Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 03
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Fonction Exponentiel (2 points )
* Suite Numérique (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Suite Numérique (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (8 points )
* Fonctions Exponentiel ( 2 points )
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a – \(e^{x^{2}-1} × e^{2 x}=\frac{e^{x+1}}{e^{3 x-8}}\)
b – \(\ln(e^{2 x}+3)=4\)
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a – \(\frac{e^{2 x^{2}} × (e^{x})^{3}}{e^{7} × (e^{x})^{-2}} ≤ 1\)
b – \(\ln(3 e^{2 x}-2) ≥ -x\)
* Suite Numérique (3.5 points )
On considère la suite \(( u _{n})\) définie par :
\( u_{0}=1\) et ∀ n∊IN :\(u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{2 u_{n}+7}\)
1) Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
2) Montrer par la récurrence que ∀ n∊IN : \(u_{n} > \frac{1}{2}\)
3) a – Montrer que la suite \(( u_{n})\) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente
b – Déduire que ∀ n∊IN : \(u_{n} ≤ 1\)
4) Soit la suite \(( v _{n})\) définie par, ∀ n∊IN : \(v_{n}=\frac{2 u_{n}-1}{ u_{n}+3}\)
a – Calculer \(v_{0}\)
b – Montrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(q =\frac{1}{8}\)
c – Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
d – Montrer que ∀ n∊IN : \( u_{n}=\frac{3 v_{n}+1}{- v_{n}+2}\)
puis déduire \(u_{n}\) en fonction de \(n\)
5) Calculer limite de la suite \(( u _{n})\)
6) On pose ∀ n∊IN : \(w_{n}=\ln( u_{n})+2 u_{n}\)
Montrer que la suite \(w_{n}\) converge et calculer sa limite.
* Nombre Complexe (3.5 points )
I. Résoudre dans \(C\) l’équation z²+2z+2=0
II. Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe \((O,\vec{i},\vec{j}),\)
on considère
les points A,B,C et Ω d’affixe respectivement a=-1+ i, b=5 – i, c =3+3i et ω=2
1) a – Ecrire a et c sous forme trigonométrique, puis déduire que \(a^{8}+c^{4}=-308\)
b – Montrer que \(\frac{c – ω}{ a – ω}= – i\)
c- Déduire la nature du triangle ΩAC
2) Soit le point D image du point A par la translation \(T\) de vecteur \(\vec{u}\) d’affixe \(2-4 i\)
a – Montrer que d =1-3i est l’affixe du point D
b – Montrer que \(\frac{c-d}{ω-d}=2,\) puis déduire que Ω est le milieu du segment \([ C D ]\)
3) Soit \(R\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\)
a – Montrer que le point \(C\) est l’image de A par la rotation \(R\) (Utiliser question II) 1) b)
b -Montrer que le point D est l’image de B par la rotation \(R\)
c – Déduire que les points A,B,C et D cocyclique ( appartiennent au même cercle)
qu’on déterminera son centre et son rayon (Utiliser les questions II) 2) b) , 3) a) et 3) b)
* Suite Numérique (3 points )
Soit \(f\) une fonction définie sur IR par sa courbe représentative \(( C_{f})\)
1) a – Calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim_{x➝-∞} f(x)\)
b- Dresser le tableau de variations de \(f\)
2) Calculer \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\) (justifier votre réponse)
3) Déterminer le signe de \(f » (x)\) sur IR
4) Etudier la position relative de \(( C_{f})\) et la droite d’équation y=x
5) On considère la suite \((u _{n})\) définie par :
\(u_{0}=0\) et ∀ n∊IN :\(u_{n+1}= f (u_{n})\)
\(u_{0}=0\) et ∀ n∊IN :\(u_{n+1}= f (u_{n})\)
a – Montrer que ∀ n∊IN : \( 0 ≤ u_{n} ≤ 5\)
b -Etudier la monotonie de \((u _{n})\) (utiliser la question 4)
c – Déduire que la suite \((u _{n})\) est convergente
c – Déduire que la suite \((u _{n})\) est convergente
et calculer \(\lim_{n➝+∞}u_{n}\)
* Etudes de Fonctions ( 8 points )
Partie A:
Soit la fonction \(g\) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par : g(x)=2x²-1-x+ln(x)
1) Vérifier que \(g(1)=0\) Calculer pour tout x de ]0,+∞[ g ‘ (x)
2) A partir du tableau de variations de la fonction g ci-dessous
Montrer que g(x)≤ 0 pour x∊ ] 0,1[ et que g(x) ≥ 0 pour tout x∈[1,+∞[
Partie B:
On considère la fonction \(f\) définie sur ] 0,+∞[ par : \(f(x)=2 x-\frac{1}{x}+1) \ln x\)
Soit \(( C _{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(( O,\overrightarrow{ i }, \overrightarrow{ j })\) (unité 1cm )
1) Montrer que \(\lim_{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement résultat obtenu
2) \(-a\) – Vérifier que \(f(x)=x\left(2-\left(\frac{1}{x}+1\right) \frac{\ln x}{x}\right)\)
b-\) Déduire que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\)
c- Montrer que la courbe (\(C _{f}\)) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite(D) d’équation y=2x
3) a – Montrer que \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{x²}\) pour tout x ∈]0,+∞[
b – Montrer que la fonction \(f \) est décroissante sur] 0,1] et croissante sur [1,+∞[
b – Montrer que la fonction \(f \) est décroissante sur] 0,1] et croissante sur [1,+∞[
c – Dresser le tableau de variation de \(f\) sur ]0,+∞[
4)
a – Etudier le signe de \(-(\frac{1}{x}+1)\): \(x\) sur l’intervalle ]0,+∞[
b – Déduire la position relative de la courbe ( \(C _{f}\)) avec la droite ( D )
5) Tracer \(( C _{ f })\) et la droite (D) dans le même repère \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\)
6) a- En utilisant une intégration par partie, montrer que \(\int_{1}^{e} \ln (x) d x=1\)
b – Montrer que \(\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x} dx = \frac{1}{2}\)
déduire l’aire de surface délimité par la courbe (\(C _{f}\)) et la droite (D) et les deux droites d’équations x=1 et x=e.
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