Examen Bac 2 2020 Math Préparation 03

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 03

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:

* Fonction Exponentiel (2 points )

* Suite Numérique (3.5 points )

* Nombres complexes (3.5 points )

* Suite Numérique (3 points )

* Etude d’une fonction numérique (8 points )

* Fonctions Exponentiel ( 2 points )

1) Résoudre dans IR les équations suivantes:

a –

e^{x^{2} - 1} \times e^{2 x} = \frac{e^{x + 1}}{e^{3 x - 8}}

b –

\ln (e^{2 x} + 3) = 4

2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:

a –

\frac{e^{2 x^{2}} \times (e^{x})^{3}}{e^{7} \times (e^{x})^{- 2}} \leq 1

b –

\ln (3 e^{2 x} - 2) \geq - x

* Suite Numérique (3.5 points )

On considère la suite

(u_{n})

définie par :

u_{0} = 1

et ∀ n∊IN :

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 3}{2 u_{n} + 7}

1) Calculer

u_{1}

u_{2}

2) Montrer par la récurrence que ∀ n∊IN :

u_{n} > \frac{1}{2}

3) a – Montrer que la suite

(u_{n})

est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente

b – Déduire que ∀ n∊IN :

u_{n} \leq 1

4) Soit la suite

(v_{n})

définie par, ∀ n∊IN :

v_{n} = \frac{2 u_{n} - 1}{u_{n} + 3}

a – Calculer

v_{0}

b – Montrer que

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

q = \frac{1}{8}

c – Exprimer

v_{n}

en fonction de

n

d – Montrer que ∀ n∊IN :

u_{n} = \frac{3 v_{n} + 1}{- v_{n} + 2}

puis déduire

u_{n}

en fonction de

n

5) Calculer limite de la suite

(u_{n})

6) On pose ∀ n∊IN :

w_{n} = \ln (u_{n}) + 2 u_{n}

Montrer que la suite

w_{n}

converge et calculer sa limite.

* Nombre Complexe (3.5 points )

I. Résoudre dans

C

l’équation z²+2z+2=0

II. Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe

(O, \vec{i}, \vec{j}),

on considère

les points A,B,C et Ω d’affixe respectivement a=-1+ i, b=5 – i, c =3+3i et ω=2

1) a – Ecrire a et c sous forme trigonométrique, puis déduire que

a^{8} + c^{4} = - 308

b – Montrer que

\frac{c - ω}{a - ω} = - i

c- Déduire la nature du triangle ΩAC

2) Soit le point D image du point A par la translation

T

de vecteur

\vec{u}

d’affixe

2 - 4 i

a – Montrer que d =1-3i est l’affixe du point D

b – Montrer que

\frac{c - d}{ω - d} = 2,

puis déduire que Ω est le milieu du segment

[C D]

3) Soit

R

la rotation de centre

Ω

et d’angle

- \frac{π}{2}

a – Montrer que le point

C

est l’image de A par la rotation

R

(Utiliser question II) 1) b)

b -Montrer que le point D est l’image de B par la rotation

R

c – Déduire que les points A,B,C et D cocyclique ( appartiennent au même cercle)

qu’on déterminera son centre et son rayon (Utiliser les questions II) 2) b) , 3) a) et 3) b)

* Suite Numérique (3 points )

Soit

f

une fonction définie sur IR par sa courbe représentative

(C_{f})

1) a – Calculer $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$ et $lim_{x ➝ - \infty} f (x)$

b- Dresser le tableau de variations de

f

2) Calculer

lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x}

(justifier votre réponse)

3) Déterminer le signe de

f » (x)

sur IR

4) Etudier la position relative de

(C_{f})

et la droite d’équation y=x

5) On considère la suite

(u_{n})

définie par :

u_{0} = 0

et ∀ n∊IN :

u_{n + 1} = f (u_{n})

a – Montrer que ∀ n∊IN :

0 \leq u_{n} \leq 5

b -Etudier la monotonie de

(u_{n})

(utiliser la question 4)
c – Déduire que la suite

(u_{n})

est convergente

et calculer

lim_{n ➝ + \infty} u_{n}

* Etudes de Fonctions ( 8 points )

Partie A:

Soit la fonction

g

définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par : g(x)=2x²-1-x+ln(x)

1) Vérifier que

g (1) = 0

Calculer pour tout x de ]0,+∞[ g ‘ (x)

2) A partir du tableau de variations de la fonction g ci-dessous

Montrer que g(x)≤ 0 pour x∊ ] 0,1[ et que g(x) ≥ 0 pour tout x∈[1,+∞[

Partie B:

On considère la fonction

f

définie sur ] 0,+∞[ par :

f (x) = 2 x - \frac{1}{x} + 1) \ln x

Soit

(C_{f})

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

(unité 1cm )

1) Montrer que

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x) = + \infty

et interpréter géométriquement résultat obtenu

- a

– Vérifier que

f (x) = x (2 - (\frac{1}{x} + 1) \frac{\ln x}{x})

b-\) Déduire que

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

c- Montrer que la courbe (

C_{f}

) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite(D) d’équation y=2x

3) a – Montrer que

f ‘ (x) = \frac{g (x)}{x ²}

pour tout x ∈]0,+∞[
b – Montrer que la fonction

f

est décroissante sur] 0,1] et croissante sur [1,+∞[

c – Dresser le tableau de variation de

f

sur ]0,+∞[

a – Etudier le signe de

- (\frac{1}{x} + 1)

x

sur l’intervalle ]0,+∞[

b – Déduire la position relative de la courbe (

C_{f}

) avec la droite ( D )

5) Tracer

(C_{f})

et la droite (D) dans le même repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

6) a- En utilisant une intégration par partie, montrer que

\int_{1}^{e} \ln (x) d x = 1

b – Montrer que

\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x = \frac{1}{2}

déduire l’aire de surface délimité par la courbe (

C_{f}

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