Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 07
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Fonction Logarithme (2.5 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Suite Numérique (2.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
* Fonctions logarithme ( 2.5 points )
1) a-Résoudre dans IR I’équation: x²-3x+2=0
b- Résoudre dans R I’équation: \(9^{x}-3^{x+1}+2=0\)
2) Résoudre dans ] 0,+∞[ l’inéquation: ln(x)+ln(x+1)≤ln(x²+1)
3) Résoudre dans (] 0,+∞[)² le système: \(\left\{\begin{array}{l}2 \ln x+\ln y=4 \\ \ln x+3 \ln y=7\end{array}\right.\)
* Nombre Complexe (5 points )
1) Résoudre dans I’ ensemble des nombres complexe I’équation z²-4z+16=0
2) On pose \(u=2+2 \sqrt{3} i\) et \(v=\bar{u}\)
a- Ecrire u et v sous forme trigonométrique
b- Montrer que \(u^{15}+v^{15}=-2^{31}\)
3) On considéré, dans le plan complexe rapporte a un repère orthonormé \((O,\vec{i}, \vec{j})\)
les points A, B et C d affixes respectives a=u, b=v et c=-4
Soient z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe d’un point M’
image de M par la rotation \(R\) de centre C d’angle \(\frac{π}{3}\)
a-Montrer que : 2z’ =\((1+\sqrt{3} i) z-4+4 \sqrt{3} i\)
b- vérifier que A image du B par la rotation \(R\)puis déduire la nature du triangle ABC
c- montrer que l’ensemble des points M (z) tels que |z|=4 est le cercle circonscrit au triangle ABC
4) on pose \(i=-1+i \sqrt{3}\) I affixe d’un point I
a-vérifier que I est le milieu du segment [AC]
puis déduire que la droite (OI) est la médiatrice du [AC]
b- montrer que les points B, I et O sont alignes
c- déterminer d l’affixe d’un point D pour laquelle ABCD est parallélogramme
puis montrer qu’elle est losange
* Suite Numérique (2.5 points )
On considère la suite numérique \((U_{n}\)) définie par:
\( U_{0}=\frac{3}{2}\) et \(U_{n+1}=\frac{7 U_{n}-3}{3 U_{n}+1}\) pour tout n de IN
1). Montrer par récurrence que \(U_{n}>1\) pour tout n de IN
2) Montrer que la suite \((U_{n}\)) est décroissante et qu’elle est convergente
4) On considère la suite numérique \((V_{n}\)) définie par:
\(V_{n}=\frac{1}{U_{n}-1}\) pour tout n de IN
a. Montrer que \((V_{n}\)) est une suite arithmétique de raison \(\frac{3}{4}\)
fonction de \(n\)
b. Montrer que \(V_{n}=2+(\frac{3}{4})^{n}\) pour tout n de IN
c. determiner \(U_{n}\) en fonction de n puis calculer la limite de la suite \((U_{n})\)
* Etudes de Fonction ( 10 points )
Partie I-
soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(R\) par: \(g(x)=1-e^{2 x}+2 x e^{2 x}\)
1) a- Montrer que \(g'(x)=4 x e^{2 x}\) Pour tout x de IR
b- dresser le tableau de variations de la fonction g sur IR
2) Montrer que g(x) ≥ 0 Pour tout x de IR
Partie II-
soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par: \(f(x)=x-(1-x) e^{2 x}\)
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (unité (1cm))
1) a-Montrer que \(\lim _{x⟶-∞} f(x)=-∞\)
b-Montrer que:
(C) admet une asymptote (Δ) au voisinage -∞ d équation y=x
c-Montrer que:
(C) est au-dessous de (Δ) sur l’intervalle ]-∞, 1] et en dessus de (Δ) sur l’intervalle [1,+∞[
2) a- calculer \(\lim_{x⟶+∞} f(x)\)
b- Montrer que:
la courbe \(C\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage +∞
3) a- Montrer que: f ‘(x)=g(x) Pour tout x de IR
b- interpréter géométrique le résultat (f ‘(0)=0)
c- Montrer que: la fonction \(f\) est croissante sur IR
puis dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur IR
4) Montrer que:\(I(1,0)\) est un point d’inflexion de la courbe \(C\)
5) Construire (Δ) et (C) dans le même repère \((O,\vec{i}, \vec{j})\)
6) a- A l’aide d’une intégration par partic montrer que
\(\int_{\ln 2}^{1} x e^{2 x} d x=\frac{e²+4-4×ln4}{4}\)
Partie III-
Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle [1,+∞[ par ; h(x)=f(x)
1) montrer que:
la fonction \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur J
que l’on précisera puis tracer sa courbe dans le repère précédant
2) calculer:
\((h^{-1})^{\prime}(1)\) (remarquer que h(1)=1 )
3) Construire \((h^{-1})\) et (C) dans le mème repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
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