Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 17
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3.25 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Calcule d’Intégrale (3.25 points )
* Suite Numérique (3.25 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Calcule d’Intégrale (3.25 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
* Suite Numérique (3.25 points )
On considère la suite \((u_{n})_{n ∈IN *}\) définie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{1}=-1 \\ u_{n+1}=\frac{1+u_{n}}{3-u_{n}} : ∀ n ∈IN* \end{array}.\)
1. a) Vérifier que:
∀ n ∈IN* : \(1-u_{n+1}=\frac{2(1-u_{n})}{2+(1-u_{n})}\)
b) Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN* : \(1-u_{n}≥ 0\)
c) Vérifier que:
∀ n ∈IN*: \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}-1)^{2}}{2+(1-u_{n})},\)
puis montrer que la suite \((u_{n})_{n ∈IN*}\) est croissante.
d) En déduire que la suite \((u_{n})_{n ∈IN*}\) est convergente.
2. On considère la suite \((v_{n})\) définie sur IN*par:
\(v_{n}=\frac{2}{1-u_{n}}\)
a) Montrer que∀ n ∈IN* : \(v_{n+1}=\frac{3-u_{n}}{1-u_{n}}\)
et en déduire que \((v_{n})_{n ∈IN *}\) est arithmétique de raison \(r=1\)
b) Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
c) Déduire alors, que pour tout \(n ∈IN ^{*}: u_{n}=1-\frac{2}{n}\)
d) Déterminer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
* Nombres complexes (4.5 points )
1. Résoudre dans C l’équation: \(z^{2}+z+1=0\)
2. On considère dans le plan complexe (\(P\) )
rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
les points \(A,\) et \(B\) d’affixes respectives \(a\) et \(b\)
tel que: \(b=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i)a\)
a) Écrire \(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\) sous forme trigonométrique.
b) Montrer que:
\((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) \equiv \frac{2 π}{3}[2 π]\) et que \(OA=OB\)
c) En déduire la nature du triangle OAB.
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{2 π}{3}\)
et \(C(c)\) l’image de \(B(b)\) par la rotation \(R\)
a) Montrer que: \(c=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i) b\)
b) En déduire que: \(OB^{2}=OA × OC\)
4. Soit \(T\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{OA}\)
et \(B(b)\) l’image de \(C(c)\) par la translation \(T\)
a) Montrer que: \(a=b-c\)
b) En déduire que: OABCest un losange.
* Calcule d’Intégrale (3.25 points )
1. Montrer que:
la fonction \(H x➝ ln (x+1)-x\) est une fonction primitive de la fonction:
\(h x ➝ -\frac{x}{x+1}\) sur [0,2]
2. a) Vérifier que: \(\frac{x^{2}}{x+1}=x-\frac{x}{x+1}\)
b) Calculer \(I=\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{x+1} d x\)
c) On pose \(J=\int_{0}^{2} x \ln (x+1) d x\)
En utilisant une intégration par partie montrer que: \(J=\frac{3}{2} I\)
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
Partie I: fonctions auxiliaires
On considère les deux fonctions \(g\) et \(h\) définies sur ]0,+∞[ par:
\(g(x)=x-\ln (x)\) et \( h(x)=x-x^{2}+xln(x)\)
et soit \(C_{h}\) la courbe de la fonction \(h\)
dans un repère orthonormé \((o, \vec{i}, \vec{j})\)
1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation \(h(x)=0\)
2. Montrer que: ∀ x∊] 0,+∞[ ; h(x) ≤ 0\)
2. Montrer que: ∀ x∊] 0,+∞[ ; h(x) ≤ 0\)
3. Vérifier que: ∀ x∊] 0,+∞[ : h(x)=x(1-g(x))\)
4. En déduire que: ∀ x∊] 0,+∞[ : g(x)>0\)
Partie II: Étude d’une fonction
On considère la fonction \(f\) définie par:
\(\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x}{x-\ln (x)}, x≠0 \\f(0)=0\end{array}.\)
et \((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \((o,\vec{i}, \vec{j})\)
tel que: \((||\vec{i} ||=||\vec{j}||=2 cm)\)
1. Montrer que: \(D_{f}=[0,+∞[\)
2. Étudier la continuité de \(f\) à droite au point 0.
3. Montrer que \(f\) est dérivable à droite en 0
puis interpréter graphiquement le résultat
4. Montrer que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=1\)
puis interpréter graphiquement le résultat.
5. (a) Montrer que ∀ x∊]0,+∞[ : \(f ‘(x)=\frac{1-\ln (x)}{(g(x))^{2}}\)
b) Montrer que \(f\) est croissante sur l’intervalle [0, e[
et décroissante sur l’intervalle [e,+∞[
c) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur ]0,+∞[
6. Montrer que la droite \((Δ)\) d’équation y=x est tangente
à la courbe \((C_{f})\) au point d’abscisse 1.
7. a) Montrer que ∀ x∊] 0,+∞[ : \(f(x)-x=\frac{h(x)}{g(x)}\)
b) Montrer que la droite \((Δ)\) coupe la courbe \((C_{f})\)
aux deux points d’abscisses x=0 et x=1.
c) Montrer que \((C_{f})\) se situe au dessous de \((Δ)\) sur l’intervalle [0,+∞[
8. Construire la droite \((Δ)\) et la courbe \((C_{f})\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\)
9. (a) Montrer que la fonction \(f\) admet sur l’intervalle \([0,e[
une fonction réciproque \(f\) définie sur un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
b) Donner le tableau de variation de la fonction \(f^{-1}\) sur \(J\)
c) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en 1 et que: \((f^{-1}) ‘(1)=1\).
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