Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 08Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Suite Numérique (3 points )* Nombres complexes (3 points )* Intégrale (3 points )* Etude d’une fonction numérique (11 points ) * Suite Numérique ( 3 points )On considère la suite numérique ((u_{n})) définie par:(u_{0}=2) et (u_{n+1}=frac{2u_{n}}{2+3u_{n}}) Pour tout entier naturel n
1) Montrer par récurrence que (u_{n}>0 ) Pour tout entier naturel n
2) Montrer que la suite ((u_{n})) est décroissante et qu’elle est convergente
3) Soit ((v_{n})) la suite numérique telle que :
(v_{n}=frac{2}{u_{n}}) Pour tout entier naturel n
a) Montrer que ((v_{n})) est une suite arithmétique de raison 3
puis écrire (v_{n}) en fonction de n
b) Montrer que (u_{n}=frac{2}{1+3 n}) Pour tout entier naturel n
puis calculer (lim _{n rightarrow+infty} u_{n}) * Nombre Complexe (3 points )
Dans Ie plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ((O, vec{i}, vec{j}))
On considère les points A et B d’affixes respectives :
a=i et (b=e^{-i frac{5π}{6}})
1) Soit le point C l’image du point B
par la rotation (R) de centre O et d’angle (frac{2π}{3})
a) montrer que (c=e^{-frac{π}{6}}) est l’affixe du point (C)
b) écrire le nombre complexe (c) sous la forme algébrique
2) soit l’homothétie h de centre A et de rapport 2 et soit D
le point d’affixe (d=frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2} i)
a) montrer que
(ω=sqrt{3}) est I’affixe du point Ω l’image du point D par I’homothétie (h)
b) montrer que (frac{d-c}{ω-c}=frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2})
puis en déduire la nature du triangle ΩDC
c) vérifier que le point Ω est l’image du point C
par la translation (T) de vecteur (overrightarrow{OD})
d) en déduire de ce qui précède que le quadrilatère ODΩC est un losange
3) déterminer l’ensemble des points (M) d’affixe (z) tels que (|z|=|z-sqrt{3}|)
* Intégrale ( 3 points )On pose (I=int_{-1}^{0} frac{x^{2}}{x+2} d x) et (J=int_{-1}^{0} x ln (x+2) d x)1) a) Vérifier que pour tout (x) de [-1,0](: quad frac{x^{2}}{x+2}=x-2+frac{4}{x+2})b) Montrer que (I=4 ln 2-frac{5}{2})2) En utilisant une intégration par parties, montrer que (J=-frac{1}{2}) * Etudes de Fonctions ( 11 points ) Soit (f) la fonction numérique définie sur ] 0,+∞[ par: f(x)=2 (lnx)²+lnx-1
et ((C)) sa courbe représentative dans un repère Orthonormé ((O,vec{i},vec{j})) (unité 1cm )
1) a) montrer que (lim_{x⟶0atop x>0} f(x)=+∞) et interpréter géométriquement le résultat
b) calculer (lim_{x⟶+∞} f(x))
c) vérifier que pour tout x de ] 0,+∞[: ( frac{(ln x)^{2}}{x}=4(frac{ln sqrt{x}}{sqrt{x}})^{2})et en déduire que (lim_{x⟶+∞} frac{(ln x)^{2}}{x}=0)d) montrer que la courbe ((C)) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique dont on déterminera la direction2) a) montrer que f ‘(x)=(frac{4 lnx+1}{x}) pour tout x de]0,+∞[b) montrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ] 0,(e^{-frac{1}{4}})]
et croissante sur l’intervalle [(e^{-frac{1}{4}}),+∞[
c) dresser le tableau de variations de (f)3) a) vérifier que pour tout x∈]0,+∞[: 2(ln x)²+ln x-1=(2lnx-1)(lnx+1)
b) résoudre dans l’intervalle] 0,+∞[ l’équation 2(ln x)²+ln x-1=0c) en déduire que la courbe (C) coupe l’axe des abscisses en deux points dont on déterminera les coordonnées4) a) montrer que f « (x)=(frac{3-4lnx}{x²}) pour tout x de ] 0,+∞[b) en déduire que la courbe ((C)) admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées5) construire la courbe ((C)) dans le repère ((O,vec{i},vec{j}))6) on considère la fonction numérique (g) définie sur] (e^{-frac{1}{4}}),+∞[ par : g(x)=f(x)a) montrer que la fonction (g) admet une fonction réciproque (g^{-1}) définie sur un intervalle J à déterminerb) calculer g(1) puis calculer ((g^{-1})'(-1))c) construire ((C_{g^{-1}})) la courbe de la fonction (g^{-1}) dans le même repère ((O,vec{i}, vec{j})) ➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire