Examen Bac 2 2020 Math Préparation 07

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 07

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:

* Fonction Logarithme (2.5 points )

* Nombres complexes (5 points )

* Suite Numérique (2.5 points )

* Etude d’une fonction numérique (10 points )

* Fonctions logarithme ( 2.5 points )

1) a-Résoudre dans IR I’équation: x²-3x+2=0

b- Résoudre dans R I’équation:

9^{x} - 3^{x + 1} + 2 = 0

2) Résoudre dans ] 0,+∞[ l’inéquation: ln(x)+ln(x+1)≤ln(x²+1)

3) Résoudre dans (] 0,+∞[)² le système:

{\begin{cases} 2 \ln x + \ln y = 4 \\ \ln x + 3 \ln y = 7 \end{cases}

* Nombre Complexe (5 points )

1) Résoudre dans I’ ensemble des nombres complexe I’équation z²-4z+16=0

2) On pose

u = 2 + 2 \sqrt{3} i

v = \bar{u}

a- Ecrire u et v sous forme trigonométrique

b- Montrer que

u^{15} + v^{15} = - 2^{31}

3) On considéré, dans le plan complexe rapporte a un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

les points A, B et C d affixes respectives a=u, b=v et c=-4

Soient z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe d’un point M’

image de M par la rotation

R

de centre C d’angle

\frac{π}{3}

a-Montrer que : 2z’ =

(1 + \sqrt{3} i) z - 4 + 4 \sqrt{3} i

b- vérifier que A image du B par la rotation

R

puis déduire la nature du triangle ABC

c- montrer que l’ensemble des points M (z) tels que |z|=4 est le cercle circonscrit au triangle ABC

4) on pose

i = - 1 + i \sqrt{3}

I affixe d’un point I

a-vérifier que I est le milieu du segment [AC]

puis déduire que la droite (OI) est la médiatrice du [AC]

b- montrer que les points B, I et O sont alignes

c- déterminer d l’affixe d’un point D pour laquelle ABCD est parallélogramme

puis montrer qu’elle est losange

* Suite Numérique (2.5 points )

On considère la suite numérique

(U_{n}

) définie par:

U_{0} = \frac{3}{2}

U_{n + 1} = \frac{7 U_{n} - 3}{3 U_{n} + 1}

pour tout n de IN

1). Montrer par récurrence que

U_{n} > 1

pour tout n de IN

2) Montrer que la suite

(U_{n}

) est décroissante et qu’elle est convergente

4) On considère la suite numérique

(V_{n}

) définie par:

V_{n} = \frac{1}{U_{n} - 1}

pour tout n de IN

a. Montrer que

(V_{n}

) est une suite arithmétique de raison

\frac{3}{4}

fonction de

n

b. Montrer que

V_{n} = 2 + (\frac{3}{4})^{n}

pour tout n de IN

c. determiner

U_{n}

en fonction de n puis calculer la limite de la suite

(U_{n})

* Etudes de Fonction ( 10 points )

Partie I-

soit

g

la fonction numérique définie sur

R

par:

g (x) = 1 - e^{2 x} + 2 x e^{2 x}

1) a- Montrer que

g^{'} (x) = 4 x e^{2 x}

Pour tout x de IR

b- dresser le tableau de variations de la fonction g sur IR

2) Montrer que g(x) ≥ 0 Pour tout x de IR

Partie II-

soit

f

la fonction numérique définie sur IR par:

f (x) = x - (1 - x) e^{2 x}

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

(unité (1cm))

1) a-Montrer que

lim_{x ⟶ - \infty} f (x) = - \infty

b-Montrer que:

c-Montrer que:

2) a- calculer

lim_{x ⟶ + \infty} f (x)

b- Montrer que:

la courbe

C

admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage +∞

3) a- Montrer que: f ‘(x)=g(x) Pour tout x de IR

b- interpréter géométrique le résultat (f ‘(0)=0)

c- Montrer que: la fonction

f

est croissante sur IR

puis dresser le tableau de variations de la fonction

f

sur IR

4) Montrer que:

I (1, 0)

est un point d’inflexion de la courbe

C

5) Construire (Δ) et (C) dans le même repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

6) a- A l’aide d’une intégration par partic montrer que

\int_{\ln 2}^{1} x e^{2 x} d x = \frac{e ² + 4 - 4 \times l n 4}{4}

Partie III-

Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle [1,+∞[ par ; h(x)=f(x)

1) montrer que:

la fonction \(h\) admet une fonction réciproque

h^{- 1}

définie sur J

que l’on précisera puis tracer sa courbe dans le repère précédant

2) calculer:

(h^{- 1})^{'} (1)

(remarquer que h(1)=1 )

3) Construire

(h^{- 1})

et (C) dans le mème repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

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