1) Montrer par récurrence que \(u_{n}>0 \) Pour tout entier naturel n
2) Montrer que la suite \((u_{n})\) est décroissante et qu’elle est convergente
3) Soit \((v_{n})\) la suite numérique telle que :
\(v_{n}=\frac{2}{u_{n}}\) Pour tout entier naturel n
a) Montrer que \((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison 3
puis écrire \(v_{n}\) en fonction de n
b) Montrer que \(u_{n}=\frac{2}{1+3 n}\) Pour tout entier naturel n
puis calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\)
Dans Ie plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
On considère les points A et B d’affixes respectives :
a=i et \(b=e^{-i \frac{5π}{6}}\)
1) Soit le point C l’image du point B
par la rotation \(R\) de centre O et d’angle \(\frac{2π}{3}\)
a) montrer que \(c=e^{-\frac{π}{6}}\) est l’affixe du point \(C\)
b) écrire le nombre complexe \(c\) sous la forme algébrique
2) soit l’homothétie h de centre A et de rapport 2 et soit D
le point d’affixe \(d=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i\)
a) montrer que
\(ω=\sqrt{3}\) est I’affixe du point Ω l’image du point D par I’homothétie \(h\)
b) montrer que \(\frac{d-c}{ω-c}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
puis en déduire la nature du triangle ΩDC
c) vérifier que le point Ω est l’image du point C
par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{OD}\)
d) en déduire de ce qui précède que le quadrilatère ODΩC est un losange
3) déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z|=|z-\sqrt{3}|\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère Orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) (unité 1cm )
1) a) montrer que \(\lim_{x⟶0\atop x>0} f(x)=+∞\) et interpréter géométriquement le résultat
b) calculer \(\lim_{x⟶+∞} f(x)\)
et croissante sur l’intervalle [\(e^{-\frac{1}{4}}\),+∞[
b) résoudre dans l’intervalle] 0,+∞[ l’équation 2(ln x)²+ln x-1=0