Sujet maths Bac Série D PDF 2010 Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Nombres Complexes
* Probabilité
* Etude d’une fonction numérique
* Nombres Complexes
Partie A
On considère dans ℂ l’équation
( E ): 4 z ^{3}-6 i \sqrt{3} z ^{2}-3(3+ i \sqrt{3}) z -4=0\)
1. Déterminer les racines carrées de
2. Résoudre dans ℂ l’équation:
3.a. Développer, réduire et ordonner:
b. En déduire les solutions de (E).
4. Soit
et
Exprimer chacun des nombres complexes
sous forme trigonométrique.
Partie B
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j} )
Où l’unité est 1cm
on considère les points
1.a. Déterminer l’écriture complexe de
b. Justifier que
2. Soit
On pose pour tout nombre entier naturel n:
Justifier que:
3. On considère la suite
a. Démontrer que
dont on déterminera la raison et le premier terme.
b. Justifier que la distance
* Probabilité
On teste un médicament sur un ensemble d’individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé. Pour cela,
Chez les individus ayant pris le médicament, on constate une baisse de ce taux avec une probabilité de 0,8 On ne constate aucune baisse de ce taux pour
1. Calculer la probabilité d’avoir une baisse du taux de glycémie
sachant qu’on a pris le médicament.
2. Démontrer que la probabilité d’avoir une baisse du taux de glycémie est
3. On soumet au test un individu pris au hasard.
Quelle est la probabilité qu’il ait pris le médicament
sachant que l’on constate une baisse de son taux de glycémie?
4. On contrôle
a. Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux personnes dont le taux de glycémie a baissé?
b. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un individu dont le taux de glycémie a baissé?
5. On contrôle
Déterminer
dont le taux de glycémie a baissé soit supérieure à
* Etude d’une fonction numérique
Partie A
Soit la fonction
g ( x )=1+xln x
1.a. Justifier que \(∀ x∈] 0 ;+∞[: g'(x)=1+lnx
b. Étudier les variations de
(On ne calculera pas les limites de
2. En déduire que \(∀ x∈\]0;+∞[: g(x)>0
Partie B
Soit
On note (C) la courbe représentative de
1.a. Etudier la continuité de
b. Etudier la dérivabilité de
c. Démontrer qu’une équation de la tangente
d. Démontrer que:
(C) est au dessus de (T) sur ]0;1[
(C) est au dessous de (T) sur ]1;+∞[
2. Démontrer que la droite (OI) est une asymptote à
3.a. On suppose que f est dérivable sur] 0 ;+∞[
Démontrer que:
∀ x∈] 0 ;+∞[:
b. En déduire les variations de
4. Construire la droite
Partie C
1.a. Justifier que : ∀ x∈]0 ;+∞[: f(x) ≤ 1
b. Démontrer que : ∀ x ∈[1;e]:
2. Soit A l’aire en
(OI) et les droites d’équations x =1 et x =e.
Démontrer que:
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