Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 17

Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 17
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3.25 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Calcule d’Intégrale (3.25 points )  
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
 
 * Suite Numérique  (3.25 points )
On considère la suite (un)n∈IN∗ définie par:
 {u1=−1un+1=1+un3−un:∀n∈IN∗.
1. a) Vérifier que:
∀ n ∈IN* :  1−un+1=2(1−un)2+(1−un)
b) Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN* :   1−un≥0
c) Vérifier que:
∀ n ∈IN*:  un+1−un=(un−1)22+(1−un),
puis montrer que la suite (un)n∈IN∗ est croissante.
d) En déduire que la suite (un)n∈IN∗ est convergente.
2. On considère la suite (vn) définie sur IN*par:
vn=21−un
a) Montrer que∀ n ∈IN* :  vn+1=3−un1−un
et en déduire que (vn)n∈IN∗ est arithmétique de raison r=1
b) Exprimer vn en fonction de n
c) Déduire alors, que pour tout n∈IN∗:un=1−2n
d) Déterminer limn➝+∞un
 
 * Nombres complexes  (4.5 points )
1. Résoudre dans C l’équation: z2+z+1=0
2. On considère dans le plan complexe (P )
rapporté à un repère orthonormé direct (O,u→,v→)
les points A, et B d’affixes respectives a et b
tel que: b=(−12+32i)a
a) Écrire −12+32i sous forme trigonométrique.
b) Montrer que:
(OA→,OB→)≡2π3[2π] et que OA=OB
c) En déduire la nature du triangle OAB.
3. Soit R la rotation de centre O et d’angle 2π3
et C(c) l’image de B(b) par la rotation R
a) Montrer que: c=(−12+32i)b
b) En déduire que: OB2=OA×OC
4. Soit T la translation de vecteur OA→
et B(b) l’image de C(c) par la translation T
a) Montrer que: a=b−c
b) En déduire que: OABCest un losange.
 
 * Calcule d’Intégrale   (3.25 points )
1. Montrer que:
la fonction Hx➝ln(x+1)−x est une fonction primitive de la fonction:
 hx➝−xx+1 sur [0,2]
2. a) Vérifier que: x2x+1=x−xx+1
b) Calculer I=∫02x2x+1dx
c) On pose J=∫02xln⁡(x+1)dx
En utilisant une intégration par partie montrer que: J=32I
 
 
 * Etude d’une fonction numérique   (10 points )
Partie I: fonctions auxiliaires
On considère les deux fonctions g et h  définies sur ]0,+∞[ par:
g(x)=x−ln⁡(x) et  h(x)=x−x2+xln(x)
et soit Ch la courbe de la fonction h
dans un repère orthonormé (o,i→,j→)

1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation h(x)=0
2. Montrer que: ∀ x∊] 0,+∞[ ;  h(x) ≤ 0\)
3. Vérifier que: ∀ x∊] 0,+∞[ :  h(x)=x(1-g(x))\)
4. En déduire que: ∀ x∊] 0,+∞[ : g(x)>0\)
 
Partie II: Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie par:
{f(x)=xx−ln⁡(x),x≠0f(0)=0.
et (Cf) sa courbe dans un repère orthonormé (o,i→,j→)
tel que: (||i→||=||j→||=2cm)
1. Montrer que: Df=[0,+∞[
2. Étudier la continuité de f à droite au point 0.
3. Montrer que f est dérivable à droite en 0
puis interpréter graphiquement le résultat
4. Montrer que: limx➝+∞f(x)=1
puis interpréter graphiquement le résultat.
5. (a) Montrer que ∀ x∊]0,+∞[ : f‘(x)=1−ln⁡(x)(g(x))2
b) Montrer que f est croissante sur l’intervalle [0, e[
et décroissante sur l’intervalle [e,+∞[
c) Dresser le tableau de variation de f  sur ]0,+∞[
6. Montrer que la droite (Δ) d’équation y=x est tangente
à la courbe (Cf) au point d’abscisse 1.
7. a) Montrer que ∀  x∊] 0,+∞[ : f(x)−x=h(x)g(x)
b) Montrer que la droite (Δ) coupe la courbe (Cf)
aux deux points d’abscisses x=0 et x=1.
c) Montrer que (Cf) se situe au dessous de (Δ) sur l’intervalle [0,+∞[
8. Construire la droite (Δ) et la courbe (Cf) dans le repère (O,i→,j→)
9. (a) Montrer que la fonction f admet sur l’intervalle \([0,e[
une fonction réciproque  f définie sur un intervalle J que l’on déterminera.
b) Donner le tableau de variation de la fonction f−1 sur J
c) Montrer que f−1 est dérivable en 1 et que: (f−1)‘(1)=1.

 
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Examen Bac 2  2020 Math 17
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