frac{-pi}{2})
Soit (c) l’affixe du point (C) tel que: R(E)=C.
Montrer que : (c=-frac{3}{2}+frac{3}{2}i)
c) On considère (D) le point d’affixe (d=1+frac{3}{2} i).
Montrer que le nombre :
((frac{z_{2}-d}{c-d})(frac{c-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}))
est réel ,puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu .

Exercice 4: (4 points)

Soit (n) un entier naturel non nul.
On considère la fonction (f_{n}) à variable réelle (x) définie sur IR par:
(f_{n}(x)=frac{1}{1+e^{-frac{3}{2}(x-n)}})
Soit ((C_{n})) la courbe représentative de la fonction (f_{n})
dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
a) Calculer:
(lim _{x➝+∞} f_{n}(x)) et (lim _{x➝-∞} f_{n}(x))
puis interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.
b) Montrer que:
la fonction (f_{n}) est dérivable sur IR.
puis calculer (f_{n}^{prime}(x)) pour tout x de IR.
c) Montrer que:
la fonction (f_{n}) est strictement croissante sur IR.

2 -a) Montrer que:
le point (I_{n}( n,frac{1}{2})) est le centre de symétrie
de la courbe ((C_{n}))
b) Construire la courbe ((C_{n})) .
c) Calculer l’aire de la surface plane limitée par:
la courbe et les droites d’équations (x=0, x=1) et (y=0)
3 -a) Pour tout (n) de IN*
Montrer que l’équation (f_{n}(x)=x)
admet une solution unique (u_{n}) dans ]0,n[
Montrer que (∀n∈IN) (∀x∈IR) :
(f_{n}(x)<f_{n+1}(x))
c) Montrer que:
la suite ((u_{n})_{n≥1}) est strictement décroissante,
et en déduire qu’elle est convergente.
d) Calculer:
(lim _{n➝+∞} u_{n})

Exercice 5: (6 points)

On considère la fonction (g) definie sur IR* par:
(g(x)=int_{x}^{3x} frac{cos t}{t} dt)
1-Montrer que la fonction (g) est paire.
2-Montrer que la fonction (g) est dérivable sur ]0,+∞[
puis calculer g'(x) pour x>0
3-a) En utilisant une intégration par parties, vérifier que:
(int_{x}^{3x} frac{cos t}{t} dt=frac{Sin 3x-3Sin x}{3x}+int_{x}^{3x} frac{Sin t}{t} dt)
b) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[:
(|g(x)| ≤frac{10}{3x})
puis en déduire (lim _{x➝+∞} g(x))
4-a) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[:
(0 ≤ int_{x}^{3x} frac{1-cos t}{t} dt ≤ 2x)
(Remarquer que ∀ t>0 : 1-cos t≤t)
b) Vérifier que ∀ x>0:
(g(x)-ln3=int_{x}^{3x} frac{cos t-1}{t} dt )
c) En déduire (lim _{x➝0^{+}} g(x))