Examen Bac 2 2020 Math Préparation 08

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 08

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:

* Suite Numérique (3 points )

* Nombres complexes (3 points )

* Intégrale (3 points )

* Etude d’une fonction numérique (11 points )

* Suite Numérique ( 3 points )

On considère la suite numérique

(u_{n})

définie par:

u_{0} = 2

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{2 + 3 u_{n}}

Pour tout entier naturel n
1) Montrer par récurrence que

u_{n} > 0

Pour tout entier naturel n
2) Montrer que la suite

(u_{n})

est décroissante et qu’elle est convergente
3) Soit

(v_{n})

la suite numérique telle que :

v_{n} = \frac{2}{u_{n}}

Pour tout entier naturel n
a) Montrer que

(v_{n})

est une suite arithmétique de raison 3
puis écrire

v_{n}

en fonction de n
b) Montrer que

u_{n} = \frac{2}{1 + 3 n}

Pour tout entier naturel n
puis calculer

lim_{n \to + \infty} u_{n}

* Nombre Complexe (3 points )

Dans Ie plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$
On considère les points A et B d’affixes respectives :
a=i et $b = e^{- i \frac{5 π}{6}}$
1) Soit le point C l’image du point B
par la rotation $R$ de centre O et d’angle $\frac{2 π}{3}$
a) montrer que $c = e^{- \frac{π}{6}}$ est l’affixe du point $C$
b) écrire le nombre complexe $c$ sous la forme algébrique
2) soit l’homothétie h de centre A et de rapport 2 et soit D
le point d’affixe $d = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$
a) montrer que
$ω = \sqrt{3}$ est I’affixe du point Ω l’image du point D par I’homothétie $h$
b) montrer que $\frac{d - c}{ω - c} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$
puis en déduire la nature du triangle ΩDC
c) vérifier que le point Ω est l’image du point C
par la translation $T$ de vecteur $\vec{O D}$
d) en déduire de ce qui précède que le quadrilatère ODΩC est un losange
3) déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $| z | = | z - \sqrt{3} |$

* Intégrale ( 3 points )

On pose

I = \int_{- 1}^{0} \frac{x^{2}}{x + 2} d x

J = \int_{- 1}^{0} x \ln (x + 2) d x

1) a) Vérifier que pour tout

x

de [-1,0]

: \frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}

b) Montrer que

I = 4 \ln 2 - \frac{5}{2}

2) En utilisant une intégration par parties, montrer que

J = - \frac{1}{2}

* Etudes de Fonctions ( 11 points )

Soit

f

la fonction numérique définie sur ] 0,+∞[ par: f(x)=2 (lnx)²+lnx-1

et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère Orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité 1cm )
1) a) montrer que $lim_{\binom{x ⟶ 0}{x > 0}} f (x) = + \infty$ et interpréter géométriquement le résultat

b) calculer $lim_{x ⟶ + \infty} f (x)$

c) vérifier que pour tout x de ] 0,+∞[:

\frac{(l n x)^{2}}{x} = 4 (\frac{l n \sqrt{x}}{\sqrt{x}})^{2}

et en déduire que

lim_{x ⟶ + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0

d) montrer que la courbe

(C)

admet au voisinage de +∞ une branche parabolique

dont on déterminera la direction

2) a) montrer que f ‘(x)=

\frac{4 l n x + 1}{x}

pour tout x de]0,+∞[

b) montrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ] 0,

e^{- \frac{1}{4}}

]

et croissante sur l’intervalle [ $e^{- \frac{1}{4}}$ ,+∞[

c) dresser le tableau de variations de

f

3) a) vérifier que pour tout x∈]0,+∞[: 2(ln x)²+ln x-1=(2lnx-1)(lnx+1)
b) résoudre dans l’intervalle] 0,+∞[ l’équation 2(ln x)²+ln x-1=0

c) en déduire que la courbe

C

coupe l’axe des abscisses en deux points

dont on déterminera les coordonnées

4) a) montrer que f « (x)=

\frac{3 - 4 l n x}{x ²}

pour tout x de ] 0,+∞[

b) en déduire que la courbe

(C)

admet un point d’inflexion

dont on déterminera les coordonnées

5) construire la courbe

(C)

dans le repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

6) on considère la fonction numérique

g

définie sur]

e^{- \frac{1}{4}}

,+∞[ par : g(x)=f(x)

a) montrer que la fonction

g

admet une fonction réciproque

g^{- 1}

définie sur un intervalle J à déterminer

b) calculer g(1) puis calculer

(g^{- 1})^{'} (- 1)

c) construire

(C_{g^{- 1}})

la courbe de la fonction

g^{- 1}

dans le même repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

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